2020年内蒙古巴彦淖尔市数学高二(下)期末考试试题含解析

2020年内蒙古巴彦淖尔市数学高二(下)期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设i 为虚数单位，若复数z 满足(1)2i z i +=，则复数z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -
C ．1i --
D ．1i +
【答案】D 【解析】 【分析】
先由题意得到，21i
z i
=+，根据复数的除法运算法则，即可得出结果. 【详解】
因为(1)2i z i +=，所以()()()()2121211112
--====+++-i i i i i z i i i i . 故选：D 【点睛】
本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.
2．在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若122PF PF =，则该椭圆离心率的取
值范围是 ( ) A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【答案】B 【解析】
解：根据椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a ，将设|PF 1|=2|PF 2|代入得|PF 2|= 根据椭圆的几何性质，|PF 2|≥a -c ，故23
a
≥a -c ，即a≤3c e≥
1
3
，又e ＜1， 故该椭圆离心率的取值范围故选B ． 3．已知()(){|0},{|0},A f
B f ααββ====若存在,A B αβ∈∈，使得1αβ-<，则称()f x 与
()g x 互为“1度零点函数”，若()f x = 231,20231,01x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪-+⎩
与()2
ln (0)g x x a x a =->互为“1度
零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．()0,2e
B ．[
)2,e +∞ C ．92,
ln3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．92,
ln3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
通过题意先求出函数()f x 的零点，根据1αβ-<计算出函数()g x 的零点范围，继而求出实数a 的取值范围 【详解】
令()0f x =，当3102x -+
=时，12x =-或5
2
x =- 20x -<≤Q ，1
2
x ∴=-
当2
3
101
x x -+=-+时，解得11x =-，22x = 0x >Q ，2x ∴=
若存在2z 为 “1度零点函数”，不妨令()00g x = 由题意可得：01
12
x +<或21x -< 即031
22
x -
<<或013x << ()20000g x x alnx =-= 2
00
x a lnx ∴=
设()2
x x
h x ln =，()2
20xlnx x h x lnx -=='
当0x <<()0h x '<，()h x 是减函数
当x >
()0h x '>，()h x 是增函数
2h
e =，当1x n 时，()h x n +∞，由题意满足存在性
∴实数a 的取值范围为[)2e +∞，
故选B 【点睛】
本题给出了新定义，按照新定义内容考查了函数零点问题，结合零点运用导数分离参量，求出函数的单调性，给出参量的取值范围，本题较为综合，需要转化思想和函数思想，有一定难度。

4．已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ，且()()12
125
E X ,D X ==，那么n 与p 的值分别为 A ．4165
, B ．2205
,
C ．4155
,
D ．3125
,
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n 与p 的值． 【详解】
∵X ～B （n ，p ）且()()12125
E X D X ==
，， ∴()121215np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩
，
解得n ＝15，p 4
5
= 故选C ． 【点睛】
本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题． 5．设全集{1,2,3,4}U =，{1,2}A =，{2,3}B =，则()U A B I ð等于（） A ．{}4 B ．{}1,3,4
C ．{}2,4
D ．{}3,4
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用补集与交集的运算法则求解即可． 【详解】
解：∵集合{1,2}A =，{2,3}B =，{2}A B ∴⋂=， 由全集{1,2,3,4}U =，()U {1,3,4}A B ∴=I ð． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查． 6
．已知点(1,P ，则它的极坐标是（ ） A ．2,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．42,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．2,3π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．42,3
π⎛⎫-
⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】 由22,tan y
x y x
ρθ=
+=
计算即可。

【详解】
在相应的极坐标系下821(3)2ρ=+-=，由于点P 位于第四象限，且极角满足tan 3y
x
θ==-，所以3
π
θ=-
.
故选C. 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。

7．已知三棱锥P ABC -的体积为
43
，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面
PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）
A ．
43
π
B 82π
C 123π
D ．
323
π
【答案】D 【解析】
试题分析：取PC 中点O ，连接AO ，由,4
PA AC APC π
⊥∠=
知AC AP =，则AO PC ⊥，又平面
PAC ⊥平面PBC ，所以AO ⊥平面PBC ，设AO x =，则2PC x =，又,3
BPC PB BC π
∠=
⊥，则
,3PB x BC x ==，21332PBC S x x ∆=
=，211343
33P ABC PBC V S OA x x -∆=⋅=⋅=
，2x =，显然O 是其外接球球心，因此3
34
432()23
33
V AO πππ=
⨯=球＝．故选D ．
考点：棱锥与外接球，体积． 8．以下说法中正确个数是（ ）
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
3568<
成立，只需证
2
2
35
68<；
③用数学归纳法证明2
2
3
1
111n n a a a a a a
++-+++++=
-L （1a ≠，n ∈+N ，在验证1n =成立时，左边所得项为21a a ++；
④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误. A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。

②不等式两边平方，要看正负号，同为正不等式不变号，同为负不等式变号。

③令1n =代入左式即可判断。

④整数并不属于大前提中的“有些有理数” 【详解】
命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错 3568<
35680<<，故只需证
2
2
35
68->，②错
2
2
3
1
111n n a a a a a
a
++-+++++=
-L （1a ≠，n ∈+N ，当1n =时，左边所得项为21a a ++；③正确 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误.④正确 综上所述：①②错③④正确
【点睛】
本题考查推理论证，属于基础题。

9．下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（ ） （1）在大量随机试验中，事件A 出现的频率与其概率很接近； （2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限； （3）计算频率通常是为了估计概率． A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）
【答案】D 【解析】 【分析】
利用频率和概率的定义分析判断得解. 【详解】
（1）在大量随机试验中，事件A 出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命题； （2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题； （3）计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题. 故选D 【点睛】
本题主要考查频率和概率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．下列函数中，即是奇函数，又在(0,)+∞上单调递增的是 A ．x x y e e -=+ B ．3y x x =+ C ．2sin y x x =+ D ．ln ||y x =-
【答案】B 【解析】
分析：对四个选项分别进行判断即可得到结果 详解：对于A ，x
x
y e e
-=+，()x
x f x e
e --=+，()x x
f x e e --=--
()()f x f x -≠-，不是奇函数，故错误
对于C ，2y x sinx =+，12cos y x =+'，当1
cos 2
x =-时，0y '=，函数在()0+∞，
上不单调，故错误
对于D ，函数在()0+∞，
上单调递减，故错误 故选B
点睛：对函数的奇偶性作出判断可以用其定义法，单调性的判断可以根据函数的图像性质，或者利用导数
11．设1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使
(
)
220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r
（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
21
2
+ B ．21+
C ．
31
+ D ．31+
【答案】D 【解析】 【分析】
取2PF 的中点A ，利用22OP OF OA +=u u u r u u u u r u u u r ，可得2OA F P ⊥u u u r u u u u r
，从而可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义及
勾股定理，可得结论． 【详解】
取2PF 的中点A ，则22OP OF OA +=u u u r u u u u r u u u r ，()
22
0OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r Q ，220OA F P ∴⋅=u u u r u u u u r
. 2OA F P ∴⊥u u u r u u u u r
，O Q 是12F F 的中点，1OA PF ∴P ，12PF PF ∴⊥， 123PF PF =Q ，(
)
122321a PF PF PF ∴=-=
-， 2
2
2
12
4PF PF c +=Q ，2c PF ∴=，3131
c e a ∴=
==+-. 故选：D ．
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，确定12PF PF ⊥是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。

12．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭
圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于6
5，则椭圆离心率的取值范围为 A ．9(0,]5
B ．3(0,
]2
C ．5(0,
3
D ．13
(3 【答案】C
【分析】
根据椭圆对称性可证得四边形AFBF '为平行四边形，根据椭圆定义可求得3a =；利用点到直线距离构造不等式可求得2b ≥，根据222a b c =+可求得c 的范围，进而得到离心率的范围. 【详解】
设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则OA OB = 又OF OF '= ∴四边形AFBF '为平行四边形
AF BF '∴=
又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =
点P 到直线l 距离：36
55
b d -=
≥，解得：2b ≥22292a c c -=-≥ 05c ∴<≤ 5c e a ⎛∴=
∈ ⎝⎦
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，重点考查椭圆几何性质，涉及到椭圆的对称性、椭圆的定义、点到直线距离公式的应用等知识.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量(,21)a m m =-v ，(1,2)b =-v ，若//a b v v ，则42a b +=v
v _________．
【答案】35 【解析】
分析：根据//a b v
v
，建立方程求出m ，
详解：Q 向量(),21a m m v =-，()1,2b v =-，且//a b v v ，
∴221m m -=-，解得14m =
，11
(,)42
a =-v ∴42(3,6)a
b +=-v v ，22423(6)35a b +=+-=v
v
故答案为.
点睛：本题考查两个向量共线的性质，两个向量的线性运算以及向量模的计算，属于基础题. 14．120，168的最大公约数是__________． 【答案】24 【解析】
∵168120148,12048224,48242=⨯+=⨯+=⨯， ∴120，168的最大公约数是24. 答案：24
15．已知双曲线Γ上的动点P 到点()11,0F -和()21
,0F 的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ∠=，且2121
sin 3d d θ⋅⋅=，则双曲线Γ的方程为_______.
【答案】22
1
21
33
x y -= 【解析】 【分析】
在△12PF F 中，利用余弦定理和双曲线的定义得到2
212()8
3
)(2d d a -==，从而求得2a ，2b ，最后求出双曲线的方程即可． 【详解】 在△12PF F 中，
由余弦定理得：2
2
2
2
2
1212121212||42cos 2()4sin F F d d d d d d d d θθ==+-=-+
Q 2121sin 3d d θ⋅⋅=，∴2212()8
3
)(2d d a -=
= ∴223a =
，222
13
b c a =-=， 则双曲线方程为22
1
21
33x y -=． 故答案为：22
1
21
33
x y -=． 【点睛】
本小题考查双曲线的定义、余弦定理、三角恒等变换等知识的交会，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．
16．已知双曲线，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB,CD 的中点为E 的两个
焦点，且，则E 的离心率为__________．
【答案】2 【解析】 【分析】 可令
，代入双曲线的方程，求得
，再根据题意，设出A,B,C,D 的坐标，由，
可得的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值.
【详解】 令
，代入双曲线的方程可得，
由题意可设，
由，可得，
由
，可得，解得（负值舍去），
故答案是 2.
【点睛】
该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线上的点的坐标的求法，根据双曲线对称性，得到四个点A,B,C,D 四个点的坐标，应用双曲线中系数的关系，以及双曲线的离心率的公式求得结果.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知直线l 的参数方程是2
12{
()22
x t t y =
+=-是参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为=22)4
π
ρθ+
．。