人教版高三数学下学期三角函数与解三角形多选题单元专题强化试卷检测试题

人教版高三数学下学期三角函数与解三角形多选题单元专题强化试卷检测试题
一、三角函数与解三角形多选题
1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）
A ．()f x 在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
B ．()f x 是周期为2π的函数
C ．()f x 有对称轴
D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点
【答案】BD 【分析】
先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】
因为[][]
()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,
3x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，22
()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，而
cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数，故A 错误.
由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩
可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.
若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，
所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛
⎫=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛
⎫-
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20
cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨
+=-⎩
， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π
2
a
或32a π=.
若π
2
a
，则2
1
116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
而2
711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫
=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
若32a π=，则2
191116
2226f f π
π⎛⎛⎛⎫⎛⎫
=+-=-+≠-
⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】
方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.
2．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ
<
），08f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）
A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数
B ．3(0)4
f f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
C ．ω是奇数
D ．ω的最大值为3
【答案】BCD 【分析】
根据3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故
CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】
08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221
T k π
=
+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫
=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，
k Z ∈，
当,1224x ππ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫
+∈++ ⎪⎝⎭
，k Z ∈，
()f x 在区间,1224ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，
024
3
ωπ
π
<
≤
，故
6
2
ωπ
π
≤
，故3ω≤，
综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；
1ω=或3ω=，故8
k ϕπ
π=
+或38
k ϕπ
π=
+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；
当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+
⎪⎝⎭
，33sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 393sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 综上所述：3(0)4
f f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
3．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）
A ．()f x 的图象过点10,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()f x 的最大值为M
C ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减
D ．5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】
已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,2
2
k k k Z π
πππ⎛⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T π
πω=
=，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
当0x =时，()0sin 20sin 662
M
f M M ππ⎛⎫
=⨯+== ⎪⎝
⎭，故选项A 错误； 因为()sin 26f x M x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以最大值为M ，故选项B 正确； 由解析式可知()f x 在3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈ 即2,63x k k ππππ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣
⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26
x k π
π+
=，即212
k x ππ
=
- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.
4．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()2
2sin 10cos 13f x x x =-++
C ．()tan 2
x f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤
=+
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦ 【答案】AD 【分析】
结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则
()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求
出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】
解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件
②()2
2532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝
⎭
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =
则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2
x
f x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是
④()sin 23f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则
()
max sin
12
f x π
=+=+()min 51
sin
62
f x π=+=+
则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】
本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.
5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若sin sin a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形 B ．若
cos cos a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4
C π
∠=
【答案】ACD 【分析】
多项选择题，一个一个选项验证：
对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断； 对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角
形；
对于C ：利用三角函数化简得
tan A tan tan B C ++sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断
cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断； 对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】
对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a b
A B
=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =，
∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确； 对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a b
A B
=， ∴若
cos cos a b
B A
=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=
∴
ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 对于C ：∵A+B+C=π，
∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，
， ∴tan A tan tan B C ++
sin sin sin =cos cos cos A B C
A B C
++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A C
A B C ++
sin sin =
cos cos cos C C
A B C
+
11=sin cos cos cos C A B C ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭
sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
.
∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，
∴
ABC 为钝角三角形. 故C 正确；
对于D ：∵sin cos a b C c B =+，
∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4
C π
.
故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．
6．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6
x π
=
对称
C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点
【答案】ABD 【分析】
借助于()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T π
ω
=
求周期；
对于B ：利用图像观察，也可以根据()26
f π
=判断；
对于C ：利用图像观察，也可以根据()13
f π
=否定结论；
对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】
对于A ：函数()y f x =的周期222
T π
π
πω
==
=故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 226
6
6f π
π
π⎛⎫
=⨯
+
= ⎪⎝
⎭，∴()f x 的图像关于直线6
x π
=对称，故B 正确；
对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13
3
66
f π
π
ππ⎛⎫
⎛⎫
=⨯
+
== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，故()f x 的图像不经过点
,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令
()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间
(0,)π上有两个零点，故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：
（1）画出图像，利用图像分析性质；
（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.
7．下列结论正确的是（ ）
A ．在三角形ABC 中，若A
B >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形
D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2
A B π
+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由
sin sin a b
A B
=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222
222cos 0,02b c a A b c a bc
+-=>∴+->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或
90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；
在锐角三角形ABC 中,
2
A B π
+>
,
02
2
A B π
π
∴
>>
->,
sin sin 2A B π⎛⎫
∴>- ⎪⎝⎭
,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >
sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.
8．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭R ，现给出下列四个
命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π
B ．函数()f x
C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移
512
π
个单位长度，得到的函数解析式为()()
2g x x =
【答案】BD 【分析】
首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，再根据函数的性质依次判断选
项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23
x π
-的范围，再判断函数的单调
性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】
()12cos 2sin 222f x x x x π⎛
⎫=
--+ ⎪⎝
⎭
132cos 2cos 22cos 222
x x x x x =
--=-
23x π⎫⎛
=- ⎪⎝
⎭，
函数()f x 的周期22
T π
π==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即
,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数单调递增，故C 不正确；
D. ()23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
向左平移
512
π
个单位长度，得到
()53sin 23sin 23cos 21232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
9．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．23
ϕπ=
B ．()f x 的最小正周期为π
C ．()f x 的图象关于直线12
x π
=对称
D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】BCD 【分析】
利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，研究对称轴和对称中心. 【详解】
由图可知2sin 3ϕ=3
sin 2
ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3
π
ϕ=，A 项错误；
因为()2sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以结合图像，由五点法得
3
3
ωπ
π
π+
=，解得2ω=，则
()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确； 将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=
对称，C 项正确﹔ 将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确.
故选：BCD.
【点睛】
求三角函数解析式的方法：
(1)求A 通常用最大值或最小值；
(2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A ．2()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．(2021)1f π=
C ．函数|()|y f x =为偶函数
D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R 【答案】AD
【分析】 先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π
=-时取得最大值求得ϕ，得到
解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可.
【详解】
由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω
==,2ω=，
由12x π
=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡
⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，A 正确； 22
(2021)2sin 22021=2sin 33f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭
B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π
=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R ，故D 正确. 故选：AD.
【点睛】
方法点睛： 三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。