集合的概念与运算讲义

集合与常用逻辑用语
第1节集合的概念与运算
基础知识诊断回顾教材务实基础
【知识梳理】
1．集合与元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A，B，C．．．表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a，b，c．．．表示．
2．集合的分类
集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不含任何元素）；也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等．
3．集合中元素的性质
对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性．
4．常用集合符号
R：实数集；
Z：整数集；
N：自然数集（含有0）；
N*：正整数集（没有0）；
Q：有理数集．
5．元素与集合之间的关系
元素与集合之间用“∈”或“∉”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相
等关系．
6．集合与集合之间的关系
（1）包含关系：如果对任一x A
∈，都有x B
∈，则称集合A 是集合B的子集，记作A B
⊆，显然A A
⊆，A
∅⊆；
（2）相等关系：对于集合A 、B，如果A B
⊆，同时A B
⊇，那么称集合A等于集合B，记作A B
=；（3）真包含关系：对于集合A、B如果A B
⊆，并且A B
≠，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B
⊂；
（4）集是任何非空集合的真子集．
7．集合之间的运算性质
（1）交集：A B B A
=，A B A
⊆，A B B
⊆，A A A
=，A∅=∅，A B A B
⊆⇔A
=．（2）并集：A B B A
=，A B A
⊇，A B B
⊇，A A A
=，A A
∅=，A B A B
⊆⇔B
=．
（3）补集的运算的性质：()
S S
C C A A
=，
S
C S
∅=，S
C S=∅，()
S
A C A=∅，()
S
A C A S
=．
8．用平面上一条封闭的曲线，（通常情况下是矩形）
的内部代表集合，这个图形就叫做（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 元素与集合间的关系
【例1】（2020•路北期中）下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）
①1-∉N *
Z ；③3
2
∈Q ；④π∈Q ．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
【例2】（2020•新课标Ⅲ）已知集合{1A =，2，3，
5，7，11}，{|315}B x x =<<，则A
B 中元素的
个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【例3】（2020•新课标Ⅲ理）已知集合{()|A x y x =，，*y N ∈，}y x ≥，{()|8}B x y x y =+=，，则A
B
中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【解题总结】
1．一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N 与N*的区别．
2．当集合用描述法时，一定要注意描述的是点还是数，是x 还是y ．
【跟踪训练】
1．（2020•黄山期末）下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ） A ．0N ∈
B ．0Z ∈
C ．3
2
Q ∈
D ．Q π∈
2．（2020•黄陵月考）集合2{|1}A y y x ==+，集合
2{()1}(B x y y x A ==+，∣，B 中x R ∈， )
y R ∈选项中元素与集合的关系都正确的是（ ） A ．2A ∈，且2B ∈ B ．(12)A ∈，，且(12)B ∈，
C ．2A ∈，且(310)B ∈，
D ．(310)A ∈，
，且2B ∈
考点二 集合与集合间的关系
【例1】（2021•齐齐哈尔一模）已知集合
{41A x x n ==-∣，}n N ∈，{3B =，8，11，14}，
则A
B 的真子集个数为（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【例2】（2019•沂水县期中）关于以下集合关系表
示不正确的是（ ） A ．{}∅∈∅ B ．{}∅⊆∅ C ．*N ∅∈ D ．*N ∅⊆
【例3】（2020•新课标Ⅲ）已知集合
2{|340}A x x x =--<，{4B =-，
1，3，5}，则A B =
（ ）
A ．{4-，1}
B ．{1，5}
C ．{3，5}
D ．{1，3}
【例4】(2020•新课标Ⅲ)设集合2{|40}A x x =-≤，{|20}B x x a =+≤，且{|21}A
B x x =-≤≤，则a =
（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4
【例5】（2020•新课标Ⅲ）已知集合{|3A x x =<，}x Z ∈，{|1B x x =>，}x Z ∈，则A
B =（ ）
A ．∅
B ．{3-，2-，2，3}
C ．{2-，0，2}
D ．{2-，2}
【例6】（2020•山东）设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A
B =（ ）
A ．{|23}x x <≤
B ．{|23}x x ≤≤
C ．{|14}x x ≤<
D ．{|14}x x <<
【例7】（2020•江苏）已知集合{1A =-，
0，1，2}，{0B =，2，3}，则A
B = ．
【解题总结】
1．如果一个集合中带有变量n ，我们不妨用列举法一一列出来，虽然是无限的集，但可以发现其中的
规律．
2．如果一个集合中有m 个元素，则其真子集个数为21m -个．
3．空集是最特殊的集合，在有关空集的解题一定注意它是元素还是集合．
【跟踪训练】 1.设集合{|180452
k
M x x ︒︒==
⋅+，}k Z ∈，{|180454
k
N x x ︒︒==⋅+，}k Z ∈，则（ ）
A ．M N =
B ．M N
C ．N
M
D ．M
N =∅
2.(2020•新课标Ⅱ)集合{210123}U =--，
，，，，，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则
()U
A B =
（ ） A ．{2-，3} B ．{2-，2，3}
C ．{2-，1-，0，3}
D ．{2-，1-，0，2，3}
3.(2020•天津)设全集{3210123}U =---，
，，，，，，集合{1A =-，0，1，2}，{3B =-，0，2
，3}，
则()U A B =（ ）
A ．{3-，3}
B ．{0，2}
C ．{1-，1}
D ．{3-，2-，1-，1，3} 4.(2020•上海)已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，
4，5}，则A
B = ．
考点3 集合的基本运算
【例1】（2018•全国卷Ⅲ）已知集合{0A =，2}，{2B =-，1-，0，1，2}则A
B =（ ）
A ．{0,2}
B ．{1,2}
C ．{0}
D ．{2-,1-,0,1,2}
【例2】
(2020•福州期末)下列集合与集合{2A =，3}，相等的是（ ）
A ．{(23)}，
B ．{()|2x y x =，,3}y =
C ．2
{|560}x x x -+= D ．2
{|90}x N x ∈-≤
【解题总结】
1．有些情况列举法也会考察交并补，注意别看错题就可以．
2．要注意集合中元素到底是数集还是点集． 3．要特别注意N 表示的是自然数集，最小为0．
【跟踪训练】
1．（2021•东莞模拟）集合{|52M x x k ==-，}k Z ∈，{|53P x x n ==+，}n Z ∈{103S x x m ==+|，
}m Z ∈之间的关系是（ ） A ．S P
M B ．S P M =
C ．S
P M = D ．P M
S =
考点4 韦恩图
【例1】（2020•肥城期中）已知全集U R =，则正确表示集合{2M =-，0，2}和2{|20}N x x x =-=关
系的韦恩(Venn)图是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【例2】（2020•汕尾期末）已知全集U R =，集合2{|260}M x x x =+-<与集合{|21}N x x k k Z ==-∈，
的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素个数为（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
【解题总结】
1．韦恩图有有效的减少计算量，适当的用韦恩图来 解决问题可以事半功倍．
2．韦恩图可以解决问题更直观、更快捷．
【跟踪训练】
1．（2020•和平期末）已知集合{|13}A x x =-≤≤
，
3
{|
0}1
x B x x -=≤+，则用韦思图表示它们之间的关系正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．。