新九年级数学下期中一模试题及答案

新九年级数学下期中一模试题及答案
一、选择题
1．若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）都在反比例函数1y x =-的图象上，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 3＜y 1
C ．y 1＜y 3＜y 2
D ．y 3＜y 1＜y 2 2．如果反比例函数y =
k x （k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（ ） A ．（﹣
12，8） B ．（﹣3，﹣2） C ．（12
，12） D ．（1，﹣6） 3．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ．则cos ∠AOB 的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．若
37a b =，则b a a -等于（ ） A ．34 B ．43 C ．73 D ．37
5．如图，在正方形ABCD 中，N 为边AD 上一点，连接BN ．过点A 作AP ⊥BN 于点P ，连接CP ，M 为边AB 上一点，连接PM ，∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ，有以下结论：
①△PAM ∽△PBC ；②PM ⊥PC ；③M 、P 、C 、B 四点共圆；④AN ＝AM ．其中正确的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．如图，过反比例函数
的图像上一点A 作AB ⊥轴于点B ，连接AO ，若
S △AOB =2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
A．42
3
B．22C．
82
3
D．32
8．若△ABC∽△A′B′C′且
3
4
AB
A B
=
''
,△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）
cm.
A．18B．20 C．15
4
D．
80
3
9．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）
A．
3
3
B．
5
C．
23
3
D．
25
10．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
11．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣
1）D．（8，﹣4）
12．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）
A．1
2
B．
2
4
C．
1
4
D．
1
3
二、填空题
13．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m．
14．若反比例函数y＝﹣的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____．
15．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且
4
3
OE
EA
=，则
FG
BC
=______．
16．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的
位似图形，且相似比为1
3
，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的
坐标为________.
18．已知点(,)P m n 在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x =-上，则m 2+n 2的值为______． 19．在ABC ∆中，若45B ∠=o ，102AB =，55AC =，则ABC ∆的面积是______．
20．已知CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos ∠ACD= ______ ．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，BC ＝6，sin A ＝35
，∠B ＝30°，求AC 和AB 的长．
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +b 与双曲线y ＝
k x
相交于A ，B 两点， 已知A （2，5）．求：
（1）b 和k 的值；
（2）△OAB 的面积．
23．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D 竖起标杆DE ，使得点E 与点C 、A 共线．
已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1m ，DE ＝1.5m ，BD ＝8.5m ．测量示意图如图所
示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
24．如图，已知点D是的边AC上的一点，连接，，．求证：∽；
求线段CD的长．
25．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数y=﹣1
x
中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每
一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】
∵反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象经过点(−3,2)，
∴k=−3×2=−6，
∵−1
2
×8=−4≠−6，
−3×(−2)=6≠−6，
1
2
×12=6≠−6，
1×(−6)=−6，
则它一定还经过(1,−6).
故答案选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
【详解】
连接AB，
由图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．4．B
解析：B
【解析】
由比例的基本性质可知a=3
7
b
，因此
b a
a
-
=
3
4
7
33
7
b b
b
-
=.
故选B.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断①；由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断②；根据对角互补，进而判断③；
由△APB∽△NAB得AP AN
BP AB
=，再结合△PAM∽△PBC便可判断④．
【详解】
解：∵AP⊥BN，
∴∠PAM+∠PBA＝90°，
∵∠PBA+∠PBC＝90°，
∴∠PAM＝∠PBC，
∵∠PMA＝∠PCB，
∴△PAM∽△PBC，
故①正确；
∵△PAM∽△PBC，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；
∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，
∴B、C、P、M四点共圆，
∴∠MPB＝∠MCB，
故③正确；
∵AP⊥BN，
∴∠APN ＝∠APB ＝90°，
∴∠PAN+∠ANB ＝90°，
∵∠ANB+∠ABN ＝90°，
∴∠PAN ＝∠ABN ，
∵∠APN ＝∠BPA ＝90°，
∴△PAN ∽△PBA ， ∴AN PA BA PB =， ∵△PAM ∽△PBC ， ∴
Al AP BC BP =， ∴AN AM AB BC
=， ∵AB ＝BC ，
∴AM ＝AN ，
故④正确；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM ⊥PC 是解题的关键．
6．C
解析：C
【解析】
试题分析：观察图象可得，k ＞0，已知S △AOB =2，根据反比例函数k 的几何意义可得k=4，故答案选C.
考点：反比例函数k 的几何意义.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得2，在Rt △ABD 中，由∠B=60°，可得BD=tan 60AD ︒46，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求
得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可
【详解】
∵AD ⊥BC ，
∴△ADC 是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC ，
∵AC=8，
∴，
在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=
tan 60AD ︒=3， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°=33=3
，
∴AE=AD-DE== 故选C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
8．B
解析：B
【解析】
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34
ABC AB A B C A B ''=''='V V 的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
过B 点作BD ⊥AC ，如图，
由勾股定理得，==，
cosA=AD
AB ， 故选D ．
10．A
解析：A
【解析】
∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴CB CE
AC CD
=，即
CB CE
AB BC DE EC
=
++
，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
1 1.2
1 1.8 1.
2 AB
=
++
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故选A．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．
【详解】
∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选A．
【点睛】
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】
过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
1
3 CD
BD
，
∴tanB′=tanB=1
3
．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．二、填空题
13．5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例求出举起手臂之后的身高与身高做差即可解题【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得：17:085=x：11解得x=22则小刚举起的手臂超出头顶的高度为
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m
【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.
14．﹣2【解析】∵反比例函数y=-6x的图象过点A（m3）∴3=-6m解得=-2
解析：﹣2
【解析】
∵反比例函数的图象过点A（m，3），
∴，解得.
15．【解析】【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似其位似中心为点O且则故答案为：【点睛
】本题考查了位似的性质熟练掌握位似的性质是解题的关键
解析：4 7
【解析】
【分析】
利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【详解】
Q四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE4 EA3
=，
OE4 OA7∴=，
则FG OE4 BC OA7
==，
故答案为：4
7
．
【点睛】
本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
16．5【解析】根据题意画出图形构造出△PCD∽△PAB利用相似三角形的性质解题解：过P作PF⊥AB交CD于E交AB于F如图所示设河宽为x米∵AB∥CD∴∠PDC =∠PBF∠PCD=∠PAB∴△PDC∽△
解析：5
【解析】
根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．
解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示
设河宽为x米．
∵AB∥CD，
∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，
∴△PDC∽△PBA，
∴AB PF CD PE
=，
∴AB15x CD15
+
=，
依题意CD=20米，AB=50米，
∴
15
20
5015x
=
+
，
解得：x=22.5（米）．
答：河的宽度为22.5米．
17．【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AB 的长进而得出△OAD ∽△OBG 进而得出AO 的长即可得出答案【详解】∵正方形BEFG 的边长是6∴∵两个正方形的相似比为∴∴∵AD ∥BG ∴△OAD
解析：(3,2)
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质结合相似比得出AB 的长，进而得出△OAD ∽△OBG ，进而得出AO 的长，即可得出答案.
【详解】
.∵正方形BEFG 的边长是6，
∴6BE EF ==. ∵两个正方形的相似比为
13， ∴163
CB CB EF ==. ∴2AB BC ==，.
∵AD ∥BG ，
∴△OAD ∽△OBG ， ∴
13OA OB =，即213
OB OB -=. ∴3OB =.
∴点C 的坐标为(3,2). 【点睛】
本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO 的长是解题关键. 18．6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m 以及mn 的值再利用完全平方公式将原式变形得出答案详解：∵点P （mn ）在直线y=-x+2上∴n+m=2∵点P （m
解析：6
【解析】
分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m 以及mn 的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
详解：∵点P （m ，n ）在直线y=-x+2上，
∴n+m=2，
∵点P （m ，n ）在双曲线y=-
1x
上， ∴mn=-1，
∴m 2+n 2=（n+m ）2-2mn=4+2=6．
故答案为6．
点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m ，n 之间的关系是解题关键．
19．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25
解析：75或25
【解析】
【分析】
过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积．
【详解】
解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．
在Rt ABD ∆中，sin 10AD AB B =⋅=，cos 10BD AB B =⋅=；
在Rt ACD ∆中，10AD =，55AC =，
∴225CD AC AD =-=，
∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=，
∴1752
ABC S BC AD ∆=
⋅=或25． 故答案为：75或25．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键．
20．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B 利用同角的余弦得结论解：∵CD 是Rt△ABC 斜边上的高线
∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠ 解析：45
【解析】
试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD =∠B ，利用同角的余弦得结论．
解：∵CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，
∴CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴cos∠ACD=cos∠B=BC
AB
=
8
10
=
4
5
，
故答案为：4 5 .
三、解答题
21．AC＝5．AB＝4+33．
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中利用锐角三角函数和勾股定理求出CD、BD，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数和勾股定理求出AC、AD,即可.
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，sinB＝sin30°＝1
2
＝
CD
BC
．
∴CD＝1
2
×6＝3，BD
3
＝3，
在Rt△ACD中，
sinA＝CD
AC
＝
3
5
，
∴AC＝5
3
CD
＝5．
∴AD22
AC CD
-22
53
-4，
∴AB＝AD+BD
＝3
【点睛】
本题考查了锐角三角函数和勾股定理．构造直角三角形是解决本题的关键．
22．（1）b=3，k=10；（2）S△AOB=21
2
．
【解析】
（1）由直线y=x+b 与双曲线y=k x
相交于A 、B 两点，A （2，5），即可得到结论； （2）过A 作AD⊥x 轴于D ，BE⊥x 轴于E ，根据y=x+3，y=
10x
，得到（-5，-2），C （-3，0）．求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论. 解：（1）把()2,5A 代入y x b =+．∴52b =+∴3b =．
把()2,5A 代入k y x =，∴52k =， ∴10k =．
（2）∵10y x =
，3y x =+． ∴103x x
=+时，2103x x =+， ∴12x =，25x =-．∴()5,2B --．
又∵()3,0C -，
∴AOB AOC BOC S S S =+V V V 353222⨯⨯=
+ 10.5=． 23．河宽为17米．
【解析】
【分析】由题意先证明∆ABC ∽∆ADE ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB 的长.
【详解】∵CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，
∴∠CBA ＝∠EDA ＝90°，
∵∠CAB ＝∠EAD ，
∴∆ABC ∽∆ADE ， ∴AD DE AB BC
=， 又∵AD=AB+BD ，BD=8.5，BC ＝1，DE ＝1.5， ∴
8.5 1.51
AB AB +=， ∴AB ＝17， 即河宽为17米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.
24．（1）参见解析；（2）5．
【解析】
【分析】
（1）利用两角法证得两个三角形相似；
（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD长．
【详解】
（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），
∴△ABD∽△ACB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，
∵相似三角形的对应线段成比例，∴=，即＝，
解得：CD＝5．
25．证明见解析.
【解析】
【分析】
由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似；
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，
∴四边形AFGE为正方形．
∴AF
AB
＝
FG
BC
＝
GE
CD
＝
AE
AD
，
且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．。