2022-2023学年江苏省连云港市高二年级上册学期期末模拟(二)数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末模拟（二）数学试题
一、单选题
1．过两点()1,3-和的直线的斜率为（ ）
A
B ．
C
D ．【答案】D
【分析】根据斜率定义即可求出两点斜率.
【详解】直线的斜率为1
k ==故选：D ．
2．设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >．若数列{}n a 的连续四项构成集合{}24,54,36,81--，则公比q 为（ ） A ．2
3
-
B ．23
C ．32-
D ．32
【答案】C
【分析】根据公比的定义求解即可．
【详解】解：数列的连续4项为24,36,54,81--， 所以公比363
242
q ==--． 故选：C ．
3．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
【答案】B
【分析】根据抛物线方程得到p 值，则得到焦点到准线的距离. 【详解】24p =，2p =，所以焦点到准线的距离为2. 故选：B ．
4．圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为（ ）
A
B C D ．【答案】C
【分析】将圆化为标准方程，得到圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离，利用几何法求出圆的
弦长即可.
【详解】圆标准方程是22
(2)(2)4-++=x y ，圆心坐标为(2,2)-，圆半径为2，
圆心到直线的距离是d =
=
所以弦长为=
故选：C.
5．若双曲线焦点的坐标为()5,0，()5,0-，渐近线方程为4
3
y x =±，则双曲线的方程是（ ）
A ．22
1916
y x -=
B ．22
1916x y -=
C ．22
193y x -=
D ．22
193
x y -=
【答案】B
【分析】由题得5c =，根据渐近线方程及,,a b c 关系得到方程组225
43
c b a ⎧=⎪
⎨=⎪⎩，解出即可.
【详解】双曲线的焦点在x 轴上，且5c =，设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
则双曲线的渐近线方程为：b y x a =±
，又渐近线方程为43y x =±，所以4
3
b a =， 2
2
2
25c b a =+=，解得3,4a b ==，所以双曲线的方程为22
1916
x y -=．
故选：B ． 6．已知1()ln f x x
=，若0()1
e f x '=，则0x =（ ）
A ．1e
- B ．e -
C ．1
e
D ．e
【答案】B
【分析】求1
()ln f x x =的导数，代入导数值即可求解. 【详解】因为1()ln ln f x x x ==-．所以1
()f x x
'=-，
由0011
()e
f x x =-='，解得0x =-e ．
故选：B.
7．风雨桥(如图1所示)是侗族最具特色的民间建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形．图2是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，⋯，111n n n n n n A B A B B B ---=-，其中
34231201B B B B B B B B ===，*n ∈N .已知该风雨桥亭共5层，若008m A B =，010.5m B B =，则图2中
的五个正六边形的周长总和为（ ）
A ．120m
B ．210m
C ．130m
D ．310m
【答案】B
【分析】由题意得图2中五个正六边形的边长(单位：m)构成以18a =为首项，0.5d =-为公差的等差数列{}k a ，根据等差数列求和公式得到535S =，再根据共有六个边，则得到周长总和. 【详解】由已知得111n n n n n n A B A B B B ---=- (4n ≤且*n ∈N )，
342312010.5B B B B B B B B ====m ，易知图2中五个正六边形的边长(单位：m)构成
以18a =为首项，0.5d =-为公差的等差数列{}k a ．
设数列{}()*
5,1k a k k ∈≤≤N 的前5项和为5S ，则511155458540.53522S a d =+⨯⨯⨯=⨯-⨯⨯⨯=，
所以图2中的五个正六边形的周长总和为56635210S =⨯=m. 故选：B.
8．函数2
4()2x f x x =-的图象在其零点处的切线方程为（ ）
A ．360x y --=
B ．360x y +-=
C ．20x y --=
D ．20x y +-=
【答案】B
【分析】求出函数的零点，求出函数在该点处的导数值，根据导数的几何意义即可求得答案. 【详解】令24()02x f x x =-=，则3
8,2x x =∴=，即24()2x f x x =-的零点为2x =，
又24
(),(2)3f x x f x
''=--∴=-，而(2)0f =，
故函数2
4()2x f x x =-的图象在其零点处的切线方程为03(2)y
x ，即360x y +-=，
故选：B.
二、多选题
9．过点(3,4)P 作圆C ：224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列说法正确的是（ ） A ．221
||5
AB =
B ．AB 所在直线的方程为3440x y +-=
C ．四边形PACB 的外接圆方程为22340x y x y +--=
D ．PAB 的面积为4221
25
【答案】BCD
【分析】在PAO 中利用等面积法得到AO PA AH OP ⋅=⋅，即可求出AH 的长度，进而可得AB ，即可判断A 选项；求出以P 为圆心，PA 为半径的圆的方程与圆C 做差，即可得到AB 所在直线的方程，进而判断B 选项；根据平面几何知识可得四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆，进而可以求出圆的方程进行判断；求出PH 的长度，利用面积公式即可求出PAB 的面积，从而可判断D 选项.
【详解】
因为PA PB =，所以以P 为圆心，PA 为半径的圆交圆224x y +=于,A B 两点， 因为22222234221PA OP OA =-=+-=,
又因为以P 为圆心，PA 为半径的圆为()()2
2
3421x y -+-=，
()()
22
3421x y -+-=与224x y +=相减得3440x y +-=
所以AB 所在直线的方程为3440x y +-=，故B 正确； 连接OP 交AB 于H ，等面积法可得
11
22
AO PA AH OP ⋅=⋅，即AO PA AH OP ⋅=⋅，所以2215AH ，
即AH =
AB =A 错误； 四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆，故圆心为3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为52的圆，故方程为
()2
2325224x y ⎛
⎫-+-=
⎪⎝
⎭，即22340x y x y +--=，故C 正确；
因为21
5PH ==
=，
所以12125PAB
S
=⨯=
，故D 正确； 故选：BCD.
【点睛】圆的弦长的常用求法：
（1）几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12AB x =-. 10．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且91011S S S =<，则（ ） A ．0d < B ．100a = C ．180S < D ．89S S >
【答案】BCD
【分析】根据等差数列的知识确定正确选项.
【详解】由于910910S a S S =+=，所以100a =，B 选项正确. 由于10111110S a S S =+<，所以110a >，所以0d >，A 选项错误.
由于0d >，100a =，所以当*19,N n n ≤≤∈时，0n a <，所以8998a S S S =+>，D 选项正确. ()118
189109189902
a a S a a a +=
⨯=+=<，C 选项正确. 故选：BCD
11．已知方程22
=141
x y t t +--表示的曲线为C 则以下四个判断正确的为（ ）
A ．当14t <<时，曲线C 表示椭圆
B ．当4t >或1t <时，曲线
C 表示双曲线 C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512
t <<
D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t > 【答案】BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程，逐项判断正误；
【详解】若曲线C ：2
2
=141x y
t t +--表示椭圆，则40101441
t t t t t ->⎧⎪->∴<<⎨⎪-≠-⎩
且52t ≠，故A 不正确；
若曲线C ：22
=141
x y t t +--表示双曲线，则()()410t t --<1t ∴<或4t >，故B 正确；
若曲线C ：2
2
=141x y
t t +--表示焦点在x 轴上的椭圆，则40
5101241
t t t t t ->⎧⎪->∴<<⎨⎪->-⎩
，故C 正确；
若曲线C ：22
=141x y t t +--表示焦点在y 轴上的双曲线，则10440t t t ->⎧∴>⎨
-<⎩
，故D 正确； 故选：BCD
12．已知函数()()
22x
f x x x e =-⋅，则（ ）
A ．函数()f x 在原点处的切线方程为2y x =-
B ．函数()f x
的极小值点为x =C ．函数()f x
在(,-∞上有一个零点 D ．函数()f x 在R 上有两个零点 【答案】AD
【分析】对于A ，利用导数的几何意义求解即可；对于B ，先对函数求导，然后使导函数等于零，
再判断增减区间，从而可函数的极值点；对于C ，
由于当x <()()220x
f x x x e =->恒成立，
所以在(,-∞上无零点；对于D ，令()0f x =，解方程可得其零点
【详解】函数()()22x f x x x e =-，得()()22x
f x x e '=-，则()02f '=-；
又()00f =，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-，故A 正确． 令()0f x '=
得x =
x =
当(()
,2,x ∈-∞+∞时，0f
x
，函数(
)y f x =的增区间为(
,-∞，
)
+∞；
当(
x ∈时，0f
x
，函数
()y f x =
的减区间为(
．
所以当x =()y f x
=有极大值，故B 错误．
当x <()()220x
f x x x e =->恒成立，
所以函数()y f x =在(,-∞上没有零点，故C 错误．
当x ()y f x =在(上单调递减，且()00f =，存在唯一零点；
当
x ()y f x =在
)
+∞上单调递增，且()20f =，存在唯一零点．
故函数()y f x =在R 有两个零点，故D 正确． 故选：AD
【点睛】本小题以函数与导数为载体，考查切线方程、极值、零点等基础知识，考查数学建模能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现综合性和应用性．
三、填空题
13．过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的方程是________． 【答案】1
42
y x =
+ 【分析】根据两直线垂直，斜率乘积为1-，则得到1
2
l k =
，直接写出点斜式方程即可. 【详解】因为直线l 与直线210x y ++=垂直，所以()21l k ⨯-=-，解得：12
l k =， 所以直线l 的方程为()1
322y x -=+，即142
y x =+. 故答案为：1
42
y x =+.
14．经过点且焦点为()0,5-，()0,5的双曲线的标准方程是________． 【答案】22
1916
y x -=
【分析】由焦点坐标得5c =，由定义得3a =，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】双曲线的焦点在y 轴上，且5c =，
因为双曲线过点，根据双曲线的定义得：26a =，则3a =，
则2
2
2
16b c a =-=，所以双曲线的标准方程为22
1916
y x -=
故答案为：22
1916
y x -=.
15．若数列{}n a 为等比数列，112
a =，44a =，则数列{}2
n a 的前5项和5S =______． 【答案】
341
4
【分析】根据等比数列概念求出2q ，则求出其通项，根据结论数列{}2
n a 也为等比数列，利用求和
公式即可得到答案.
【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为112a =
，44a =，所以3
14a q =，所以2q ，
所以2
2n n a -=；因为{}n a 为等比数列且2q
，
所以{}2n a 为等比数列，首项为2
11
4
a =
且公比为24q =， 所以
()
5
51
14413414
4S -==
-. 故答案为：
341
4
. 16．函数6
()f x x
=-在1x =处的瞬时变化率是______．
【答案】6
【分析】根据瞬时变化率的定义计算即可. 【详解】解：函数()f x 在1x =处的瞬时变化率为
()()()000066611611lim lim lim lim 6166
x x x x x f x f x x x x x
x ∆→∆→∆→∆→+∆--+∆-+∆+∆==-
=-=∆∆∆+∆.
故答案为：6.
四、解答题
17．已知各项均为正数的数列{}n a ，满足()22*
1120,n n n n a a a a n N ++--=∈且1 2.a =
（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设
12
n n n
b a log a =⋅，若n b 的前n 项和为n S ，求n S
【答案】（1）2n n a =；（2）()1
122n n +-⋅-.
【分析】（1）将2
1n a +－1n n a a ＋－22
n a ＝0分解因式得()()1120n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 的各项均
为正数， 可得120n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公比的等比数列，可求出通项公式； （2）由（1）得=2n n a ，计算出n b ，利用错位相减法求解.
【详解】（1）∵22
1120n n n n a a a a ++--=，
()()1120,n n n n a a a a ++∴+-=
∵数列{}n a 的各项均为正数， ∴10n n a a ++>，∴120n n a a +-=，
即()*
12,n n a a n N +=∈
所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列. ∵12a =，
∴数列{}n a 的通项公式2n n a =. （2）由（1）及
12
n n n
b a log a =得， 2n
n b n =-，
∵12n n S b b b =++⋯+， ∴23422232422n n S n =--⋅-⋅-⋅-
-⋅①
∴()2345
122223242122n n n S n n +=--⋅-⋅-⋅-
--⋅-⋅②
②-①得:()()2
3
4
5
1
112122222222
212212
n n n n n n S n n n +++-=+++++
+-⋅=
-⋅⋅=---.
18．已知方程22
142x y m m
-=-+表示双曲线
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当m =2时，求双曲线的焦点到渐近线的距离. 【答案】（1）(2,4)-（2）2d =
【详解】试题分析：（1）由双曲线方程特点得()()420m m -+>，解得m 的取值范围；（2）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ,再根据双曲线标准方程求b 试题解析：（1）因为方程
22
142x y m m
-=-+表示双曲线， 所以()()420m m -+>，解得：24m -<< 故实数m 的取值范围为()2,4-
（2）当m =2时，双曲线方程为22
124
x y -
= 因为双曲线的焦点在x 轴上，
所以焦点坐标为（）；
渐进线方程为b
y x a
=±
=
故焦点到渐近线的距离为2d =
=
【点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b
y x a b a -=⇒=±
2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=
3.双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.
19．在①对任意1n >满足112(1)n n n S S S +-+=+；②12n n n S S a +-=+；③1(1)n n S na n n +=-+.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题:已知数列{}n a 的前n 项和为2,4,n S a =__________，若数列{}n a 是等差数列，求出数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不是等差数列，说明理由. 【答案】答案见解析
【解析】分别选择①②③，根据等差数列的定义判断是否能构成等差数列，进而得出通项公式． 【详解】若选择条件①：
因为对任意1n >，*n ∈N ，满足112(1)n n n S S S +-+=+， 所以112n n n n S S S S +--=-+，即12n n a a +-=， 因为无法确定1a 的值，所以21a a -不一定等于2， 所以数列{}n a 不一定是等差数列. 若选择条件②： 由12n n n S S a +-=+，
则12n n n S S a +--=，即12n n a a +-=，*n ∈N ， 又因为24a =，所以12a =，
所以数列{}n a 是等差数列，公差为2， 因此数列{}n a 的通项公式为2n a n =. 若选择条件③： 因为1(1)n n S na n n +=-+
所以()11(1)n n S n a n n -=---()*
2,n n N ≥∈， 两式相减得，()112n n n a na n a n +=---，()2n ≥，
即12n n a a +-=()2n ≥，
又122S a =-，即212a a -=，
所以12n n a a +-=，*n ∈N ，
又24a =，212a a -=，所以12a =，
所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以()2212n a n n =+-=.
20．已知函数321()13
f x x ax bx =-++，R a ∈，R b ∈． (1)若0b =，函数()f x 在4x =-处取得极大值，求实数a 的值；
(2)若1,3a b ==-，求函数()f x 的单调区间．
【答案】(1)2-
(2)单调增区间是()3,+∞和(),1-∞-，减区间是()1,3-
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a 的值即可．
（2）代值，求导，根据导数正负得到函数单调区间.
【详解】（1）2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，解得；0x =或2x a =， 若函数321()13
f x x ax =-+在4x =-处取得极大值，则24a =-，解得2a =-，
当2a =-时，()(+4)f x x x '=，()00f x x '>⇒>或<4x -， ()040f x x <⇒-<<'
所以函数f (x )在()4,0-上单调递减，在(,4),(0,)-∞-+∞上单调递增.
此时函数在4x =-处取得极大值，满足题意.
故2a =-．
（2）321()313
f x x x x =--+，则()()2()2331f x x x x x =--=-+'， 当()0f x '>时，()3,x ∈+∞和(),1x ∈-∞-；
当()0f x '<时，()1,3x ∈-，
所以函数的单调增区间是()3,+∞和(),1-∞-，减区间是()1,3-.
21．若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的
，又OA OB ⊥，求a ，b 的值．
【答案】2,4a b ==-【分析】结合点差法、0OA OB ⋅=列方程，由此求得,a b 的值.
【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，
2211222
211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩两式相减并化简得12121212y y y y a x x x x b +-⋅=-+-， 012012y y y a x x x b -⋅=--
，(
)1,22
a a
b b -=-=①， 由于OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，
2211
ax by x y ⎧+=⎨+=⎩，消去y 并化简得()2210a b x bx b +-+-=， 需()()()244140b a b b a b ab ∆=-+-=+->，a b ab +>（*）
121221,x x x b b a b a x b
-==+⋅++， ()()()12121212111y y x x x x x x ⋅=--=-++，
所以()1212121222221210b b a b x x y y x x x x a b a b a b
-+-+=-++=-+==+++， 20a b +-=②，
由①②
解得2,4a b ==-，满足（*）.
所以2,4a b ==-.
22．已知函数2()2ln f x x x =-，a g x x x
=+（）．设函数()f x 与()g x 有相同的极值点． (1)求实数a 的值；
(2)若对1x ∀，213e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围； 【答案】(1)1a = (2)342ln 33
k ≤-
或1k >
【分析】（1）利用导数得出函数()f x 的极值点0x ，再令00()g x '=即可得出a 的值，再进行验证即可；
（2）首先求出()f x 与()g x 在1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最值，再对1k -分正负讨论，把已知不等式变形等价转化，即可求出参数的取值范围．
【详解】（1）解：因为2()2ln f x x x =-+， 所以22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x
-+'=-+=->， 由()00f x x >⎧⎨>'⎩得01x <<，由()00f x x <⎧⎨>'⎩
得1x >， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()f x 的极大值为()11f =-， 又()a g x x x =+，所以2()1a g x x
=-'， 依题意，1x =是函数()g x 的极值点，所以()110g a '=-=，解得1a =， 所以()()2222
1111()1x x x g x x x x -+-'=-==， 则当1x >或1x <-时，()0g x '>，当01x <<或10x -<<时，()0g x '<， 所以()g x 在()1,+∞和(),1-∞-上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； 所以函数在1x =处取得极小值，
即当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意，故=a 1；
（2）解：由（1）知1a =，由于2112e e f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，(1)1f =-，(3)2ln39f =-， 显然1(3)(1)e f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
， 故13e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，min ()2ln 39f x =-，max ()1f x =-， 又11e e e g ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，(1)2g =，10(3)3g =，故1(1)(3)e g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以当13e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，min ()2g x =，max 10()3g x =， ①当1k >时，问题等价于()()121f x g x k -≤-，
所以()()121k f x g x ≥-+恒成立，即()()12max []1k f x g x ≥-+，
()()1211212f x g x -+≤--+=-，2k ∴≥-，故1k >符合题意；
②当1k <时，问题等价于()()121f x g x k -≥-，
即()()121k f x g x ≤-+恒成立，即()()12min []1k f x g x ≤-+，
因为()()
12
1034 12ln3912ln3
33
f x
g x
-+≥--+=-，
34
2ln3
3 k
∴≤-．
综上
34
2ln3
3
k≤-或1
k>.。