2006年福建省福州市中考数学试卷(大纲卷)

2006年福建省福州市中考数学试卷（大纲卷）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（）
A．﹣B．﹣2C．D．2
2．（3分）用科学记数法表示180 000的结果是（）
A．18×104B．1.8×105C．0.18×105D．1.8×106 3．（3分）如图射线BA、CA交于点A．连接BC，已知AB=AC，∠B=40度．那么x的值是（）
A．80B．60C．40D．100
4．（3分）下列运算中，正确的是（）
A．x3+x2=x5B．x3﹣x2=x C．（x3）3=x6D．x3•x2=x5 5．（3分）如图是反比例函数图象的一支，则k的取值范围是（）
A．k＞1B．k＜1C．k＞0D．k＜0
6．（3分）方程组：的解是（）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，已知AB为⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，若OA=10，AB=16，则弦心距OC的长为（）
A．12B．10C．6D．8
8．（3分）小红记录了连续5天最低气温，并整理如下表由于不小心被墨迹污染了一个数据，请你算一算这个数据是（）
A．21B．18.2C．19D．20
9．（3分）如图，正方形ABCD边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的侧面积是（）
A．36лB．18лC．12лD．9л
10．（3分）如图，在6×11的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（）
A．4对B．3对C．2对D．1对
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）分解因式：a2+ab=．
12．（4分）分别填入适当的代数式，使等式成立：
．
13．（4分）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是．
14．（4分）如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边△ABE、△BCD，连接DE，已知△BDE的面积是，AC=4，如果AB＜BC，那么AB 的值是．
15．（4分）如图，⊙O的两条弦AF、BE的延长线交于C点，∠ACB的平分线CD 过点O，请直接写出图中一对相等的线段：．
三、解答题（共8小题，满分100分）
16．（16分）（1）计算：+﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是；在前16个图案中有个；第2008个图案是．
17．（16分）（1）解不等式：+1≥x，并将解集表示在数轴上．
（2）先化简，后求值：，其中x=﹣2．
18．（10分）关x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个实数根x1、x2，（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2满足等式x1x2﹣x1﹣x2+1=0，求m的值．
19．（10分）定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等”．
20．（10分）小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8折“，小明测算了一下．如果买50支，比按原价购买可以便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少元？
21．（12分）我们知道，“直角三角形斜边上的高线将三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形”用这一方法，将矩形ABCD分割成大小不同的七个相似直角三角形．按从大到小的顺序编号为①至⑦（如图），从而割成一副“三角七巧板”．已知线段AB=1，∠BAC=θ．
（1）请用θ的三角函数表示线段BE的长；
（2）图中与线段BE相等的线段是；
（3）仔细观察图形，求出⑦中最短的直角边DH的长．（用θ的三角函数表示）
22．（13分）正方形OCED与扇形OAB有公共顶点0，分别以OA，0B所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动．设OC=x，OA=3
（1）当x=1时，正方形与扇形不重合的面积是；此时直线CD对应的函数关系式是；
（2）当直线CD与扇形OAB相切时．求直线CD对应的函数关系式；
（3）当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形不重合的面积．
23．（13分）对于任意两个二次函数：y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，（a1a2≠0），当|a1|=|a2|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线．
现有△ABM，A（﹣1，0），B（1，0）．记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”（“□□□”
中填写相应三个点的字母）
（1）若已知M（0，1），△ABM≌△ABN（0，﹣1）．请通过计算判断C ABM与C ABN 是否为全等抛物线；
（2）在图2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．
①若已知M（0，n），求抛物线C ABM的解析式，并直接写出所有过平行四边形中
三个顶点且能与C ABM全等的抛物线解析式．
②若已知M（m，n），当m，n满足什么条件时，存在抛物线C ABM根据以上的探
究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM全等的抛物线？
若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”；若不存在，请说明理由．
2006年福建省福州市中考数学试卷（大纲卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（）
A．﹣B．﹣2C．D．2
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：D．
2．（3分）用科学记数法表示180 000的结果是（）
A．18×104B．1.8×105C．0.18×105D．1.8×106
【解答】解：根据题意180 000=1.8×105．
故选：B．
3．（3分）如图射线BA、CA交于点A．连接BC，已知AB=AC，∠B=40度．那么x的值是（）
A．80B．60C．40D．100
【解答】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，
∴x=∠C+∠B=80°．
故选：A．
4．（3分）下列运算中，正确的是（）
A．x3+x2=x5B．x3﹣x2=x C．（x3）3=x6D．x3•x2=x5
【解答】解：A、错误，x3与x2不是同类项，不能合并；
B、错误，x3与x2不是同类项，不能合并；
C、错误，应为（x3）3=x3×3=x9；
D、x3•x2=x3+2=x5，正确；
故选：D．
5．（3分）如图是反比例函数图象的一支，则k的取值范围是（）
A．k＞1B．k＜1C．k＞0D．k＜0
【解答】解：∵y=图象的一支在第二象限，
∴根据反比例函数的性质k＜0．
故选：D．
6．（3分）方程组：的解是（）
A．B．C．D．
【解答】解：①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入x+y=1得：2+y=1，
得y=﹣1．
方程组的解为．
故选：D．
7．（3分）如图，已知AB为⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，若OA=10，AB=16，则弦心距OC的长为（）
A．12B．10C．6D．8
【解答】解：在Rt△AOC中，
∵OA=10cm，根据OC⊥AB，则AC=AB=8，
∴OC==6．
故选：C．
8．（3分）小红记录了连续5天最低气温，并整理如下表由于不小心被墨迹污染了一个数据，请你算一算这个数据是（）
A．21B．18.2C．19D．20
【解答】解：设被墨迹污染了的数据为x，
则有（16+18+19+18+x）÷5=18.2，
解得：x=20；
故选：D．
9．（3分）如图，正方形ABCD边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的侧面积是（）
A．36лB．18лC．12лD．9л
【解答】解：侧面积=6π×3=18π，故选B．
10．（3分）如图，在6×11的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（）
A．4对B．3对C．2对D．1对
【解答】解：设第一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长
△ABC的各边分别为2、、；
△CDF的各边分别为、、3；
△EFG的各边分别为、、；
△HMN的各边分别为1、、；
△HPQ的各边分别为2、2、2．
可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）分解因式：a2+ab=a（a+b）．
【解答】解：a2+ab=a（a+b）．
12．（4分）分别填入适当的代数式，使等式成立：
，0或，﹣．
【解答】解：答案不唯一，如+0=，或+（﹣）=．
13．（4分）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．
【解答】解：（如图）根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH ∥BD
∴EH=FG，EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
14．（4分）如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边△ABE、△BCD，连接DE，已知△BDE的面积是，AC=4，如果AB＜BC，那么AB 的值是1．
【解答】解：∵△ABE、△BCD为等边三角形
∴∠A=∠EBA=∠DBC=60°
∴AE∥BD
设AB=x，则BD=BC=4﹣x，△ABE的高为x
∴点E到BD的距离为x
S△BDE=（4﹣x）•x=，解得x=1或x=3
∵AB＜BC
∴x=1，即AB=1．
15．（4分）如图，⊙O的两条弦AF、BE的延长线交于C点，∠ACB的平分线CD 过点O，请直接写出图中一对相等的线段：AF=BE或CF=CE或AC=BC．
【解答】解：这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线CD，根据对称的性质，
得AF=BE或CF=CE或AC=BC．
三、解答题（共8小题，满分100分）
16．（16分）（1）计算：+﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是；在前16个图案中有5个；第2008个图案是．
【解答】解：（1）原式==2；
（2）根据分析，知应分别为，5，．
17．（16分）（1）解不等式：+1≥x，并将解集表示在数轴上．
（2）先化简，后求值：，其中x=﹣2．
【解答】解：（1）去分母，得x﹣1+2≥2x
移项，得x﹣2x≥1﹣2，
解得x≤1；
在数轴上表示为：
（2）原式==
当x=时，
原式==1﹣．
18．（10分）关x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个实数根x1、x2，（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2满足等式x1x2﹣x1﹣x2+1=0，求m的值．
【解答】解：（1）先化简方程（x﹣2）（x﹣3）=m为x2﹣5x+6﹣m=0，
∴a=1，b=﹣5，c=6﹣m，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣m）=1+4m≥0，
∴m≥﹣．
（2）∵x1+x2=5，x1•x2=6﹣m，
∴x1x2﹣x1﹣x2+1=x1x2﹣（x1+x2）+1=6﹣m﹣5+1=0
∴m=2．
19．（10分）定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等”．
【解答】证明：在梯形ABCD中，
∵AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB．
又∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴AC=DB．
20．（10分）小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8折“，小明测算了一下．如果买50支，比按原价购买可以便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少元？
【解答】解：设每支铅笔的原价为x元，
依题意得：50x（1﹣0.8）=6，
解得：x=0.6．
答：每支铅笔的原价是0.6元．
21．（12分）我们知道，“直角三角形斜边上的高线将三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形”用这一方法，将矩形ABCD分割成大小不同的七个相似直角三角形．按从大到小的顺序编号为①至⑦（如图），从而割成一副“三角七巧板”．已知线段AB=1，∠BAC=θ．
（1）请用θ的三角函数表示线段BE的长sinθ；
（2）图中与线段BE相等的线段是DF；
（3）仔细观察图形，求出⑦中最短的直角边DH的长．（用θ的三角函数表示）
【解答】解：（1）∵sinθ=，AB=1，
∴BE=sinθ．
（2）∵AB=CD，∠BAC=∠ACD=θ，
∴DF也应该是sinθ，
∴BE=DF．
（3）解：由（1）（2）知DF=BE=sinθ，
由题意得Rt△DFG∽Rt△CAB，
∴∠DFG=∠CAB=θ．
在Rt△DFG中，
∵sin∠DFG=，DF=sinθ，
∴DG=sin2θ．
∵Rt△DGH∽Rt△DFG，
∴∠DGH=∠DFG=θ．
在Rt△DGH中，
sin∠DGH=，DG=sin2θ，
∴DH=sin3θ．
22．（13分）正方形OCED与扇形OAB有公共顶点0，分别以OA，0B所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动．设OC=x，OA=3
（1）当x=1时，正方形与扇形不重合的面积是；此时直线CD对应的函数关系式是y=﹣x+1；
（2）当直线CD与扇形OAB相切时．求直线CD对应的函数关系式；
（3）当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形不重合的面积．
【解答】解：（1），y=﹣x+1；
（2）设直线CD与扇形AOB切于点P，连接OP，则OP⊥CD；
∵CD为正方形OCED的对角线，
∴∠OCD=∠ODC=45°；
在Rt△OCP中，
∵OP=OA=3，sin∠OCP=，
∴OC=；
∴C（，0），D（0，）；
设直线C，D的解析式为y=kx+b，把C、D代入得，
∴
∴k=﹣1；
∴y=﹣x+3；
（3）①如图a，当点E落在弧AB上时，连接OE．则OE=OA=3；
∴S
不重合=S
扇AOB
﹣S
正OCED
=；
②如图b，当点C、D分别与A、B重合时，OC=OA=3；
∴S
不重合=S
正OCED
﹣S
扇AOB
=．
23．（13分）对于任意两个二次函数：y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，（a1a2≠0），当|a1|=|a2|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线．
现有△ABM，A（﹣1，0），B（1，0）．记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”（“□□□”
中填写相应三个点的字母）
（1）若已知M（0，1），△ABM≌△ABN（0，﹣1）．请通过计算判断C ABM与C ABN 是否为全等抛物线；
（2）在图2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．
①若已知M（0，n），求抛物线C ABM的解析式，并直接写出所有过平行四边形中
三个顶点且能与C ABM全等的抛物线解析式．
②若已知M（m，n），当m，n满足什么条件时，存在抛物线C ABM根据以上的探
究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM全等的抛物线？
若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线C ABM的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线C ABM过点A（﹣1，0），B（1，0），M（0，1），
∴抛物线C ABM的解析式为y=﹣x2+1，
同理可得抛物线C ABN的解析式为y=x2+1，
∵|﹣1|=|1|，
∴C ABM与C ABN是全等抛物线．
（2）①设抛物线C ABM的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线C ABM过点A（﹣1，0），B（1，0），M（0，n），
抛物线C ABM的解析式为y=﹣nx2+n，
与C ABM全等的抛物线有：
y=nx2﹣n，y=n（x﹣1）2，y=n（x+1）2
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线C ABM，与C ABM全等的抛物线有：C ABN，C AME，
C BMF．。