2018学年高中数学人教B版必修2课件：2.2.4 点到直线的距离 精品

2．公式
|Ax0＋By0＋C|
点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝_____A_2_＋__B_2_____.
原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离是( )
A. 2
B. 3
C．2
D. 5
【解析】 由点到直线的距离公式得 d＝|0＋120＋－252|＝ 5.
【答案】 D
教材整理 2 两平行线间的距离公式 阅读教材 P89“例 2”内容，完成下列问题． 1．概念 夹在两条平行直线间的__公__垂__线__段__的长度就是两条平行直线间的距离． 2．求法 两条平行直线间的距离转化为__点__到__直__线__的距离．
【解】 |AC|＝ 4－12＋2－12＝ 10， 直线 AC 的方程为2y－－11＝4x－－11， 即 x－3y＋2＝0.
∵点 B(m， m)到直线 AC 的距离 d＝|m－12＋3 m－＋322|， ∴△ABC 的面积 S＝12|AC|·d＝12|m－3 m＋2|＝12 m－322－14. ∵1<m<4，∴1< m<2， ∴0< m－322－14≤14，0<S≤18. ∴当 m＝32，即 m＝94时，△ABC 的面积 S 最大．
3．公式
两条平行直线 |C1－C2|
l1：Ax＋By＋C1＝0
与
l2：Ax＋By＋C2＝0
之间的距离
d＝
____A_2_＋__B_2_____.
两直线 3x＋4y－2＝0 和 6x＋8y－5＝0 的距离等于( )
A．3
B．7
1
1
C.10
D.2
【解析】 直线 6x＋8y－5＝0 化为 3x＋4y－52＝0.
探究 2 上述问题中，当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程．
【提示】 由上图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直． 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， ∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)， 即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
故两直线平行，且两直线间的距离为：d＝－322＋＋4522＝125＝110.
【答案】 C
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
点到直线的距离
[小组合作型]
求过点 M(－2,1)，且与 A(－1,2)，B(3,0)距离相等的直线方程. 【导 学号：60870069】
阶
阶
段
段
1
3
2．2.4 点到直线的距离
学
阶 段
业 分 层
2
测
评
1．掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(重点) 2．会求两条平行直线的距离．(难点、易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 点到直线的距离 阅读教材 P87～P88“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．概念 过一点向直线作垂线，则该点与_垂__足___之间的距离，就是该点到直线的距 离．
两条平行线间的距离 直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2，且 l1 与
l2 的距离为 5，求直线 l1 与 l2 的方程．
【精彩点拨】 先设出 l1、l2 的方程，利用两条平行线间的距离公式求解， 但注意直线斜率的讨论．
【自主解答】 当 l1，l2 的斜率不存在，即 l1：x＝0，l2：x＝5 时，满足条 件．
【解析】 d＝|－7－32＋－4122|＝1.
【答案】 C
3．分别过点 A(－2,1)和点 B(3，－5)的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直 线间的距离是________．
【解析】 d＝|3－(－2)|＝5. 【答案】 5
4．已知两点 A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋y＋3＝0 的距离相等，则 m＝ ________.
我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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求两平行线间距离一般有两种方法 1．转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条 直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊 点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． 2．公式法：直接用公式 d＝ |CA1－2＋CB22| ，但要注意两直线方程中 x，y 的系数 必须分别相同．
解得 c＝0 或 c＝2. 故所求直线方程为 2x＋y＝0 或 2x＋y＋2＝0. 【答案】 D
距离公式的综合应用
[探究共研型]
探究 1 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(－3，－1)，并 且各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d.你能求出 d 的 取值范围吗？
【提示】 如图， 显然有 0<d≤|AB|. 而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10]．
1．距离公式在有关面积计算中的应用主要体现在一边的高的计算上，但要 注意根据条件进行选择．
2．有关最值问题应注意：先考虑几何方法，若运用几何性质不易断定时， 改用函数思想求解．
[再练一题] 3．已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,1)、B(m， m)、C(4,2)，1<m<4.当 m 为何 值时，△ABC 的面积 S 最大？ 【导学号：60870070】
1＝－2k＋b， |－k－k2＋2Байду номын сангаас1 b|＝|3kk2＋＋b1|，
化简得：bk＝－12－k＝b1，，
b－2k＝1， 或k＝－12，
所以kb＝＝01，，
或k＝－12， b＝0.
故所求直线方程为 y＝1 或 x＋2y＝0.
解此类题目有两种方法，一是利用数形结合的方法，过一定点与两定点距 离相等的点的直线有两条，根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是 求此类问题的一般方法，它应用了点到直线的距离公式，但设所求直线的方程 时，要注意考虑直线的斜率是否存在.
[再练一题] 1．求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4.
【解】 (1)直线 y＝34x＋14化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离 公式可得
d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158. (2)因为直线 y＝6 与 y 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线 x＝4 与 x 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d＝|3－4|＝1.
【精彩点拨】 所求直线过点 M，且到两定点 A 和 B 的距离相等．解答本 题可以根据几何意义分两类情况：(1)直线过线段 AB 的中点；(2)所求直线与 AB 平行，或可利用点到直线的距离公式求解．
【自主解答】 法一 由题意可得 kAB＝－12，线段 AB 的中点为 C(1,1)，满 足条件的直线经过线段 AB 的中点或与直线 AB 平行．
[再练一题] 2．与直线 2x＋y＋1＝0 的距离等于 55的直线方程为( ) A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0 C．2x＋y＝0 或 2x＋y－2＝0 D．2x＋y＝0 或 2x＋y＋2＝0
【解析】 根据题意可设所求直线方程为 2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距 离等于 55，所以 d＝ |c2－2＋11| 2＝ 55，
当直线过线段 AB 的中点时，由于 M 与 C 点的纵坐标相同，所以直线 MC 的方程为 y＝1；
当直线与 AB 平行时，其斜率为－12，由点斜式可得所求直线方程为 y－1＝－12(x＋2)，即 x＋2y＝0. 综上，所求直线的方程为 y＝1 或 x＋2y＝0.
法二 显然所求直线的斜率存在，设直线方程为 y＝kx＋b，根据条件有：
在△ABC 中，A(1,0)，B(0，－2)，点 C 在抛物线 y＝x2 上，求△ABC 面积的最小值．
【精彩点拨】 求出 AB 所在的直线方程，△ABC 面积最小就是点 C 到 AB 的距离最小．从而求得△ABC 面积的最小值．
【自主解答】 |AB|＝ 12＋22＝ 5， 直线 AB 的方程为 x＋－y2＝1， 即 2x－y－2＝0， 设 C 点坐标为(a，a2)， 则 C 点到直线 AB 的距离为 d＝|2a－a52－2|. S△ABC＝12× 5×|2a－a52－2|＝12|a2－2a＋2|＝12|(a－1)2＋1|≥12， 所以当 a＝1 时，△ABC 的面积最小，最小值为12.
【解析】 由|3mm＋2＋2＋123|＝|－mm＋2＋4＋123|， 解得 m＝12或 m＝－6. 【答案】 12或－6
5．求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且与直线 l 距离为 3 的直线方程．
【解】 ∵与 l 平行的直线方程为 5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得 52|＋b－－6|122＝3， 解得 b＝45 或 b＝－33. ∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0 或 5x－12y－33＝0.
[构建·体系]
1．点(1，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离是( )
32 A. 2
3 C.2
2 B. 2
1 D.2
【解析】
d＝
|112＋＋1＋－11|2＝3
2
2 .
【答案】 A
2．两条平行线 l1：3x＋4y－7＝0 和 l2：3x＋4y－12＝0 间的距离为( )
A．3
B．2
C．1
1 D.2
当 l1、l2 的斜率存在时，设 l1：y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， l2 ： y＝k(x －5) ， 即 kx－ y－5k＝ 0 ， 由两 条平行 直线间 的距离 公式得 |1k－2＋－－5k1|2＝5，解得 k＝152. 此时 l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0. 综上所述，所求直线 l1，l2 的方程为 l1：x＝0，l2：x＝5 或 l1：12x－5y＋5 ＝0，l2：12x－5y－60＝0.