2020_2021学年高中数学课时素养评价十四4.2.1复数的加法与减法含解析北师大版选修1_2

课时素养评价十四复数的加法与减法
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为()
A.5-3i
B.3+5i
C.7-8i
D.7-2i
【解析】选C.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)
=(6-1)+(-3-3)i+(2-2i)=5+(-6)i+(2-2i)=(5+2)+(-6-2)i=7-8i.
2.设f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于( )
A.1-3i
B.-2+11i
C.-2+i
D.5+5i
【解析】选D.因为z1=3+4i,z2=-2-i,
所以z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i.
又因为f(z)=z,
所以f(z1-z2)=z1-z2=5+5i.
3.在复平面内的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是( )
A.2+14i
B.1+7i
C.2-14i
D.-1-7i
【解析】选D.依据向量的平行四边形法则可得+=,-=,
由对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,
依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是-1-7i.
4.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和z1+z2为实数,差z1-z2为纯虚数,则实数a,b的值为
( )
A.a=-3,b=-4
B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4
D.a=3,b=4
【解析】选A.因为z1+z2=(a-3)+(4+b)i为实数,
所以4+b=0,b=-4.
因为z1-z2=(a+4i)-(-3+bi)=(a+3)+(4-b)i为纯虚数,
所以a=-3且b≠4.
故a=-3,b=-4.
【补偿训练】
已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于( )
A.-3i
B.3i
C.±3i
D.4i
【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),
则z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
所以a=0,b+3≠0,
又|b|=3,所以b=3,z=3i.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,那么实数a的值为________. 【解析】由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数,得错误!未找到引用源。

⇒a=-2.
答案:-2
6.复平面内三点A,B,C,A点对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,对应的复数为3-i,则点C对应的复数为________.
【解析】因为对应的复数是1+2i,对应的复数为3-i,
所以对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+,
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
答案:4-2i
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知复数z1=-2+i,z2=-1+2i.
(1)求z1-z2;
(2)在复平面内作出复数z1-z2所对应的向量.
【解析】(1)由复数减法的运算法则得z1-z2=(-2+i)-(-1+2i)=-1-i.
(2)在复平面内作复数z1-z2所对应的向量,如图中.
8.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设
对应的复数是z.
(1)求复数z.
(2)若复数z对应的点P在直线y=错误!未找到引用源。

x上,求θ的值.
【解析】(1)因为点A,B对应的复数分别是
z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,
所以点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),
B(-cos2θ,cos 2θ),
所以=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)
=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)
=(-1,-2sin2θ).
所以对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i=-1-2sin2θi.
(2)由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ),代入y=错误!未找到引用源。

x,
得-2sin2θ=-错误!未找到引用源。

,
即sin2θ=错误!未找到引用源。

,
所以sin θ=±错误!未找到引用源。

.
又因为θ∈(0,π),
所以sin θ=错误!未找到引用源。

,
所以θ=错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是( )
【解析】选A.由题知z=-2+i,则z+1=-1+i,由复数的几何意义可知,A是正确的.
2.(5分)△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|= |z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解题指南】根据复数的几何意义求解.
【解析】选A.设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,及由|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定
义可知,点Z即为△ABC的外心.
3.(5分)已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.
【解析】因为z+2i是实数,
可设z=a-2i(a∈R),
由|z|=4得a2+4=16,
所以a2=12,
所以a=±2错误!未找到引用源。

,
所以z=±2错误!未找到引用源。

-2i.
答案:±2错误!未找到引用源。

-2i
4.(5分)若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是________.
【解析】由|z-2|=|z+2|,知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(-2,0)距离相等的点,即虚轴.
|z-1|表示z对应的点与(1,0)的距离.
所以|z-1|min=1.
答案:1
5.(10分)在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数.
(2)判断△ABC的形状.
(3)求△ABC的面积.
【解析】(1)对应的复数为2+i-1=1+i,
对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,
对应的复数为-1+2i-1=-2+2i,
(2)因为||=错误!未找到引用源。

,||=错误!未找到引用源。

,||=错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

,
所以||2+||2=||2,
所以△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC=错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

×2错误!未找到引用源。

=2.
1.已知复数z满足|z|=2,则|z+3-4i|的最小值是( )
A.5
B.2
C.7
D.3
【解析】选D.|z|=2表示复数z在以原点为圆心,以2为半径的圆上,而|z+3-4i|表示圆上的点到(-3,4)这一点的距离,故|z+3-4i|的最小值为错误!未找到引用源。

-2=5-2=3.
2.在复平面内,复数z1在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2在以原点为圆心,半径为1的圆周上移动,求复数z1+z2在复平面上移动的X围的面积.
【解析】如图,
设ω=z1+z2,则z2=ω-z1,
所以错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
因为错误!未找到引用源。

=1,
所以错误!未找到引用源。

=1.
此式说明对于给定的z1,ω在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动.
又z1在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,
所以ω移动X围的面积为S=2×2+π×12=4+π,
即复数z1+z2在复平面上移动的X围的面积是4+π.。