高三数学 第16章第2节直接证明与间接证明复习课件 理 新人教版

sin
A2
cos
A1
sin(
2
A1 )
A2
2
A1
由sin
B2
cos
B1
sin(
2
B1
)
，得
B2
2
B1
，
sin
C2
cos C1
sin( 2
C1 )
C2
2
C1
那么A2
B2
C2
3
2
A1
B1 C1
，这与三角形的内角
2
和为 矛盾,所以假设不成立,则A2B2C2是钝角三角形，
故选D.
在数学问题解决过程中，不可能离开数学的证明．求解 数学题，每个步骤的实施，都离不开证明的因素，所以 证明是包含在推理过程之中的．证明一般分直接证明与 间接证明两种．直接证明是从已知或事实出发，遵照一 定的逻辑程序推出问题的结论的一种证明方法，它主要 有综合法和分析法两种．综合法是由已知到未知，从题 设到结论的逻辑推理方法，它的一般步骤是(已知) p0 p1 p2 pn (结论)．分析法正好与综合法的思维顺 序相反，即先假设结论是正确的，由此逐步推出保证结 论成立的必要判断，当这些判断恰好都是已知命题(正确 的命题或关系)时，所要研究的问题就得到证明，它的一般
A2B2C2的三个内角的正弦值，则 D
A．A1B1C1与A2 B2C2都是锐角三角形 B．A1B1C1与A2 B2C2都是钝角三角形 C．A1B1C1是钝角三角形，A2 B2C2是锐角三角形 D．A1B1C1是锐角三角形，A2 B2C2是钝角三角形
解析：由已知条件知A1B1C1的三个内角的余弦值均为正， 则A1B1C1为锐角三角形．假设A2 B2C2为锐角三角形．
拓展练习2：已知a
0，求证：a2
1 a2
2 a 1 2. a
证明：要证
a2
1 a2
2 a 2，
只要证
a2
1 a2
2
a
1 a
2.
因为a 0，故只要证( a2 1 2)2 (a 1 2)2，
a2
a
即a2
1 a2
4
a2Leabharlann 1 a24a2
2
1 a2
2
2(a 1 ) 2， a
从而只要证2 a2 1 2(a 1 )，
解析：“至多”的否定是“至少”，“至多一个”的否定是“至少 两个”，故选B.
4.已知直线a，b是异面直线，直线c//a，则b，c的位置
关系是 C
A．异面
B．相交
C．不可能平行
D．不可能相交
解析：假设b，c平行，则由直线c//a，得a//b，这与 “a，b是异面直线”矛盾．
5.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A4, 0
只需证3x x 2y 3y y 2x 2 x 2y y 2x，
即x2 y2 2xy，显然成立，所以 x y 2； x 2y y 2x 3
再证 x y 2 , x 2y y 2x 3
只需证3x 2x y 3y x 2y 2 x 2y y 2x，
即2xy x2 y2，显然成立，所以 x y 2 . x 2y y 2x 3
步骤是(结论) pn p2 p1(已知)．间接证明是直接 证明方法的一个补充，当直接证明有困难或过程太过于 复杂时，常采用间接证明完成．常见的间接证明是反证 法，它的思维过程是假设结论为假，遵照逻辑规则，推 出一个为假的事实(或与已知矛盾，或与数学事实矛盾)， 来说明假设结论为假是错误的，从而所要证明的结论是 正确的．一般步骤是，要证明“ p q”，(否定结论)q p1 p2 pn p(与已知矛盾)．反证法的推理基 础是四种命题间的逻辑关系，即原命题与其逆否命题的 真假性相同，其思想是，由证明p q，转向证明它的逆 否命题q p.
和C 4, 0，顶点B在椭圆 x2
25
y2 9
1上，则 sin
A sin C sin B
5 4
.
解析：椭圆 x2 y2 1中，a 5，b 3，c 4.依题意， 25 9
知AB BC 2a 10.所以 sin A sin C BC AB 10 5 .
sin B
AC 8 4
则g x1 x2 g x1 g x2
2x1x2 1 2x1 1 2x2 1 2x1x2 2x1 2x2 1 2x2 1 2x1 1 0，
即满足条件③.故g x为理想函数．
拓展练习1：在锐角ABC中，求证：sinA sinB sinC cosA cosB cosC.
例2：是否存在常数c，使得不等式
x y c x y
2x y 2y x
x 2y y 2x
对任意的正整数x、y恒成立？证明你的结论．
解析：当x y 1时，有 2 c 2，则c 2 .
3
3
3
先证 x y 2 . 2x y 2y x 3
因为x，y N*，要证 x y 2， 2x y 2y x 3
综合法的应用
例1：对于定义域为0,1的函数f x，如果同时
满足以下三条：
①对任意的x 0,1，总有f x 0；
②f 1 1；③对x1 0，x2 0，x1 x2 1，都有 f x1 x2 f x1 f x2 成立，则称函数f x为理想函数． 1若函数f x为理想函数，求f 0的值；
2
b )2
1，
当且仅当a b 时，等号成立．答案：C
3.(2010g佛山二模)已知a 0，b 0，且a b 2，则( )
A．ab 1 2
C．a2 b2 2
B．ab 1 2
D．a2 b2 3
解析：点(a，b)构成的集合是直线b a 2在第一象限 的部分．观察选项知，需研究圆a2 b2 r2的半径的取 值范围，只需求原点到线段b a 2(a 0，b 0)上各 点的距离，即 2 r 2.答案：C
证明：因为ABC为锐角三角形，所以A B ，
2
所以A B.
2
因为y sinx在(0， )上是增函数,所以sinA sin( B) cosB.
2
2
同理可得sinB cosC，sinC cosA.
所以sinA sinB sinC cosA cosB cosC.
分析法的应用
2.(2009g天津卷)设x，y R，a＞1，b＞1，若ax by 3，
a b 2 3，则 1 1 的最大值为( ) xy
A. 2
B. 3
C.1
D. 1
2
2
解析：因为ax by 3，且a 1，b 1，
所以x
loga
3，y
logb 3，所以
1 x
1 y
log3ab
log3 ( a
1.(2009g江苏卷)设a b 0，求证：3a3 2b3 3a2b 2ab2.
解析：3a3 2b3 3a2b 2ab2
3a2 a b 2b2 b a
3a2 2b2 a b．
因为a b 0，所以a b 0,3a2 2b2 0，
从而 3a2 2b2 a b 0，即3a3 2b3 3a2b 2ab2.
因此，假设不成立．
故a、b、c中至少有一个大于0.
反思小结：反证法是间接证法中的一种重要方法，体现 了同一问题的另一种研究方法．当问题处于“否定性”“唯 一性”或“无限性”背景时，往往会出现“至多”“至少”或“全 都”等词，这类命题一般都采用反证法．
拓展练习3：如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于
bca
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个大于2 D．至少有一个不小于2
解析：因为a，b，c 0，所以a 1 b 1 c 1 6，举 bca
反例可排除A、B、C，故选D.
3.用反证法证明"三角形的内角至多有一个钝角"时，
假设正确的是 B
A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少两个钝角
选题感悟：数学证明方法的选择是由具体数学问题决 定的，一般综合法应用最为常见．高考试题常以综合 法处理为主，分析法和间接法适应已知和结论都明确 的数学问题，因此牢固掌握基础知识，熟练数学基本 方法是决胜高考的前提．
即a 0，b 0，c 0，
则a b c (x2 2y ) ( y2 2z ) (z2 2x )
2
3
6
x 12 y 12 z 12 3.
因为 3 0， x 12 y 12 z 12 0，
所以a b c 0，与a b c 0矛盾．
2 判断函数g x 2x 1(x 0,1)是否为理想函数，并予
以证明．
解析：1取x1 x2 0，可得f 0 f 0 f 0 f 0 0. 又由条件①f 0 0，故f 0 0.
2显然g x 2x 1在0,1上满足条件①g x 0；
也满足条件②g 1 1.
若x1 0，x2 0，x1 x2 1，
a2
a
只要证4(a2 1 ) 2(a2 2 1 )，即a2 1 2.
a2
a2
a2
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
反证法的应用
例3：若a、b、c都是实数，且a x2 2y ，
2
b y2 2z ，c z2 2x ，
3
6
求证：a、b、c中至少有一个大于0.
证明：使用反证法：若a、b、c都不大于0，
1 .如下证明 7 1 11 5的过程，其证法是 A
要证 7 1 11 5，
只需证 7 5 11 1，
即证( 7 5)2 ( 11 1)2，
即证 35 11，即35 11.
因为35 11，所以 7 1 11 5.
A．分析法
B．综合法
C．间接证法
D．分析法与综合法并用
2.设a、b、c都是正数，则a 1 、b 1、c 1 三个数 D
综上所述，存在常数c 2，使对任意的正整数x、y， 3
不等式 x y c x y 恒成立．
2x y 2y x
x 2y y 2x
反思小结:本题主要考查用分析法证明不等式及分析 问题、解决问题的能力．此题是一个开放性问题，寻 找常数c需要根据题目条件，观察问题的特点，确定c 的值，这是解决此类问题的关键；其次由于不等式的 结构复杂，从已知入手，非常困难，采用分析法，化 繁为简，顺利找到不等式成立的必要条件．当要证的 不等式较为复杂，已知与待证间的联系不明显时，一 般采用分析法.