上海市卢湾区高三数学第一次质量调研试卷

上海市卢湾区2008学年高三年级第一次质量调研数学试卷2009.1
一．填空题（本大题满分55分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分． 1．函数123(1)x y x -+=->的反函数为____________． 2．函数2
,[2,0)(0,2]y x x x
=+
∈-的单调递减区间为_____________ ． 3．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos
5
，则该圆锥的体积为___________． 4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=____________．
5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O
12127'，北纬O
318'，B 位于东经
O 12127'，北纬O 255'，则A B 、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．
6．在二项式9
的展开式中，第四项为_____________．
7．若集合2{|(3)50,},A x x k x k x R A
R +=+-++=∈≠Φ，
则实数k 的取值范围为___________． 8.若()y f x =为定义在D 上的函数，则“存在0x D ∈，使得2200[()][()]f x f x -≠”是“函数
()y f x =为非奇非偶函数”的__________________条件.
9．已知函数()y f x =既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当[0,3]x ∈时，
2()24,f x x x =-++则当[3,6]x ∈时，()f x =____________．
10．若集合*{|100,3,}A a a a k k N =≤=∈，集合*{|100,2,}B b b b k k N =≤=∈，在A B
中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A B 中的概率为____________．
11.记123
n a a a a 为一个n 位正整数，其中12,,,n a a a 都是正整数，
119,09(2,3,
,)i a a i n ≤≤≤≤=.若对任意的正整数(1)j j n ≤≤，至少存在另一个正整数
(1)k k n ≤≤，使得j k a a =，则称这个数为“n 位重复数”.根据上述定义，“五位重复数”的个
数为.____________.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B 铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 5分，否则一律得零分．
12．函数2sin 2y x =是一个 （ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为
2π的奇函数 D.周期为2
π
的偶函数
13．若α为第二象限角，则cot cos sin ( ) A ．22sin α B ．2
2cos α- C ．0 D ．2
14．24
222222k
n
n n n n C C C C ++
+++的值为 （ ） A.2n
B.21
2n - C.21n - D.21
2
1n --
15.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有
1212()()
(
)22
x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 ( )
A.2log y x =
B.y =
2y x = D.3y x =
三．解答题（满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分10分）
解不等式：22112
2
log (325)log (45)x x x x --≤+-.
17．（本题满分15分）第1小题满分4分，第2小题满分11分
设函数2
()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).
(1)若()f x 为偶函数，求实数a 的值； (2)设2a >，求函数()f x 的最小值.
18．（本题满分16分）第1小题满分6分，第2小题满分10分.
已知四边形OABC 为直角梯形，O
90AOC OAB PO ∠=∠=⊥，平面AC ，且
3,6,2, 3.OA AB OC PO ====
(理)若1
3
PD PB =
，求：(1)点D 的坐标； (2)异面直线PC AD 与所成的角θ(用反三角函数值表示).
(文)(1)求证：AB PA ⊥；(2)求异面直线PB 与OA 所成的角θ(用反三角函数值表示).
A
B
C
O
P
19．（本题满分16分）第1小题满分10分，第2小题满分6分.
(理)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：.
(1)随机变量ξ的概率分布律；(2)随机变量ξ的数学期望与方差.
(文)袋中有同样的球9个，其中6个红色，3个黄色，现从中随机地摸6球，求：
(1)红色球与黄色球恰好相等的概率(用分数表示结果) (2)红色球多于黄色球的不同摸法的和数.
20．（本题满分18分）第1小题满分8分，第2小题满分10分.
在△ABC 中，已知O O 45,75,A B ∠=∠=点D 在AB 上，且10CD =. (1)若点D 与点A 重合，试求线段AB 的长；
(2)在下列各题中，任选一题，并写出计算过程，求出结果. ①(解答本题，最多可得6分)若CD AB ⊥，求线段AB 的长；
②(解答本题，最多可得8分)若CD 平分ACB ∠，求线段AB 的长；
③(解答本题，最多可得10分)若点D 为线段AB 的中点，求线段AB 的长.
参考答案
一、1.21log (3)(32)y x x =-+-<<
2.[(0,2]
3.16π
4. 5.673
6. 7.(,1]-∞- 8.充分且非必要条件 9.2
1020x x -+- 10.
16
67
11.62784 二、12.D 13.B 14.D 15.C
三、16.解：原不等式的解集为5{|3}4
x x -≤<-
17.解：(1)由已知()(),|2||2|,0f x f x x a x a a -=-=+=即解得；
(2)2
21
2,2()12,2
x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪
=⎨
⎪-+<⎪⎩
， 当1
2
x a ≥
时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由1
2,,2
a x a >≥
得1x >，从而1x >-， 故()f x 在1
2x a ≥时单调递增，()f x 的最小值为2()24
a a f =；
当1
2
x a <
时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当12
a
x <<
时，()f x 单调递增，当1x <时，()f x 单调递减， 则()f x 的最小值为(1)1f a =-；
由22
(2)(1)044
a a a ---=>，知()f x 的最小值为1a -.
18. (理)解：(1)(1,2,2)D ；
(2)θ= (文)解：(1)略；
(2)arccos
6
θ=。

19. (理)解：(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,11123211
543
(2);5C C C P C C ξ=== 21212332
1115433(3);10P C P C P C C C ξ+===31
321111
54321(4);10
P C P C C C C ξ=== 得随机变量ξ的概率分布律为：
(2)随机变量ξ的数学期望为：33152
34510102
E ξ=++=； 随机变量ξ的方差为：2
223
319(2 2.5)
(3
2.5)(4 2.5)5
101020
D ξ=-+-+
-=
(文)解：(1)33
6
36
95
;21
C C p C == (2)605142
63636364C C C C C C +
+=.
20.解：(1)O
60ACB ∠=，又O O O
sin75sin(4530)4
=+=
由正弦定理，得O
O
s i n 10s i n
60
16;s i n s i n 75
A C A C
B AB B ∠===∠ (2)①O 10,15,AD CD BCD ==∠=由O O
cos15sin75==
得
O
O sin152=
=-
故10t a n 20
3,103;
B D B
C
D A B A D D B =∠=-=+=
②O
10sin 30,sin ACD
ACD BCD AD A
∠∠=∠==
=∠得
10sin
sin BCD
BD AB AD DB B
∠=
==+=∠
③O O
O O
sin sin75sin sin45sin sin60sin sin60AB B AB AB A AB AC BC ACB ACB ∠∠====∠∠，， 延长CD 到E ，使D E C D =，联结E A E B 、，则由余弦定理可得
2
2
2
2
c o s C E A C A E A C A E C A E
=+
-∠， 又cos cos()cos CAE ACB ACB π∠=-∠=-∠，BC AE =，得
2
2
2
2
(2)22,CD AB AC BC +=+即2
2
44003
AB AB +=+
，
解得，AB =
.。