高三数学理工农医类期中考试卷试题

同文中学2021-2021学年度高三数学理工农医类期中考试卷
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
命 题: 张 园 和
本套试卷分第一卷〔选择、填空题〕和第二卷〔解答题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟。

第一卷〔选择、填空题 一共76分〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1、全集,U R =且2{||1|2},{|680}A x x B x x x =->=-+<那么()U A B 等于〔C 〕 A. [1,4)- B. (2,3) C. (2,3] D. (1,4)-
2、在等差数列{}n a 中，1232,13,a a a =+=那么456a a a ++等于〔 B 〕 A. 40 B. 42 C. 43 D. 45
3、过点(1,2)P -且方向向量为(1,2)a =-的直线方程为〔 A 〕
A.20x y +=
B. 250x y -+=
C. 20x y -=
D. 250x y +-=
4、假如不等式||1x a -<成立的充分不必要条件是2
3
21<<x ,那么实数a 的取值范围是
〔B 〕
A 、2321<<a
B 、2321≤≤a
C 、2123<>a a 或
D 、2
1
23≤≥a a 或
5、假设直线1:1:22=+=+y x C by ax l 与圆有两个不同交点，那么点P 〔a ，b 〕
与圆
C 的位置关系是〔C 〕
A ．点在圆上
B ．点在圆内
C ．点在圆外
D ．不能确定
6、给出以下三个命题：①“假设a b ≥，那么22ac bc ≥〞的逆命题； ②“函数
(),[,]y f x x a b =∈，
对于任意12,[,]x x a b ∈12()x x ≠，假设1212
()()
0f x f x h x x -=≠-，那么()f x 是[,]a b 上的单调函数〞的逆否命题；③假设圆锥曲线22
14x y a
+
=的一条准线方程为8x =，那么15
4
a =。

其中真命题的个数是〔B 〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7、设a 、b 、c 是互不相等的正数，那么以下等式中不恒成立．．．．的是〔C 〕 A.||||||c b c a b a -+-≤- B.a
a a a 1
12
2+
≥+ C.21
||≥-+
-b
a b a D.a a a a -+≤+-+213 8、定义在R 上的函数)(x f 满足()(3)f x f x =+，且(2)(1)1f f -=-=-，
(0)2f =那么(1)(2)(2005)(2006)f f f f ++
++=〔A 〕
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
9、向量)sin ,(cos θθ=→
a ,向量)1,3(-=→
b ,那么|2|→
→
-b a 的最大值，最小值分别是〔D 〕
A ．0,24
B ．24,4
C ．0,16
D ．0,4
10、定义两种运算：①a ⊕b =22b a -；②a ⊗b =2)(b a -。

那么函数f (x )=2
22-⊗⊕x x
满足〔B 〕 A.()()0f x f x -≥ B. ()()0f x f x -≤ C. ()()0f x f x ->
D. ()()0f x f x -<
11、设2(),(0)f x ax bx c a =++≠的导函数为/()f x ，假设//(4)(4)(2)0f f f <==，那么不等式()0f x >的解集为〔 A 〕
A. (0,4)
B.(,0)(4,)-∞+∞
C.(2,4)
D. (,2)(4,)-∞+∞
12、樊教师在黑板上写了一个集合123{,,}A a a a =, 还没等樊教师提出问题, 细心的尚清华同学就发现了其一个特征, 就是这三个数既可以构成一个等差数列, 又可以构成一个等比数列。

假设设这个等比数列的公比为q , 那么1
q q
+
=〔D 〕 A. 2 B. 2- C.
52 D. 52
- 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。

13、sin(570)-的值是 ；
14、x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-,1,02,
012x y x y x 那么y x z 3+=的最小值为 -5 ；
15、曲线x
y 1
=
和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ；
16．对于一实在数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，那么函数][)(x x f =称为高斯
函数或者取整函数，假设n n S N n n f a ,),3
(+
∈=为数列{}n a 的前n 项和，那么
n S 3=232
n n - 第二卷 〔解答题 一共74分〕
三、解答题：本大题一一共有6小题，一共74分。

解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

17、〔本小题满分是12分〕设函数()4f x x b =-+，且不等式|()|f x c <的解
集为{|12}x x -<<。

解不等式：
1()
13142
f x x -≤-。

解：|4|44b c b c
x b c x -+-+<⇔<<，所以1424
b c
b c -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
解之得：2,6b c ==。

…………………………………………………4分 于是，()42f x x =-+，12()4
x
f x --=。

…………………………7分 从而原不等式为2413142x
x -≤-。

21310132232x x x x x x --⇒
≤⇒≥⇒≤>--或。

…12分 18、如图，圆A 的半径是2，圆外一定点N 与圆A 上的点的最短间隔 为6， 过动点P 作A 的切线PM 〔M 为切点〕，连结PN 使得PM ：PN
当的坐标系，求动点P 的轨迹。

解：以AN 所在直线为x 轴，AN 的中垂线
为y 轴建立平面直角坐标系如下图， 那么A (-4,0),N (4,0)。

………………3分
设P 〔x ，y 〕，
由|PM |:|PN
，|PM |2=|P A |2–|MA |2 得：222||||4PN PA =-。

代入坐标得：
2222
2(4)(4)4x y x y ⎡⎤-+=++-⎣⎦
整理得：2224200x y x +-+=，即22(12)124x y -+= 10分 所以动点P 的轨迹是以点(12,0)为圆心，231以为半径的圆
12分
19、〔本小题满分是12分〕A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(1,3)m =-，
(cos ,sin )n A A =，且1m n =。

〔1〕假设
22
1sin 223cos sin B
B B
+=---，试ABC ∆判断的形状； 〔2〕函数221tan ()4sin 21tan x f x x x -=⋅+，将其图象按向量3
(,0)4
p A =平移后得到
函数()g x 。

试画出()g x 在ππ-到之间的图象，并由图象指出其周期。

解：〔1〕∵1m n ⋅= ∴()
()1,3cos ,sin 1A A -⋅=，即3sin cos 1A A -=……2分
∴312sin cos 122A A ⎛⎫
⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭。

∵50,666A A π
π
ππ<<-
<-
<
∴66A ππ-= ∴3
A π
=………4分
又，22
1sin 2sin cos 23tan 3cos sin cos sin B B B
B B B B B
++==--⇒=--，∴3B π=。

从而3
A B C π
===
，为等边三角形。

…………………………6分
〔2〕由〔1〕知，3(,0)(,0)44
p A π
==。

22222
2sin 11tan cos ()4sin 24sin 2sin 1tan 1cos x
x x f x x x x x x
--=⋅=⋅++
2222cos sin 4sin 2cos sin x x x x x -=⋅+ 4sin 2cos22sin 4x x x =⋅=，(,)2
x k k Z π
π≠+∈。

……………………9分
将其图象按向量(,0)4
p π
=平移后得到函数()2sin 4()2sin 44g x x x π
=-=-，
(,)2
x k k Z π
π≠+
∈。

y
2
由图象可以看出， 周期T π=。

…………………12分
20、〔本小题满分是12分〕函数32()f x x ax bx c =+++，曲线)(x f y =在点 x =1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的间隔 为
10
10， 假设2
3
x =
时，()y f x =有极值。

〔I 〕求a 、b 、c 的值；
〔II 〕求()y f x =在[－3 , 1]上的最大值和最小值。

解：(I)由32()f x x ax bx c =+++，得/2()32f x x ax b =++………1分 当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b =0． ① 当23x =
时，()y f x =有极值，那么'2
()03
f =，可得4a +3b +4=0．② 由①、②解得 a =2,b =-4．……………………………………4分 设切线l 的方程为 3y x m =+． 由原点到切线l 的间隔 为
10
10
，
10
=
．解得m =±1． ∵切线l 不过第四象限，
∴m =1．……………………………………6分 由于l 切点的横坐标为x =1，∴(1)4f =． ∴1+a +b +c=4．
∴c =5．…………………………………………………………………7分
A
B
B
〔图乙〕 〔图甲〕
/
l
(II)由(I)可得32()245f x x x x =+-+，
∴'2()344f x x x =+-．……………………………………8分 令'()0f x =，得x =－2, 2
3
x =
． x
[-3,-2) -2 (-2, 32) 32 (3
2,1] '()f x
+ 0 -
+ f (x )
极大值
极小值
…………………………………10分
∴f (x )在x =－2处获得极大值f (-2)=13． 在23x =
处获得极小值2()3f =27
95． 又f (-3)=8，f (1)=4．
∴f (x )在[-3,1]上的最大值为13，最小值为
27
95
．………………………12分 21、〔本小题满分是12分〕国庆节，同文校门上飘扬着鲜艳的五星红旗。

校门正对面是主干道，可以看作直线l 〔如图甲〕。

它与程度面成的角为α，且1
tan 20
α=。

某同学走在主干道上，注视着旗杆。

校门高为OA = m ，旗杆高为AB = m 。

问该同学走到离校门程度间隔 多远时，其观察旗杆的视角θm 〕？对于以上问题，甲乙两位同学有不同的看法。

甲说，要使θ最大，只须求tan θ的最大值。

利用直线PB 到P A 的角的计算公式，列出算式，然后求解。

乙说，根据平面几何知识，只须作出过A 、B 两点且与眼睛所在直线/l 相切的圆，切点P 即为所求〔如图乙〕。

请你参考他们的意见，求解此题。

解：如图乙，建立直角直角系。

那么(0,5.71),(0,10.70)A B 。

由题意知，眼睛所在的
直线为/1: 1.7020l y x =
+。

设(,)P x y ，那么10.70 5.71
,PB PA y y k k x x
--==。

……3分
所以， 5.7110.70
tan 5.7110.7011PA PB PA PB
y y k k x x y y k k x x
θ---
-=
=
--++⋅，将1 1.7020y x =+代入并化简得： 2 4.99tan 40113.019 4.0140020x x x θ=
-+⨯ 4.99
4019 4.0113.01
40020
x x =
⨯+-。

…………………10分 故当
4019 4.01
400x x
⨯=
，即6x =时，tan θ有最大值。

…………………………12分 22、〔本小题满分是14分〕定义在R 上的单调函数)(x f ，存在实数0x ，使得对于任意实数21,x x ，有)()()()(2102010x f x f x f x x x x f ++=+恒成立。

〔1〕求x 0的值；
〔2〕假设1)(0=x f ，且对任意正整数n ，有1)2
1
(,)(1+==
n n n f b n f a ，记12231n n n S a a a a a a +=+++，12231n n n T b b b b b b +=++
+，比拟n S 3
4与T n
的大小关系，并给出证明；
〔3〕假设不等式]1)19(log )1([log 3542
2121221+--+>+++++x x a a a n n n 对
任意不小于2的正整数n 都成立，求x 的取值范围。

解：〔1〕令021==x x ，得).0()(),0(2)()0(00f x f f x f f -=∴+= ①
令0,121==x x ，得).0()1(),0()1()()(00f f f f x f x f -=∴++= ② 由①，②得：).1()(0f x f = )(x f 为单调函数，.10=∴x …………3分 〔2〕由〔1〕得1)()()1()()()(212121++=++=+x f x f f x f x f x x f ，
,1)1(,2)(1)1()()1(=+=++=+f n f f n f n f ∴()2 1.()f n n n N +=-∈ ∴1
.21
n a n =-………………4分
又)1()21()21()2121()1(f f f f f ++=+= ，∴111
()0,() 1.22f b f ==+
又1)2
1
(2)1()21()21()2121()21(11111+=++=+=+++++n n n n n n f f f f f f ，
∴111122()2()1.22n n n n b f f b ++=+=+= ∴11
().2
n n b -=………………5分
∴1111335
(21)(21)n S n n =
+++
⨯⨯-+)1
21
12151313111(21+--++-+-=n n
)121
1(21+-=
n ……………………6分 12312110)21
()21(21)21()21()21()21()21()21(--+++=+++=n n n n T
])41(1[324
11]
)41(1[21n n -=--=…………………………7分
∴42121211(1)[1()][()].3321343421
n n n n S T n n -=---=-++ 1213333)13(40111+>+≥++++=+=--n n C C C C n n n n n n n n n n ，
∴43114
()0..324213
n n n n n S T S T n -=-<∴<+………………9分 〔3〕令n n n a a a n F 221)(+++=++ ，那么
.01
21
341141)()1(12212>+-+++=
-+=-++++n n n a a a n F n F n n n ……10分
∴当N n n ∈≥,2时，.3512
)2()1()(43=+=>>->a a F n F n F
∴
21122124
[log (1)log (91)1].3535x x >+--+ 即.2)19(log )1(log 22
121<--+x x 221091011
914x x x x ⎧
⎪+>⎪⇔->⎨⎪+⎪>-⎩ 解得3195-<<-x 或者.131
<<x ……………………14分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。