2021年高考数学(理)立体几何二轮专项提升《专题09 多面体的外接球和内切球》(解析版)

根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=233 323
⨯=，
∴
1
16 1
33
OO=-=，∴高SD=2OO1=26
3
，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=
3
4
，
∴
13262
3436
S ABC
V
-
=⨯⨯=
三棱锥
．
1．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ） A ．323π B ．16π C ．52π D ．64π
【答案】C
【解析】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32
ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=， 1333
O ABC ABC V S h h -∆==∴=. 又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30
o AB r C ===
因此球O 的半径222313R =+=
球的表面积：2452S R ππ==.故选：C
2．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为( )
A ．55π
B ．255π
C ．455π
D ．855
π 【答案】C
【解析】根据题意,点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点,点M 为11B C 的中点,设1BB 中点为N ,1AB 中点为K ,如下图所示:
在平面11BB C C 中,CN BM ⊥
由题意可知DP BM ⊥,
CN 为DP 在平面11BB C C 内的射影,所以直线DP 在过点D 且与BM 垂直的平面内 又因为P 在正方体内切球的球面上
所以点P 的轨迹为正方体的内切球与过D 且与BM 垂直的平面相交得到的小圆,即P 的轨迹为过,,D C N 的平面即为平面CDKN 与内切球的交线
因为,,D O N 位于平面11DD B B 内,
设O 到平面CDKN 的距离为h
所以由C DON O DCN V V --=,可得1111111322232ON DD AC CD CN h ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 代入可得1111212253232h ⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯,解得55
h = 正方体的内切球半径为1R = 由圆的几何性质可得所截小圆的半径为2525155r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
所以小圆的周长为4525
C r ππ== 即动点P 的轨迹的长度为455
π，故选:C 3．长方体1111ABCD A B C D -各顶点都在球O 面上，1::1:1:2AB AD AA =，,A B 两点球面距离m ，A 、1D 两点球面距离n ，则m n
值（ ）
A ．33
B ．3
C ．12
D ．2
【答案】C
【解析】如图所示：
设AB a ，则AD a =，12AA a =⇒
球的直径222222R a a a a =++=，即R a =， 则OAB 是等边三角形11263
m a a ππ⇒=⋅=， 在1AOD 中，1OA OD a ==，13AD a =，1112023AOD n a π∠︒⇒=
⋅= 故12
m n =，故选：C . 4．已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）
A ．239π
B ．318π
C ．2327π
D ．354
π 【答案】C
【解析】因为球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切 所以球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则球O 的半径1r =
球心O 到A 的距离为22222232
OA ++== 底面1ACB 为等边三角形，所以球心O 到平面1ACB 的距离为()2
2233633d ⎛⎫=
-⨯= ⎪⎝⎭ 所以平面1ACB 截球O 所得的截面圆的半径为2236133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
所以圆锥的体积为21632333327V ππ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
，所以选C 5．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条互为异面直线的AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22 B ．12 C ．24 D ．21-
【答案】A
【解析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,所以球心111,,222O ⎛⎫
⎪⎝⎭,111,,0,,0,122P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,62PQ =,22OP OQ ==,故O 到直线PQ 的距离为22262244⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,而球的半径为12,所以在球内的线段长度为2
21222242⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A .。