电磁场理论学习基本要点

电磁场理论学习基本要点
一、矢量分析 ..................................................................................................................... 1 二、静电场 ......................................................................................................................... 1 三、静电场边值问题（有界空间求解电场问题） ......................................................... 2 四、恒定磁场 ..................................................................................................................... 3 五、时变电磁场 ................................................................................................................. 4 六、平面电磁波 ................................................................................................................. 5 七、导行电磁波 ................................................................................................................. 7 八、电磁波辐射 .. (8)
一、矢量分析
1、要求熟练掌握∇算符的运算法则，即掌握∇算符同时满足微分性和矢量性的运算法则。

除掌握∇算符有关运算公式外，还应特别注意三个公式的应用
d d f f g g ∇=
∇ d d g g
∇=∇F
F d d f g ∇⨯=∇⨯F F
2、两个定理
d d V
S
V ∇=⎰⎰F F S ()d d
S
l
∇⨯=⎰⎰F S F l 3、两个恒等式
()0∇∇⨯≡F ()0f ∇⨯∇≡
4、梯度的物理意义是：梯度方向指出了给定函数随位置（坐标）变化最快的方向；
梯度方向正交于给定函数的等势面；梯度的大小表示了函数在空间点最大的变化率。

5、散度的物理意义是：一矢量场的散度是单位体积向外的净流量。

6、矢量场旋度的物理意义是：其大小是P 点单位面积上最大的环流，方向垂直于产生最大环流的闭合线所围密接面的平面。

7、梯度、散度、旋度、算符∇的几个典型计算例题：
二、静电场
1、在无界空间中，给出了电荷分布，则空间电场计算公式
301()()d 4V V R ρπε''='⎰r R E r 301
()d 4s s s R ρπε'='⎰R E r
3
01()d 4l l l R ρπε'
='⎰
R
E r
2、静电场基本方程
微分式：0
()
()ρε∇=r E r ()0∇⨯=E r 积分式：0
1
()d ()d S V
V ρε=
⎰⎰
E r S r
()d 0
l
=
⎰E r l 静电场是一个无旋场。

3、静电场与静电势关系：ϕ=-∇E
4、在无界空间中，给出了电荷分布，则电势计算公式
01())(d 4V V R ϕρπε''='⎰r r 0(d )()1
4s S S R ρπεϕ'=''⎰r r 0(d )()
14l l l R
ρπεϕ'
=''⎰
r r
5、静电势满足的微分方程：20/ϕρε∇=-
6、静电场的边界条件
矢量式：21()n fs ρ-=e D D 21()0t -=e E E
标量式：21n n fs D D ρ-= 21t t E E =
即电场的切向分量总是连续的。

7、静电势的边界条件
212
1fs n n
ϕϕ
εερ∂∂-=-∂∂ 21ϕϕ= 8、静电场、静电势几个典型计算例题：
三、静电场边值问题（有界空间求解电场问题）
1、静电唯一性定理及其意义：
静电唯一性定理：
若在求解区域V 内给定电荷分布，在区域V 的边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数
s
n ϕ
∂∂，则V 内的电势唯一确定（最多相差一个常数）。

静电唯一性定理意义：
(1) 它指明了确定电势解的条件是什么。

这些条件是： i) 求解区域内的电荷分布必须给出(包含ρf = 0)；
ii) 求解区域边界上各点必须给定电势值φ|s 或电势法向偏导数
s
n ϕ
∂∂。

(2) 因满足给定边界条件的泊松方程的解是唯一的，因此我们可以尝试解。

只要尝试解满足区域内电荷分布，满足边界条件，此尝试解就是唯一解。

2、常见的几种电势边界条件：
一般有下列两种情况： 1）导体与介质分界面s ：
a ）给出了导体的电势ϕ0（包括0），则电势边界条件为
0s ϕϕ=
b ）未给出导体上的电势，但给出了导体所带电量Q （包括0），则电
势边界条件为
0s ϕϕ=（ϕ0为待定常数）
ϕ0由导体上总电荷Q 所确定。

即ϕ0由s
s d d fs Q s s n
ϕ
ρε∂==-∂⎰⎰
确定。

封闭面积分是指包围导体的封闭面积分。

2）介质与介质（包括真空）分界面
21ϕϕ=
212
1fs n n
ϕϕ
εερ∂∂-=-∂∂ 3、如何写出求解静电问题的定解条件？如何写出求解静电问题的边界条件？
4、电像法的核心思想：边界的效应可用一个或几个等效点电荷取代。

5、分离变量法的核心思想：将变量分离，即将一个三维（或二维）电势问题分为三个（或两个）一维电势问题，然后根据边界条件正确选择单调增或单调减函数(如指数函数、双曲函数)、振荡函数(如正、余弦函数)作为一维电势的解，最后根据边界条件以及振荡函数的正交性确定有关常数。

6、电像法、分离变量法几个典型计算例题：
四、恒定磁场
1、给出了电流分布，计算无界空间的磁场的公式
03
(()d 4V V R μπ'')⨯=
'⎰J r R
B r 03
()()d 4s s s R μπ''⨯='⎰J r R B r 0
3d ()4l I R μπ''⨯=⎰l R B r
2、基本方程
微分式：()0∇=B r 0()()μ∇⨯=B r J r 积分式：d 0s
=⎰ B s
00
d d l
s
I μμ==⎰⎰B l J s
3、磁矢势与磁场关系：=∇⨯B A
4、磁矢势的意义：其绕一闭合回路的积分等于通过该回路所围面积的磁通量。

某点的矢势并无确切意义。

5、无界空间磁矢势的计算式：
0d 4V V R μπ'(')
=
'⎰J r A 0d 4s s s R μπ'(')='⎰J r A 0
d 4l I R μπ''
=⎰l A 0d 4l I R μπ''
=⎰l A
6、磁场的边界条件：
21()0n -=a B B 21()n fs ⨯-=a H H J
12n n B B = 21t t fs H H J -=
即磁通密度法向分量总是连续的。

7、电流连续性方程：
微分式：0t
ρ∂∇+
=∂J ， 积分式： d d s V V t ρ∂⋅=-∂⎰⎰J s
8、几个计算磁场的典型例题：
五、时变电磁场
1、位移电流及本质：0d t
ε∂=∂E
J 2、麦克斯韦方程组
微分式：
t
∂∇⨯=-
∂B
E ， f t
∂∇⨯=+∂D H J f ρ∇=D ， 0∇=B
积分式：
d d l
s t
∂=-∂⎰⎰
B E l s ， d d d f l
s
s t
∂=+∂⎰⎰⎰
D
H l J s s d d f s
V
V ρ=⎰⎰
D s ，
d 0s
=⎰B s
3、电磁场边界条件
矢量式：
21()0n ⨯-=a E E 21()n fs ⨯-=a H H J 21()n fs ρ-=a D D 21()0n -=a B B
标量式：
21t t E E = 21t t fs H H J -=
21n n fs D D ρ-= 21n n B B =
4、给出了电场如何求磁场？给出了磁场如何求电场？如何计算分界面上的面电荷密
度？如何计算分界面上面电流密度？ 5、电磁场能量密度和能流密度：
2211
22
m e w w w H E με=+=
+ =⨯S E H 6、时谐场的复数形式：
若电场和磁场的瞬时值为：
()0(,)cos t t ω=-E r E k r ()0(,)cos t t ω=-H r H k r
则电场和磁场的复数形式为0()j e -=k r E r E 及0()j e -=k r H r H 。

电磁场平均能量密度计算式为：1
()()()()4w με⎡⎤=+⎣⎦**H r H r E r E r ； 平均能流密度(平均功率密度)计算式为：1
Re()2
=⨯*S E H
注意：以上公式中场量为复数。

7、几个典型计算例题：
六、平面电磁波
1、理想介质中波动方程平面波解：
()0(,)j t t e ω-=k r E r E ()0(,)j t t e ω-=k r H r H
因振幅不变，因此它是一个均匀平面波解。

实际的场（瞬时值）为：
0(,)c o s ()t t ω=-E r E k r 0(,)c o s ()t t ω=-H r H k r 波矢量k 的意义：k 的大小为2π范围内波的数目，并称为波数，它反映了相位随空间的变化，因此又称为相位常数；k 的方向表示了波相位传播的方向。

k = 2k π
λ
=
电磁波传播速度（相速度）：υ
p c
k
n
ω
==
均匀平面电磁波特性：
1) 电场E 和磁场H 垂直于波的传播方向，是横电磁波； 2) 电场E 和磁场H 在空间各点彼此相互垂直； 3) E ⨯ H 的方向沿电磁波传播方向； 4) E 和H 的比值等于波阻抗
E
H
η== 5) 介质中各点的平均电磁场能量密度为
220011
22w H E με=
= 6) 平均能流密度为
001
2
k E H =
S a
电场和磁场关系：k η=⨯E H a ；1
k η
=⨯H a E ；E H η=。

2、导电介质中波动方程平面波解：
()()00c j t j t e e e ωω---==k r αr βr E E E ()()00(,)c j t j t t e e e ωω---==k r αr βr H r H H
它是一个衰减的平面波。

实际场（瞬时值）：
0(,)cos()t e t ω-=-αr E r E βr 0(,)cos()t e t ω-=-αr H r H βr 。

复电容率：c j
σ
εεω
=-
复波数：c k j αβ==-+。

α 称为衰减常数；β 为相位
常数。

传播常数：c jk j Γαβ==+
趋肤深度（穿透深度）：1
δα
=
复波阻抗：c η=
导电介质中电磁波是一衰减波。

在导电介质中，电场的相位超前磁场。

3、良导体中的平面电磁波
良导体满足的条件为σ/ωε >> 1。

对于良导体
αβ==
p ωυβ=
=
1δα==
4j c π
η=≈；电场超前磁场π/4。

4、良介质（弱导电介质）中的平面波
良介质满足的条件为σ/ωε << 1。

对于良介质
c η
α≈
β≈5、平面波极化特性
电场的方向随时间变化的规律称为电磁波的极化特性。

1） 线极化：电场的极化方向不随时间变化。

沿z 方向传播的平面电磁波，若
0(,)cos()x x x t E t kz ω=-E r e 0
(,)c o s ()
y y y t E t k z ω=-E r e
合成后：电场大小(,))
E t t kz ω=-r ；00
tan y y x
x E E E E α==
特点：E x 和E y 同相或反相。

2） 园极化：电场强度矢量的方向随时间旋转，但大小不变。

若
0(,)cos()x x t E t kz ω=-E r e 0
(,)c o s ()
2
y y t E t kz π
ω=-+
E r e
合成后：电场大小0(,)E t E =r ；tan tan()y x
E t kz E αω=
=--
特点：E x 和E y 振幅相同，相位差90°。

因E y 超前E x ，合成波是左旋极化波。

一般地，E y 超前E x 为左旋，E x 超前E y 为右旋。

3）椭圆极化：0(,)cos()x x x t E t kz ω=-E r e 0
(,)c o s ()2
y y y t E t k z π
ω=-+E r e 特点：E x 和E y 的振幅不同，相位不同。

合成后：2
22200
1y
x x y E E E E +=
椭圆极化与圆极化类同，分右旋极化和左旋极化。

E y 超前E x 为左旋极化，E x 超
前E y 为右旋极化。

6、平面波在平面分界面的入射：
掌握在分界面上电磁场边界条件的应用；给出了入射场如何求出反射场、透射场。

了解反射系数、透射系数的定义及计算。

了解对理想导体垂直入射驻波的形成与节点的计算计算。

7、几个典型计算例题：
七、导行电磁波
1、理想导体电场的边界条件：0n
E n
∂=∂； 0t E =。

2、矩形波导：
1
）传播常数：z k 2）截止频率和截止波长：
cmn f =
2c c k πλ==。

3）矩形波导(a > b )中的主模是TE 10波；能传递的最大波长为2a ； 4) 矩形波导中能传播电磁波的条件为：0,,z c c k f f λλ>><或或。

5）矩形波导的波阻抗定义：y x
TE TM y x
E E Z Z H H =
=-＝
TE z
Z k μω
=
=
；
z
TM
k Z ωε==3、谐振腔：
谐振频率和波长：
mnl f =
m n l λ=⎫
如果a ≥ b ≥ d
，最低谐振频率：110f = 4、几个典型计算例题：
八、电磁波辐射
1、推迟势的意义：在空间r 处t 时刻的场是由(t - R/υ)时刻的源决定，即观察点(r 处)的场变化滞后于源的变化，滞后的时间R/υ正好是源的变动以速度υ传播距离R 所需要的时间。

2、电偶极辐射：电偶极子是一种基本的辐射单元，它是一个载有时变电流的电流元，其长度远远小于波长，电流近似等值分布 。

远区的辐射场为：
()
0sin 4j t kr jkI l e r
ωφθπ-=
H a ； r η=⨯E H a 辐射场特点：1）是一球面TEM 波；2）辐射场强度正比于1/r 和sin θ；3）具有方向性，θ = 1800具有最大值，θ =00辐射为零。

3、任何天线都具有方向性，用方向因子或归一化因子来描述。

4、辐射功率：rad s
P d =⎰S S
5、辐射电阻：天线会辐射功率，与电路理论中电阻上消耗的功率2
012
P I R =相比可知，可以定义天线的等效电阻(辐射电阻)为R rad ：201
2
rad rad P I R =
6、了解什么是元天线、短天线、半波天线；天线阵及特点。

7、几个典型计算例题：。