瑞丽市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

瑞丽市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A ）∪B 为（ ） A ．{0，1，2，4} B ．{0，1，3，4} C ．{2，4} D ．{4}
2． 函数f （x ）=log 2（3x ﹣1）的定义域为（ ） A ．[1，+∞） B ．（1，+∞） C ．[0，+∞） D ．（0，+∞）
3． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1
()1e
x f x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ）
A ．－1
B ．
1
2
C ．1
D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
4． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定
5． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧
6．
+（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2
B ．2≤a ＜4或a ＞4
C ．a ≠2
D ．a ≠4
7． 对于区间[a ，b]上有意义的两个函数f （x ）与g （x ），如果对于区间[a ，b]中的任意数x 均有|f （x ）﹣g
（x ）|≤1，则称函数f （x ）与g （x ）在区间[a ，b]上是密切函数，[a ，b]称为密切区间．若m （x ）=x 2
﹣3x+4
与n （x ）=2x ﹣3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（ ）
A ．[3，4]
B ．[2，4]
C ．[1，4]
D ．[2，3]
8． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717
100201717
S S -=，则d 的值为（ ） A ．
120 B ．110
C ．10
D ．20 9． 下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示
B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
1x y
a b
+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示
10．如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=
被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数f （x ）有如下四个命题：①f （f （x ））=1；②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x=R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
12．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
二、填空题
13．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等. 14．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点； ③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5； ④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
15．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．
16．已知i 是虚数单位，复数
的模为 ．
17．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________. 18．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
三、解答题
19．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是棱DD 1 、C 1D 1的中点. （1）求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角 的正弦值； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．
20．已知函数f （x ）=a
﹣，
（1）若a=1，求f （0）的值；
（2）探究f （x ）的单调性，并证明你的结论；
（3）若函数f （x ）为奇函数，判断|f （ax ）|与f （2）的大小．
21．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2
，以直线AD 为旋转轴旋转一周得到
如图所示的几何体σ． （1）求几何体σ的表面积；
（2）点M 时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD 的体积为
，试判断M 点的轨迹是否为2个菱形．
A 1
B 1
C 1
D D 1 C
B
A E F
22．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证：+≥m．
23．已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
24．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．
瑞丽市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，
∴C U A={2，4}， ∵B={0，1，4}， ∴（C U A ）∪B={0，1，2，4}．
故选：A ．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2． 【答案】D
【解析】解：要使函数有意义， 则3x ﹣1＞0， 即3x ＞1， ∴x ＞0． 即函数的定义域为（0，+∞），
故选：D ．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．
3． 【答案】C
【解析】令()()()()1
11e x
g x f x kx k x =--=-+
，则直线l ：1y kx =-与曲线C ：()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1
1
11101e k g k -⎛⎫
=-+< ⎪-⎝⎭
．又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没
有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时,()1
0e
x g x =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解，所以k 的最大值为1，故选C ．
4． 【答案】C
【解析】解：由点P （x 0，y 0）在圆C ：x 2+y 2=4外，可得x 02+y 02
＞4，
求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，
故直线和圆C相交，
故选：C．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】
考点：命题的真假.
6．【答案】B
【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，
∴，
解得2≤a＜4或a＞4．
故选：B．
7．【答案】D
【解析】解：∵m（x）=x2﹣3x+4与n（x）=2x﹣3，
∴m（x）﹣n（x）=（x2﹣3x+4）﹣（2x﹣3）=x2﹣5x+7．
令﹣1≤x2﹣5x+7≤1，
则有，
∴2≤x≤3．
故答案为D．
【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组，本题的计算量不大，新定义也比较容易理解，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】
试题分析：若{}n a 为等差数列，
()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列公差为2d ,
2017171
100,2000100,201717210
S S d d ∴
-=⨯==,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 9． 【答案】B 【解析】
考
点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 10．【答案】D
【解析】解：∵P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，
∴sin θcos θ＜0，cos θ＞0，
∴sin θ＜0， ∴θ是第四象限角． 故选：D ．
【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．
11．【答案】 D
【解析】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0
∴当x 为有理数时，f （f （x ））=f （1）=1； 当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1
即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；
③若x 是有理数，则x+T 也是有理数； 若x 是无理数，则x+T 也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；
④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=
，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0
∴A （
，0），B （0，1），C （﹣
，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．
故选：D ．
【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
12．【答案】B 【解析】
试题分析：三棱锥P ABC -中，则PA 与BC 、PC 与AB 、PB 与AC 都是异面直线，所以共有三对，故选B ．
考点：异面直线的判定．
二、填空题
13．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++. 14．【答案】 ②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取x=
，
，但是
，
，因此不是单调递增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，∴
=5（a 6+a 5）＞0，
=11a 6＜0，
∴a 5+a 6＞0，a 6＜0，∴a 5＞0．因此S n 最大值为S 5，正确；
④在△ABC 中，cos2A ﹣cos2B=﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2sin （A+B ）sin （B ﹣A ）＜0⇔A ＞B ，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15．【答案】 ＞
【解析】解：∵y=3x
是增函数，
又0.8＞0.7，
∴30.8＞30.7．
故答案为：＞
【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵复数=
=i ﹣1的模为
=．
故答案为：
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
17．【答案】26 【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得371177362a a a a a ++==⇒=，由等差数列的求和
11313713()
13262
a a S a +=
==．
考点：等差数列的性质和等差数列的和．
18．【答案】 ①③④
【解析】解：①“p ∧q 为真”，则p ，q 同时为真命题，则“p ∨q 为真”，
当p 真q 假时，满足p ∨q 为真，但p ∧q 为假，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件正确，故①正确； ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P ﹣ABC ，顶点P 在底面的射影为O ，则O 为△ABC 的中心，∠PCO 为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC 中，tan ∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为
，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A （﹣2，0）和定圆的圆心B （2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆， 故动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆，故④正确， 故答案为：①③④
三、解答题
19．【答案】解：（1）设G 是AA 1的中点，连接GE ，BG ．∵E 为DD 1的中点，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面ABB 1A 1，∴GE ⊥平面ABB 1A 1，且斜线BE 在平面ABB 1A 1内的射影为BG ，∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线BE 和平面ABB 1A 1所成角，即∠EBG =θ．设正方体的棱长为a ，∴a GE =，
a BG 25=
，a GE BG BE 2
3
22=+=， ∴直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：=
θsin 3
2
=BE GE ；……6分 （2）证明：连接EF 、AB 1、C 1D ，记AB 1与A 1B 的交点为H ，连接EH ． ∵H 为AB 1的中点，且B 1H =
21C 1D ，B 1H ∥C 1D ，而EF =2
1
C 1
D ，EF ∥C 1D ， ∴B 1H ∥EF 且B 1H =EF ，四边形B 1FEH 为平行四边形，即B 1F ∥EH ， 又∵B 1F ⊄平面A 1B
E 且EH ⊆平面A 1BE ，∴B 1
F ∥平面A 1BE ． ……12分 20．【答案】
【解析】解：（1）a=1时：f（0）=1﹣=；
（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=．
∵y=2x在R是单调递增且x1＜x2
∴0＜2x1＜2x2，∴2x1﹣2x2＜0，
2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），
即a﹣=﹣a+，
解得：a=1．
∴f（ax）=f（x）
又∵f（x）在R上单调递增
∴x＞2或x＜﹣2时：|f（x）|＞f（2），
x=±2时：|f（x）|=f（2），
﹣2＜x＜2时：|f（x）|＜f（2）．
【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．
21．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）由已知S
=××2×sin135°=1，
△ABD
因而要使四面体MABD的体积为，只要M点到平面ABCD的距离为1，
因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分）
当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）
∴m=2．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵（+）[]≥（）2=3，
∴（+）×≥（）2，
∴+≥2．…（7分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】解：由p：⇒﹣1≤x＜2，
方程x2﹣（a2+1）x+a2=0的两个根为x=1或x=a2，
若|a|＞1，则q：1＜x＜a2，此时应满足a2
≤2，解得1＜|a|≤，
当|a|=1，q：x∈∅，满足条件，
当|a|＜1，则q：a2＜x＜1，此时应满足|a|＜1，
综上﹣．
【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x2，
∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8，
由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，
∴当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8．
（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
∴f（0）=0，f（1）=1，
当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8，
∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0，
∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
∴2016=4×504
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，
即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．
【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．。