高中新教材数学人课件必修第一册第章函数的零点与方程的解

方程解定义及分类
方程解的定义
对于方程$f(x) = 0$，若存在$x_0 in D$（D为方程定义域），使得$f(x_0) = 0$，则称$x_0$为方程$f(x) = 0$的 解。
方程解的分类
根据方程解的性质和数量，方程解可分为实数解、复数解、重根和根式解等。实数解和复数解是针对方程的解是 否为实数或复数进行的分类；重根是指方程中某个解出现的次数超过一次；根式解是指方程的解可以通过根式运 算表示出来。
超越方程等特殊类型方程解问题
超越方程解
超越方程是指含有超越函数的方程， 如三角函数、指数函数等。这类方程 的解法通常涉及到函数的性质和图像 分析，可以通过数值方法或图解法求 解。
特殊类型方程解
除了超越方程外，还有一些特殊类型 的方程，如分式方程、无理方程等。 这些方程的解法需要根据方程的特点 ，选择合适的变换和求解方法。
所需的精度要求。
结果输出
输出近似求解得到的函 数零点值。
03 求解方程解方法
直接求解法
一元一次方程
通过移项和合并同类项，直接求 解未知数。
一元二次方程
利用求根公式或配方法，求解方程 的根。
高次方程
通过因式分解或换元法，降低方程 次数并求解。
迭代法求解方程近似解
二分法
在区间[a, b]上连续且f(a)f(b)<0 ，通过不断将区间二分并判断中 点函数值的符号，逐步逼近方程
学习反思与改进
学生需要对自己的学习过程进行反思 ，分析自己在学习中存在的问题和不 足，提出改进措施，并分享自己的改 进计划和实施情况。
教师答疑解惑及课堂互动环节
答疑解惑
教师可以针对学生在函数零点与方程解 这一章节中遇到的问题和困惑进行解答 ，帮助学生消除学习障碍，加深对知识 点的理解和掌握。
VS
课堂互动
参数影响下函数零点和方程解变化规律研究
参数对函数零点的影响
当函数中含有参数时，参数的变化会影响函数的性质和图像，从而改变函数的零点。例如，二次函数 的零点与判别式有关，当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数零点；当判别式等于0时，函数有 两个相等的实数零点；当判别式小于0时，函数没有实数零点。
参数对方程解的影响
参数的变化也会影响方程的解。例如，一元二次方程的解与系数有关，当系数变化时，方程的解也会 发生变化。此外，一些特殊类型的方程如参数方程等，其解也会受到参数的影响。因此，在研究方程 解的变化规律时，需要考虑参数的影响。
06 总结回顾与课堂 互动环节
关键知识点总结回顾
函数的零点定义及性质
学生需要掌握函数零点的概念，理解零点与函数图像和x轴交点的关系，能够运用零点 存在性定理判断函数在指定区间上零点的存在性。
高中新教材数学人课件必修 第一册第章函数的零点与方 程的解
汇报人：XX 20XX-01-22
目录
• 函数零点与方程解基本概念 • 求解函数零点方法 • 求解方程解方法 • 典型案例分析 • 拓展延伸：复杂类型函数零点与方程解探
讨 • 总结回顾与课堂互动环节
01 函数零点与方程 解基本概念
函数零点定义及性质
函数零点与方程解关系
函数零点与方程解的对应关系
对于函数$y = f(x)$和方程$f(x) = 0$，函数零点即为方程的解，方程的解也即 为函数的零点。因此，在求解函数零点和方程解时，可以相互转化。
函数零点与方程解的求解方法
求解函数零点和方程解的方法有很多，如直接法、因式分解法、配方法、公式 法、换元法、判别式法、数形结合法等。在实际应用中，可以根据具体问题的 特点和要求选择合适的方法进行求解。
05 拓展延伸：复杂 类型函数零点与 方程解探讨
三角函数、指数函数等复杂类型函数零点问题
三角函数零点
三角函数如正弦函数、余弦函数等具有周期性，其零点与周 期和相位有关。通过变换和图像分析，可以确定三角函数的 零点。
指数函数零点
指数函数如e^x、a^x（a>0，a≠1）等，其零点取决于底数 和指数。当底数大于1时，随着x的增大，函数值趋近于正无 穷；当底数小于1时，随着x的增大，函数值趋近于0。因此， 指数函数在实数范围内没有零点。
根式函数零点
根式函数形如$f(x) = sqrt{g(x)}$，其中$g(x)$为多项式或分式。根式 函数的零点为满足$g(x) = 0$的$x$值，同时需保证被开方数非负。
03
复合函数零点求解
对于复合函数，如分式与根式的组合，需先确定内层函数的零点，再判
断外层函数是否为零。注意定义域的限制和特殊情况的处理。
零点存在性定理
如果高次多项式函数在区间$[a, b]$上连续，且 $f(a) cdot f(b) < 0$，则该函数在$(a, b)$内至 少有一个零点。
零点个数与多项式次数关系
高次多项式函数的零点个数最多等于其次数$n$ 。
分式函数和根式函数零点问题
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分式函数零点
分式函数形如$f(x) = frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$为多项式 。分式函数的零点为使得分子$P(x) = 0$的$x$值，同时需保证分母 $Q(x) neq 0$。
的解。
牛顿迭代法
利用泰勒级数展开式，构造迭代 公式x(n+1)=x(n)-
f(x(n))/f'(x(n))，通过迭代逼近方 程的解。
弦截法
在函数图像上取两点，用直线连 接这两点，并与x轴相交得到新 的点，再用新的点与其中一点连 接构造新的直线，重复此过程直
到满足精度要求。
图形结合法判断方程解个数和范围
判别式与零点个数
判别式$Delta = b^2 - 4ac$决定了二次函数的零点个数。当$Delta > 0$时，有两个不 同的零点；当$Delta = 0$时，有一个重根零点；当$Delta < 0$时，无实数零点。
高次多项式函数零点问题
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高次多项式函数
形如$f(x) = a_nx^n + a_{nபைடு நூலகம்1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0$（$a_n neq 0$，$n geq 3$）的 函数称为高次多项式函数。
观察函数图像与x轴的交点个数
01
通过绘制函数图像，可以直接观察出方程解的个数。
利用函数性质判断解的范围
02
根据函数的单调性、奇偶性等性质，可以判断出方程解的可能
范围。
结合导数判断解的分布
03
通过求导并观察导数的正负变化，可以判断出函数在不同区间
的增减性，从而推断出方程解的分布情况。
04 典型案例分析
02 求解函数零点方 法
代数法求解函数零点
01
02
03
令函数值为零
将函数表达式设置为等于 零，得到对应的方程。
解方程
运用代数方法解方程，求 得方程的解即为函数的零 点。
验证解的有效性
将求得的解代入原函数进 行验证，确保解的正确性 。
图像法判断函数零点位置
绘制函数图像
判断零点个数及位置
利用函数表达式绘制出函数的图像。
方程的解与函数零点的关系
学生需要明确方程的解与对应函数零点之间的等价关系，能够利用函数零点求解方程的 近似解。
函数零点与方程解的求解方法
学生需要掌握求解函数零点和方程解的常用方法，如二分法、牛顿迭代法等，并能够根 据具体问题选择合适的求解方法。
学生自我评价报告分享
学习成果展示
学生可以通过分享自己的课堂笔记、 作业完成情况以及小组讨论成果等方 式，展示自己在函数零点与方程解这 一章节的学习成果。
函数零点的定义
对于函数$y = f(x)$，若存在$x_0 in D$（D为函数定义域），使得$f(x_0) = 0$ ，则称$x_0$为函数$y = f(x)$的零点。
函数零点的性质
函数零点具有存在性、唯一性和稳定性。即若函数在某区间内连续且两端函数值 异号，则在该区间内至少存在一个零点；若函数在某点处可导且导数为零，则该 点可能是函数的零点；在函数零点的附近，函数值的变化相对稳定。
通过观察图像可以确定函数的零点个 数以及它们的大致位置。
观察图像与x轴交点
在图像上找到与x轴相交的点，这些点 的横坐标即为函数的零点。
数值计算法近似求解函数零点
初始区间选择
选择一个包含函数零点 的区间作为初始区间。
二分法逐步逼近
利用二分法不断将区间 缩小，逐步逼近函数的
零点。
迭代计算
通过迭代计算，不断更 新区间端点，直到达到
一次函数和二次函数零点问题
一次函数零点
一次函数$f(x) = ax + b$（$a neq 0$）的零点为$x = -frac{b}{a}$。
二次函数零点
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$），其零点可以通过求解一元二次方 程$ax^2 + bx + c = 0$得到，即使用求根公式$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 。
教师可以通过提问、小组讨论、案例分析 等方式与学生进行互动，引导学生积极参 与课堂活动，激发学生的学习兴趣和主动 性。同时，教师也可以利用课堂互动环节 了解学生的学习情况和需求，为后续教学 提供参考和改进方向。
THANKS
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