有限差分法解偏微分方程式

有限差分法解偏微分方程式
第一節偏微分方程已知二階偏微分方程
0,,,,22222=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂t u x u u t x f t u C t x u B x u A 若042=-AC B ，則稱上式為拋物線型偏微分方程。

若042>-AC B ，則稱上式為雙曲線型偏微分方程。

若042<-AC B ，則稱上式為橢圓型偏微分方程。

第二節Heat conduction 偏微分方程之數值解
Heat Conduction Equation ：
t u x u ∂
∂=∂∂2221α，L x <<0，0>t 邊界條件與初始條件必須給定。

將x 分成n 段n L h x ==∆，並取t 方向增量t
k ∆=【方法一】顯性近似法：
考慮節點()j i ,處之差分公式：grid points：()j i t x ,，()
j
i ij t x u u ,=二階偏微分為中央差分近似
2,1,,12,1,,12222h u u u x u u u x u j i j i j i j i j i j i +-+-+-≈∆+-≈∂∂一階偏微分為前向差分近似
k
u u t u u t u j i j i j i j i ,1,,1,-≈∆-≈∂∂++代入熱傳方程t u x u ∂
∂=∂∂2221α，得k u u h u u u j i j i j i j i j i ,1,22,1,,112-=+-++-α
移項整理得
()j i j i j i j i j i u u u u u h
k ,1,,1,,1222-=+-++-α令22*h
k αα=代入，得節點()j i ,之有限差分近似公式()
j i j i j i j i j i u u u u u ,1,,1,1,2*+-++-+=α，n i ,,2,1,0 =， ,2,1,0=j 其中0=j 為初始條件，0,i u 為給定。

移項得PDE finite difference formula for the heat equation：
()j
i j i j i j i u u u u ,1,,11,**21*+-++-+=ααα0=i 及n i =為邊界條件，j u ,0，j n u ,為給定。

If 5.0*0≤<α，then the approximations j i u ,converge to the solution ()
t x u ,【方法二】隱性近似法：
考慮節點()1,+j i 處之差分公式
(注意隱性近(i,j+1)與顯性法(i,j)不同，j+1line is to-be-determined )二階偏微分為中央差分近似，
2
1,11,1,121,11,1,12222h u u u x u u u x u j i j i j i j i j i j i ++++-++++-+-≈∆+-≈∂∂一階偏微分為前向差分近似
k
u u t u u t u j i j i j i j i ,1,,1,-≈∆-≈∂∂++代入熱傳方程t u x u ∂∂=∂∂2221α，得k u u h u u u j i j i j i j i j i ,1,221,11,1,112-=+-+++++-α移項整理得
()j i j i j i j i j i u u u u u h
k ,1,1,11,1,1222=++--+++++-α令22*h
k αα=代入，得節點()1,+j i 之有限差分近似公式
()()
j i j i j i j i u u u u ,1,11,11,**21=+-++-+++αα，n i ,,2,1,0 =， ,2,1,0=j 其中0=j 為初始條件，0,i u 為給定。

0=i 及n i =為邊界條件，j u ,0，j n u ,為給定。

空間網格點：0=i 到n i =各節點代入展開得
1.當1=i ，代入差分通式()()j i j i j i j i u u u u ,1,11,11,**21=+-++-+++αα，得()()
j j j j u u u u ,11,01,21,1**21=+-++++αα移項得
()0,11,0,11,21,1****21u u u u u u j j j j j αααα+=
+=-++++2.當1-=n i ，代入差分通式()()j i j i j i j i u u u u ,1,11,11,**21=+-++-+++αα，得()()j
n j n j n j n u u u u ,11,21,1,1**21-+-++-=+-+αα移項得
()n j n j n j n j n j n u u u u u u ****21,11,,11,21,1αααα+
=+=-+-+-+-+-最後代入整理得矩陣形式如下：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+--+-+-+++n j n j j j j n j j j u u u u u u u u u u ***210000*21*00**21*00**21,1,3,20,11,11,31,21,1αααααααααα 【觀念】
※隱性法為無條件穩定
※顯性法為條件穩定（5.0*≤α），時間網格距愈小愈好。

第三節雙曲線型偏微分方程
Wave Equation ：
222221t
u c x u ∂∂=∂∂，L x <<0，0>t 邊界條件與初始條件必須給定。

將x 分成n 段n
L h x ==∆，並取t 方向增量t
k ∆=考慮節點()j i ,處之差分公式
二階偏微分為中央差分近似
2,1,,12,1,,12222h u u u x u u u x u j i j i j i j i j i j i +-+-+-≈∆+-≈∂∂及
2
1,,1,21,,1,2222k u u u t u u u t u j i j i j i j i j i j i +-+-+-≈∆+-≈∂∂代入波動方程222221t
u c x u ∂∂=∂∂，得2
1,,1,22,1,,1212k u u u c h u u u j i j i j i j i j i j i +-+-+-=+-移項整理得
()1,,1,,1,,122222+-+-+-=+-j i j i j i j i j i j i u u u u u u h
k c 令2222h
k c =α代入，得節點()j i ,之有限差分近似公式()
j i j i j i j i j i j i u u u u u u ,1,,12,1,1,22+--++-++-=α或
()()
1,,2,1,121,12--++--++=j i j i j i j i j i u u u u u αα，n i ,,2,1,0 =， ,2,1,0=j 其中0=j 為初始條件，()i i i U u x u ==0,0,及
()i i V x t u =∂∂0,為給定。

代入得()()
1,0,20,10,121,12--+--++=i i i i i u u u u u αα
上式中有1,-i u 項，此項計算可由初始條件
()i V t t
u =∂∂0，利用中央差分近似一階微分值，即()i i i i i V k
u u t u u t t u =+-=∆+-≈∂∂--221,1,1,1,0移項得
1,1,2i i i u kV u -=
--0=i 及n i =為邊界條件，j u ,0，j n u ,為給定。

代回原差分近似式得
()()
1,21121,212i i i i i i u kV U U U u -+-++=-+αα移項得
()()
i i i i i kV U U U u 212221121,+-++=-+αα或
()()i i i i i kV U U U u +-++=-+21121,12
αα第四節橢圓型偏微分方程
Lapace Equation ：
022222
=∂∂+∂∂=∇y u x u u ，a x <<0，b y <<0Poisson ’s Equation ：
()y x f y u x u u ,22222
=∂∂+∂∂=∇，a x <<0，b y <<0，()y x f ,為給定之source function。

Helmholtz ’s Equation ：
()()y x f u y x g y u x u u ,,22222
=+∂∂+∂∂=∇，a x <<0，b y <<0
將x 分成n 段n
L h x ==∆，並取y 方向增量y
k ∆=考慮節點()j i ,處之差分公式
二階偏微分為中央差分近似
2,1,,12,1,,12222h u u u x u u u x u j i j i j i j i j i j i +-+-+-≈∆+-≈∂∂及
2
1,,1,21,,1,2222k u u u y u u u y u j i j i j i j i j i j i +-+-+-≈∆+-≈∂∂代入Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y
u x u ，得2
1,,1,2,1,,1,222k u u u h u u u u j i j i j i j i j i j i j i +-+-+-++-=∇移項整理得21,,1,2,1,,1,222k u u u h u u u u j i j i j i j i j i j i j
i +-+-+-++-=∇令h
k
r =代入，得節點()j i ,之有限差分近似公式1,,1,,12,2,12,222h r u u u h r u r u r u r u j i j i j i j i j i j i j
i +-+-+-++-=∇或()
,21,1,,12,12,212h r u r u u u r u r u j i j i j i j i j i j i +-+++=∇+-+-n i ,,2,1,0 =，n
j ,,2,1,0 =當y x ∆=∆及1=r ，代入得
2
,1,1,,1,1,24h u u u u u u j i j i j i j i j i j i -+++=∇+-+-Therefore,4
1,1,,1,1,+-+-+++=j i j i j i j i j i u u u u u The “relaxation ”method can be used to find the results.
Boundary Conditions
Dirichlet:The values of only the function,u,are specified on a boundary.
Neumann:The values of only the normal derivatives of the function are gives on
a boundary.
Cauchy:The values of both the function and its normal derivative are specified on the same boundary.
Finite difference expressions:。