逻辑学是研究思维形式及其规律的科学从古希腊的亚里士83

案例1
第1章导论
逻辑学是研究思维形式及其规律的科学。

从古希腊的亚里士多德逻辑到现代数理逻辑，逻辑学已形成了一个包括数理逻辑、语言逻辑、辩证逻辑在内的科学体系。

逻辑学的发展始终与科学的进步和人类思维能力的提高同步。

如今，逻辑学已渗透到计算机软件研发、工程项目管理、商业谈判、法庭论辩等诸多领域，发挥着越来越重要的作用。

逻辑是人们正确思维的工具，学习逻辑能提高人们的思维能力和学习能力。

在现代大学教育中，将逻辑学作为各专业，尤其是哲学、语言学、文学、法学、经济学、管理学、计算机科学等专业的通识教育课程，具有特别重要的意义。

以下逻辑案例及习题主要是帮助同学们掌握逻辑学的定义和对象，了解逻辑学的历史和现状。

1.1逻辑案例及其分析
[逻辑案例1] 班亭发现胰岛素
糖尿病曾是困扰人类健康的顽疾之一，历史上有不少科学家探索过糖尿病的治疗方法，但都因未能找到它的形成机理而无法根治顽疾。

1898年，奥斯加·缅科夫斯基和胡恩·梅林在一个偶然的机会发现：如果把狗的胰腺切除，狗就会患上糖尿病。

他们的发现被记录在当时有名的医学杂志上，但是没有引起科学家的充分重视。

缅科夫斯基和梅林也未继续研究腺胰切除和糖尿病之间的因果关系，他们没有意识到，这使他们错失了做出重大科学发现的一次机遇。

几年之后，加拿大医生班亭在翻阅医学杂志时读到了这则记录，他立刻被这个新发现吸引，在头脑中展开了深入的思考：为什么被切除胰腺的狗会患糖尿病？是不是因为腺胰里有某种物质能够控制人和动物的血液中糖的含量？这种物质是什么？将这种物质的提取液注射到患糖尿病动物身上会不会改善它们的病况？班亭用十只狗进行试验，他把狗的胰腺摘下、捣碎，将提取液注射给患有糖尿病的狗。

结果，患病狗的血液中含糖量迅速降低，病况很快得到改善。

他又用牛做试验，得到的结果同用狗做的试验的结果一样。

这样，班亭发现了胰腺里控制血糖含量的物质——胰岛素，这一医学上的重大发现给人类健康带来了福音。

班亭在发现胰岛素过程中的思考运用了哪些逻辑方法？胰岛素的发现表明了科学创新需要什么样的逻辑思维素质？
[逻辑分析]
在这个案例中，班亭运用了科学逻辑的两种重要方法：溯因推理和假说演绎法。

班亭以“胰岛素被切除的狗会患糠尿病”这一现象为依据，探素了糖尿病和“胰腺切除”之间的因
果关系，这正是溯因推理的运用。

这一推理使他得出了一个科学假说：胰腺内存在着能够控制血液中糖含量的物质。

为了证实这一假说，他又运用了假说——演绎法：如果将胰腺的提取液注射到患糠尿病动物身上，它们的血液中含糖量会发生改变。

通过在狗和牛身上进行的试验，得知患病动物注射提取液后血糖含量迅速下降，确证了班亭的科学假说。

班亭在其他科学家与重大科学发现擦肩而过之后，通过溯因推理和假说演绎找到了糖尿病的形成机理，这表明逻辑素质是科学创新的重要条件。

其中，通过对现象的分析提出问题、形成见解是以批判性思维素质为基础的；提出科学假说并且设计试验确证假说则要依靠演绎推理能力和归纳概括能力。

胰岛素的发现表明：较高的逻辑思维素质是科学创新的必要条件，从科学假说的提出到科学理论、科学发现的完成是逻辑方法与逻辑能力的综合运用和发挥。

[逻辑案例2] 为什么能够推出“至少有两个同学来自同一个省份”？
一所面向全国招生的著名大学的经济系一年级学生，在他们的第一堂逻辑课上遇到了碰到了两个推理问题。

老师先问大家：我们班上一共有多少个同学？回答：40个。

老师笑着说：“虽然我不知道你们来自哪些省份，但我可以推出至少有两个同学来自同一个省份。

你们说，我这个推论正确吗？”同学们迟疑了一会儿，异口同声的回答“正确”。

这时，有个男同学向老师发问：“我们宿舍一共有5个同学，都是来自西部地区，您能猜出我们来自哪些省份吗？老师略加思索，告诉那位同学：“你们同宿舍的同学中很可能至少有两个同学来自同一个省份，这个推论不是完全确定的，但它为真的概率在85%以上。

”
在这两个推理中，运用了哪两种基本推理方法？如果两个推理的结论是正确的，它们的逻辑依据是什么？
[逻辑分析]
老师在这两个推理中分别运用了演绎推理和归纳推理方法。

演绎推理是从一般到物殊的推理，从真前提必然得出真结论。

正确的演绎推理是必然性推理。

老师在第一个推理中依据的是“鸽笼原理”：如果n+1个对象中的每一个是有n种性质之一，那么，至少有两个对象是有同一种性质。

它是现代逻辑中的一条定理，在组合数学、集合论等数学分支中有重要意义。

将鸽笼原理运用到日常推理中，还可以得到许多有趣的结论，例如：“在367个人当中至少有两个人是同月同日生。

”“如果有6个同学各自精通英、日、德、俄，法五门外语
中的一门，那么，他们中至少有两个人可以用其中的一门外语进行交流。

”
老师在第二个推理中运用的是归纳概率推理，它的前提和结论之间只有或然性联系而没有必然性联系。

老师之所以认为这个推论“很可能成立”，是因为前提对结论的支持概率很高。

这个概率值的求法运用了概率论中古典概型的算法，其值为
4321601
-⨯⨯⨯=
1
5555625
归纳和演绎在科学研究和日常推理中是相互补充、相辅相成的，知识创新和批判性思维既需要归纳概括能力，也需要演绎分析能力。

[逻辑案例3] “囚徒二难”:
在博弈和决策活动中，决策者必须根据所掌握的关于局势和其它决策者可能的行动选择的信息，做出与自身目标一致的行动选择。

这一过程的关键是推理，它也是博弈分析和决策分析的基础。

下面是博弈论中非常有名的“囚徒二难”博弈。

两名犯罪嫌疑人被分别关在两间牢房里。

如果他们都坦白，则每人将到3年徒刑；如果只有一人坦白，则坦白者作为污点证人被释放，另一人将判4年徒刑；如果两人都不坦白，则两人都因证据不足被判1年徒刑。

以徒刑期为效用值，囚徒困境可表示为双矩阵：
2
不坦白坦白
1
不坦白－1，－1 －4，0
坦白0，－4 －3，－3
（坦白、坦白）是这个博弈的唯一的纳什均衡，因为无论囚徒（囚徒2）选择什么，囚徒2（囚徒1）选择坦白都会有最大效用。

但是（坦白，坦白）的效用值是（－3，－3），明显低于（不坦白，不坦白）的效用值（－1，－1）。

这就是说，均衡结果并不总是帕累托最优的结果，理性选择在策略性互动环境中并不总是遵循效用最大化原则。

问题：为什么将这个博弈称为“囚徒二难”？其中的推理形式是什么？
[逻辑分析]
这个博弈中，两个囚徒在确定自己的策略时都运用了二难推理：囚徒甲认为，如果乙选择“坦白”，则自己的最优行动是“坦白”；如果乙选择“不坦白”，则自己的最先行动仍然
是“坦白”。

因此，无论乙选择“坦白”或者选择“不坦白”，自己的最优行动总是“坦白”，这个推理可以用符号表示为：
对于囚徒乙，他的推理用甲完全一样，结论同样是选择“坦白”。

因此，这个博弈的结局是两个囚徒选择“坦白，坦白”，它给两个囚徒各带来6年徒刑。

相对于其它可能的结局，这个结局对两个囚徒是不利的，但却是理性选择的结果。

“囚徒博弈”中二难推理体现了博弈中决策的互动性，这正是博弈与单人决策活动的区别所在。

[逻辑案例4] 说谎者悖论
悖论是一种特殊的推理现象。

如果从公认的背景知识出发，通过严密无误的逻辑推导，推出了矛盾命题的等价式，则我们就可以说出现了悖论。

悖论不是一般的逻辑矛盾，而是一种特殊的思维活动和语言游戏，是逻辑学研究的重要课题。

在逻辑史上，最古老的悖论是源于古希腊的说谎者悖论，它最初的形式是：希腊克里特岛人伊壁门尼德断言：“所有克里特岛人都是说谎者”。

亚里土多德认为，这个断言只是“半截子悖论”，并不能从中建立起矛盾命题的等价式。

公元前4世纪，麦加拉学派的欧布里德发现，这个断言可以修改为“如果某人说他正在说谎，那么他说的话是真还是假？”根据这种修改，我们可以将说谎者悖论表述为：“我正在说的这句话是假的”。

问题：伊壁门尼德的断言为什么只是“半截子悖论”?说谎者悖论的推理形式是什么？
[逻辑分析]
在伊壁门尼德的断言中，假定断言是真的，则根据伊壁门尼德本人是克里特岛人这个事实，可以推出他的这个断言是假的；但是，假定断言是假的，却不能推出它是真的，除非伊壁尼门德是唯一的克里岛人并且这个断言是他说过的唯一句话。

因此，从伊壁尼门德断言不能推出矛盾命题等价式，只能由其真推出其假，故称为其“半截子悖论”。

在“我正在说的这句话是假的”这个断言中，假定其为真，则根据这句话的内容可以推出其假；假定其为假，即并非“我正在说的这句话是假的”，可以推出其为真。

这样，该悖论具有P ←→－P的形式，故为完整的逻辑悖论。

这个悖论的出现，与日常语言的语义封闭性及语词语句的歧义性有关。

为了消除以说谎者悖论为代表的逻辑悖论，现代逻辑学家提出了类型论、语言层次理论，促进了逻辑学的发展。

[逻辑案例5] 哥德尔不完全性定理:
全部数学理论都是无矛盾的吗？这是所有数学家关心的一个问题。

二十世纪20年代，德国数学家希尔伯特提出了一个规划，试图用一种无可怀疑的初等方法，证明包括算术、数学分析、集合论在内的全部数学理论具有形式系统的一致性，即无矛盾性。

1931年，奥地利逻辑学家哥德尔构造了一个形式算术系统，其中有这样的命题B，B的含义是：B在系统中是不可证的。

B是一个断定自身不可证性的不可判定的命题，B和它的否定TB都不能在系统中得到证明。

这表明这个形式算术系统是不完全的。

这个结果就是著名的哥德尔不完全性定理，其含义是：在一个足够复杂的能包含自然算术的形式系统中，如果这个系统是无矛盾的，则它必定是不完全的，即存在某个命题及其否定都不可证，因而系统本身的无矛盾性是不可证的。

包含自然数算术的系统尚且如此，包含集合论，数学分析的系统的无矛盾性自然也不能用初等的有穷方法证明。

哥德尔不完全性定理不但使希尔伯特规划破产，而且打破了人们关于数学理论无矛盾性的迷梦。

自从不完全性定理发表以来，数学家开始认识到：真实性和可证明性是两种不同的概念，并非所有的真命题都可以在相应的理论系统中得到证明。

1997年、帕里斯和哈林顿在组合数学中找到了一个定理，它在相应的皮亚诺算术理论中是不可证的。

这表明哥德尔不完全性定理已超越了逻辑学的范围，在主要数学分支中产生了深远的影响。

哥德尔在证明不完全性定理时构造的不可证语句与“说谎者悖论”有什么样的联系？不完全性定理为什么会对数学研究产生深远影响？
[逻辑分析]
哥德尔构造的语句B：B在系统中不可证，是根据说谎者语句A：A是假的，类比得到的。

这两个语句都是自指性语句，但不可证语句B不构成悖论，说谎者语句A会产生悖论：如果A真则A假，如果A假则A真。

哥德尔从说谎者悖论看到了自然语言中因歧义性产生的语言游戏规则的不确定性，发现了这个悖论的根源在于关于“真语句”的规则是不确定的。

由此他领悟到真实性和可证性是两种不同的概念，用不可证语句B取代说谎者语句A，既避免了逻辑矛盾，又证明了系统的不完全性。

哥德尔不完全性定理不仅适用于形式算术系统，而且适用于一般的形式数学系统，这表明用初等的有穷方法证明数学理论的无矛盾性是行不通的，这就要求对公理化方法进行重大改进，数理逻辑的证明论的发展已充分证明了这一点。

组合数学中不可证命题的发现，说明
了不完全性定理的普遍意义，随着更多不可证命题的出现，人们对数学的形式系统和理论，数学真理和可证命题的关系的认识将会不断深化。