广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县中学2019-2020学年高三数学文下学期期末试题含解析

广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县中学2019-2020学年高三数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
略
2. 运行如右图的程序后，输出的结果为 ()
A．13，7 B．7， 4 C．9， 7 D．9， 5
参考答案：
C
第一次，时，.第二次，
，第三次条件不成立，打印，选C.
3. 下列关于零向量的说法不正确的是（）
A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的方向是任意的
C．零向量与任一向量共线D．零向量只能与零向量相等
参考答案：
A
【考点】零向量．
【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、零向量有方向，故可得A错误；对于B、符合零向量的定义，B正确；对于C、符合零向量的性质，C正确；对于D、符合零向量的定义，D正确；综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、零向量有方向，且其方向是任意的，故A错误；
对于B、零向量的方向是任意的，符合零向量的定义，B正确；
对于C、零向量与任一向量共线，C正确；
对于D、零向量是模为0的向量，故零向量只能与零向量相等，D正确；
故选：A．
【点评】本题考查零向量的定义以及性质，关键是掌握零向量的有关性质．
4. 设函数，其中，则导数f′（﹣1）的取值范围（）
A．[3，6] B．C．D．
参考答案：
A
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；34：函数的值域．
【分析】先对原函数进行求导可得到f′（x）的解析式，将x=﹣1代入可求取值范围．【解答】解：∵
∴
∴=2sin（）+4
∵∴∴sin
∴f′（﹣1）∈[3，6]
故选A．
【点评】本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大．
5. cos等于（）
A．B． C．D．
参考答案：
C
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】原式利用余弦函数为偶函数化简，将角度变形后利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
【解答】解：cos=cos（3π﹣）=cos（π﹣）=﹣cos=﹣．
故选：C．
6. 有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇，现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】求出基本事件的所有可能性，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：将两张卡片排在一起组成两位数，
则共有4个，分别为：
老鼠老鹰；老鼠蛇；小鸡老鹰；小鸡蛇，
所组成的图案是老鹰和小鸡的概率p=，
故选：C．
7. 已知，且，则( )
A．B．C．－7 D．7
参考答案：
C
8. 已知函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f′（x）＞f（x）+1，则下列正确的为（）
A．（f（1）+1）?e＞f（2）+1 B．3e＜f（2）+1
C．3?e≥f（1）+1 D．3e2与f（2）+1大小不确定
参考答案：
B
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由此可得结论．
【解答】解：构造函数g（x）=，∴g′（x）=＞0，
∴函数在R上单调递增，
∴g（2）＞g（1）＞g（0），
∴（f（1）+1）?e＜f（2）+1，3?e＜f（1）+1，3e2＜f（2）+1，
∴3e＜f（2）+1，
故选：B．
9. 已知函数①②；③④其中对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一一个自变量，使
成立的函数是（）
A．①②④ B．②③ C．③
D．④
参考答案：
C
10. 是直线与直线互相垂直的( )
充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件[ 参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是
__________。

参考答案：
答案：4
12. 已知
参考答案：
．
因为则。

13. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡
母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，
x=__________________________，y=___________________________.
参考答案：
8 11
当时，有，解得.
14. 我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25= ；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第项．
参考答案：
28，640．
【考点】数列递推式．
【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．即可求出第8个5在该数列中所占的位置．
【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
∴a24+a25=3+25=28．
又因为a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…
即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．
所以第8个5是该数列的第5×28﹣1=640项．
故答案为：28，640．
15.
函数的定义域是．
参考答案：
16. 设函数,观察:
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， .参考答案：
17. 某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是．
参考答案：
55
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出对应的频数即可．
解答：解：根据频率分布直方图，得；
净重在区间[100，104]上的产品频率是
（0.150+0.125）×2=0.55，
∴对应的产品件数是
100×0.55=55．
故答案为：55．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求.
参考答案：
解：（Ⅰ）∵，即，∴，所以，
又∵，，成等比数列，
∴，即
，
解得，或（舍去），
∴，故；
（Ⅱ）法1：，
∴，①
①得，②①②得，
∴．
略
19. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，求
（1）tanA：tanB：tanC的值；
（2）求角A的值．
参考答案：
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得tanA：tanB：tanC的值；
（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，利用三角形内角和定理，两角和的正切函
数公式可得tanA=，解得tanA，分类讨论可求A的值．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）∵，
∴由正弦定理可得：，…2分
∴tanA=tanB=tanC，可得：tanA：tanB：tanC=1：2：3…4分
（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∵A+B+C=π，
∴tanA=﹣tan（B+C）=﹣=，…8分
解得：tanA=±1，或tanA=0，…12分
当tanA=0，舍去；
当tanA=1，A=，
当tanA=﹣1，则tanB=﹣2，则A＞，B，矛盾，
综上，A=…14分
20. （16分）动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点A（0，a）（a＞2），动点T在曲线C上运动时，|AT|的最短距离为a﹣1，求a 的值以及取到最小值时点T的坐标；
（3）设P1，P2为曲线C的任意两点，满足OP1⊥OP2（O为原点），试问直线P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，且抛物线的焦点坐标为F （0，1），准线方程为l：y=﹣1，由此能求出曲线C的方程．
（2）设点T（x0，y0），x02=4y0（y0≥0），|AT|=，由此能求出a的值以及取到最小值时点T的坐标．
（3）由题意得直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，，联立，解得P1（，），同理P2（﹣4k，4k2），由此能证明直线P1P2恒过点（0，4）．
解答：解：（1）∵动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=﹣1的距离相等，
∴根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，
且抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为l：y=﹣1，
所以曲线C的方程为x2=4y．…
（2）设点T（x0，y0），x02=4y0（y0≥0），
|AT|==，
a﹣2＞0，则当y0=a﹣2时，|AT|取得最小值为2，
2=a﹣1，a2﹣6a+5=0，a=5或a=1 （舍去），
所以y0=a﹣2=3，x0=±2，所以T坐标为（±2，3）；…
（3）由题意得直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，，
联立，解得P1（，），同理P2（﹣4k，4k2），
直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为：
整理得：k（y﹣4）+（k2﹣1）x=0，
所以直线P1P2恒过点（0，4）…（16分）
点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的实数值以及取到最小值时点的坐标的求法，考查直线是否恒过一个定点的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
21. （13分）对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，a3，…，a k}（k=1，2，3，…，m），即b k为a1，a2，a3，…，a k中的最大值，则称{b n}是{a n}的“控制数列”，{b n}各项中不同数值的个数称为{a n}的“控制阶数”．
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列{b n}为1，3，3，5，写出所有的{a n}；
（Ⅱ）若m=100，a n=tn2﹣n，其中，{b n}是{a n}的控制数列，试用t表示
（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）的值；
（Ⅲ）在1，2，3，4，5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和．
参考答案：
考点：数列的应用．
专题：新定义；等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列{b n}为1，3，3，5，可得{a n}；
（Ⅱ）确定当n≥2时，总有a n+1＞a n，n≥3时，总有b n=a n．从而只需比较a1和a2的大小，即可得出结论．
（Ⅲ）确定首项为1、2、3、4的数列的个数，即可得出结论．
解答：解：（Ⅰ）1，3，1，5； 1，3，2，5；1，3，3，5…．（3分）
（Ⅱ）因为，
所以．
所以当n≥2时，总有a n+1＞a n．
又a1=t﹣1，a3=9t﹣3．
所以a3﹣a1=8t﹣2＞0．
故n≥3时，总有b n=a n．
从而只需比较a1和a2的大小．
（1）当a1≤a2，即t﹣1≤4t﹣2，即时，{a n}是递增数列，此时b n=a n对一切n=1，2，3，…100均成立．
所以（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）=0．
（2）当a1＞a2时，即t﹣1＞4t﹣2，即时，b1=a1，b2=a1，b n=a n（n≥3）．
所以（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）=0+[（t﹣1）﹣（4t﹣
2）]+0+…+0=1﹣3t．
综上，原式=…．（9分）
（Ⅲ）154．
首项为1的数列有6个；
首项为2的数列有6+2=8个；
首项为3的数列有6+4+2=12个；
首项为4的数列有6+6+6+6=24个；
所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6+8×2+12×3+24×4=154．…（13分）
点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题．
22. 已知是椭圆上的一点，F1，F2是该椭圆的左右焦点，且.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分
别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.
参考答案：
（Ⅰ）由题意，，根据椭圆定义，
所以
所以，
因此，椭圆
（用待定系数法，列方程组求解同样给分）
（Ⅱ）设直线，，由
消去y得
因为，所以
即，解得
所以，。