七年级数学暑假专题 分式综合提高 上海科技版

初一数学暑假专题 分式综合提高某某科技版
【本讲主要内容】
一. 教学内容：
分式综合提高
繁分式中字母的取值X 围，分式连续计算的技巧，以及分式应用题的解题思路，求分式的值的技巧等
二. 教学过程：
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 如果一个分式中的分子或分母中又出现分式，这种分式称为繁分式，求繁分式的字母的取值X 围时，要把各种不同层次的分母分别不等于0，再求出字母的取值X 围。

2. 分式连续相加时，若采用大通分，不但计算量大，而且容易出错。

因此，可以对分式进行变形。

如2
111)2)(1(1+-+=++a a a a 。

这样进行连续加减运算时，可以消去某些项。

3. 若已知某个分式的值，再求另一个更繁杂的分式的值时，可以将给出的分式进行变形，然后代入求值。

如32=y x ，可将它化为y x 3
2=，然后代入。

4. 对某些分式应用题，在解题时，可以通过设一个辅助量介入，然后消去这个变量。

以上的内容虽然可能比课本要求有些高，但对提高综合能力是有帮助的，同学们可努力去领会。

【解题方法指导】
例1. 将y x 111
1+÷写成y x 1111+繁分式的形式，求x 、y 应满足什么值，以上式子有意
义
分析：对于题目中多层分式，根据分式定义，应使x
1的分母不为零，y 1的分母不为零；y x 111
+的分母不为零，y x 1111+的分母也不能为零，把分母考虑全，才算完整。

解：对于分式，它的分母不得为零。

∴在
x 1中，0≠x ； 在y
1中，0≠y 。

对于y x 111+来说，分母y x 11+也不得为零，即xy
y x +不得为零，则0≠+y x ，即x 、y 不得互为相反数。

对于y x 111
1
+的分母y x xy xy
y x y x +=+=+1111来说，0≠xy 。

因此，x 、y 应满足0≠x 且0≠y 且0≠+y x 且0≠xy 。

由于00≠≠y x 且已包含0≠xy ，因此0≠xy 可去掉。

∴0≠x 且0≠y 且0≠+y x
我们也可以写成0≠xy 且0≠+y x 。

评析：繁分式中由于出现多个分式，因此使它有意义时，需分别保证每个分式的分母均不得为零。

例2. 计算：)
5)(4(1)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1+++++++++++a a a a a a a a 。

分析：此题若采用通分的形式，计算量太大，我们可以设法类比分数中将乘法改写成加减法的方法，将以上式子进行变形。

如21121211-==⨯， 312161321-==⨯， 4
131121431-==⨯，…。

于是
2111)2)(1(1+-+=++a a a a ，3121)3)(2(1+-+=++a a a a ，…。

解：2111)2)(1(1+-+=++a a a a ，
.
5141)5)(4(1,4
131)4)(3(1,3
121)3)(2(1+-+=+++-+=+++-+=++a a a a a a a a a a a a 5141413131212111+-+++-+++-+++-+=
∴a a a a a a a a 原式 .)
5)(1(4)
5)(1(1)5)(1(55
111++=+++-+++=+-+=a a a a a a a a a a 评析：化乘除为加减，消去某些项，从而简化运算。

例3. 已知：2=y x ，求222
2y
xy x y xy x +-++的值。

分析：这类问题可以有两种变形方法，一种由结论入手，分子、分母同除以2y ，使题目中出现y
x 的形式，然后代入求值；另一种方法是将2=y x 变形为x=2y ，然后代入求值。

解法一：1)(1)()()(222222222222+-++=÷+-÷++=+-++y
x y x y x y x y y xy x y y xy x y xy x y xy x 3
712212222=+-++=。

解法二：由2=y
x ，得x=2y ，代入所求的代数式，得 37372)2(2)2(2222222222==+⋅-+⋅+=+-++y
y y y y y y y y y y xy x y xy x 。

评析：此类问题必须要求所求的代数式为二次齐次式，即每一项都是二次式，否则不能简便计算。

【考点突破】
【考点指要】
分式的综合提高在中考中应用不是很多，但在数学竞赛中却屡见不鲜，介绍的方法有一定的代表性，尽可能弄懂它，以便举一反三，触类旁通。

【典型例题分析】
例1. 计算：1
412111143
2++++++-x x x x x x 。

分析：观察四个分式的分母、分子，发现12)1)(1(1)1)(1(111112-=+--++-+=++-x x x x x x x x x x ；类似地，1
21222++-x x x x 也可采用类似的方法进行，依次类推。

解：原式1
412)1)(1()1(1)1)(1()1(143
2+++++--⋅++-+⋅=x x x x x x x x x x .1
8)
1)(1()1(4)1)(1()1(41
4141
4)1)(1()1(2)1)(1()1(21
4121287
4443444343
4343
22222243
22-=+--++-+=++-=+++--++-+=++++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
评析：此题连续使用
))((211b a b a a b a b a +-=++-的运算，从而减少项数。

例2. 已知)
2)(1(312-+=++-x x x B x A ，求A 、B 的值。

分析：将方程左边通分后，它的分母与右边分母相等，那么它左边的分子应与右边的分子相等，比较相应的系数，求出A 、B 的值。

解：)
2)(1(2)2)(1()2()1)(2()1(12-+-++=-+-++-+=++-x x B Bx A Ax x x x B x x x A x B x A .)2)(1(30)2)(1()
2()(-++=-+-++=
x x x x x B A x B A 比较对应项的系数，得⎩
⎨⎧=-=+.32,0B A B A 解得A=1，B=－1。

评析：此类问题利用对称恒等式的方法，得到对应系数的关系，然后通过解方程组求解，即（A+B ）x+(c+d)y=mx+ny ，
则⎩
⎨⎧=+=+.,n d c m B A 例3. 有一段河流，某船顺水航行的速度为1v （千米/时），逆水航行的速度为2v （千米/时），求顺水航行与逆水航行的平均速度。

分析：若用2
21v v +去求，将把问题看得简单了，解决此类问题时，需先求出顺水、逆水航行距离之和，再除以它们往返所用的时间。

为此，可设一个辅助量，即河流距离为a ，然后再消去a 。

解：设河流长度为a 千米。

∵顺水航行的速度为1v （千米/时），
∴顺水航行所用的时间为1
v a （时）。

∵逆水航行的速度为2v （千米/时）， ∴逆水航行所用的时间为2
v a （时）。

往返所用的时间为2
1v a v a +（时），往返的距离为2a （千米）。

∴往返一次的平均速度为：
212121212
112212)(222v v v v v v a v av v v av av a v a v a a
+=+=+=+（千米/时）。

评析：求平均值的问题一般是指同类问题，而顺水与逆水不能用简单平均值的方法去求。

【模拟试题】
1. 若分式x 111
+有意义，求x 的取值X 围。

2. 分式4
233-+÷-+a a a a 有意义的条件是什么？ 3. 计算：
)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1++++++++++x x x x x x x x 。

4. 解关于x 的方程：)()(b x b a x a -=-。

（b a ≠）
5. 若关于x 的方程：2
413215=-+x a ax 的根为x=2。

求a 的值。

6. 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：
信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元； 信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的
5
4倍； 信息三：甲班比乙班多2人。

请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？
【试题答案】
1. 解：⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠②①0.x 11,0x 由②得11-≠x
， 1-≠∴x 。

∴当x ≠0，且x ≠-1时，分式有意义。

2. 解：从三个方面考虑： ①
3
3-+a a 有意义，∴a ≠3； ②4
2-+a a 有意义，∴a ≠4； ③分式42-+a a 的值不得为0， ∴2-≠a ，且a ≠4。

∴2-≠a ，且a ≠3，且a ≠4。

3. 解：原式)4131()3121()2111()111(+-+++-+++-+++-=x x x x x x x x .)
4(44
11413131212111111+=+-=+-++--+++-+++-=x x x x x x x x x x x x
4. 解：)()(b x b a x a -=-
∴2
2b bx a ax -=- )
)(()(2
2b a b a x b a b a bx ax -+=--=-
∵a ≠b ，
∴0≠-b a 。

∴b a x +=。

5. 解：2
413215=-+x a ax 的根为x=2，将它代入到方程中， 得2
41232125=⨯-+⨯a a ， ∴2
4162110=-+a a 。

∴)110(2)62(41+=-a a 。

248
6222024682=+=-a a a ∴a =4。

6. 解：设甲班平均每人捐款x 元，则乙班平均每人捐款x 5
4元。

据题意，得25
4232300+=x x ， 2290300+=x
x 。

x 2290300+=。

102=x
5=x 。

经检验，x=5是方程的根。

答：甲班平均每人捐款5元。