2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练习：第一篇第3练 不等式与线性规划Word版含解析

第3练 不等式与线性规划
[明晰考情] 1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中低档难度.
考点一 不等关系与不等式的性质 要点重组 不等式的常用性质 (1)如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (2)如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥1). (3)如果a >b >0，那么n a >n b (n ∈N ，n ≥2).
1.若a ，b ，c 为实数，则下列命题为真命题的是( ) A.若a ＞b ，则ac 2>bc 2 B.若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C.若a ＜b ＜0，则1a ＜1
b
D.若a ＜b ＜0，则b a ＞a
b
答案 B
解析 B 中，∵a ＜b ＜0， ∴a 2－ab ＝a (a －b )＞0， ab －b 2＝b (a －b )＞0. 故a 2＞ab ＞b 2，B 正确.
2.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b ＜ab ＜0 B.ab ＜a ＋b ＜0 C.a ＋b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a ＋b
答案 B
解析 ∵a ＝log 0.20.3＞log 0.21＝0，b ＝log 20.3＜log 21＝0，∴ab ＜0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3＞log 0.30.4＞log 0.31＝0， ∴0＜a ＋b ab
＜1，∴ab ＜a ＋b ＜0.
3.(2017·山东)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b
2a ＜log 2(a ＋b )
B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b
C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a
D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2
a
答案 B
解析 方法一 ∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1. ∵a >b >0，ab ＝1，∴a >1，0<b <1， ∴2a >2，12a <12，∴b 2a <12
.
∵a ＋1
b ＝a ＋a ＝2a ＞a ＋b ＞log 2(a ＋b )，
∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b . 故选B.
方法二 ∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，
此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝1
8，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，
∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1
b . 故选B.
4.若x ＞y ，a ＞b ，则在：①a －x ＞b －y ；②a ＋x ＞b ＋y ；③ax ＞by ；④a y ＞b
x 这四个式子中，
恒成立的所有不等式的序号是____________. 答案 ②
考点二 不等式的解法
方法技巧 (1)解一元二次不等式的步骤
一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式Δ)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式解集).
(2)可化为f (x )
g (x )＜0(或＞0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解.
(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.
5.用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{x ＋3，－x 2＋3x ＋6}，则不等式f (x －1)<2的解集为( ) A.{x |x <－1} B.{x |x >4} C.{x |x <－1或x >4}
D.{x |x <0或x >5}
答案 D
解析 画出y ＝x ＋3与y ＝－x 2＋3x ＋6的图象如图所示，
由图易得f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋3x ＋6(x <－1)，x ＋3(－1≤x ≤3)，
－x 2＋3x ＋6(x >3)，
故f (x )的图象如图中的粗线部分所示，由f (x )<2，作出直线y ＝2，数形结合得x <－1或x >4， 则由不等式f (x －1)<2，可得x －1<－1或x －1>4，得x <0或x >5，故选D.
6.已知x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，1
4 B.⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎝⎛⎭⎫－12，32 D.(－∞，6]
答案 C
解析 令2x ＝t (0<t ≤2)，则可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋t
t 2，故只要求解h (t )＝－
1＋t t 2 (0<t ≤2)的最大值即可，h (t )＝－1t 2－1t ＝－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋14. 又1t ≥12，结合二次函数的图象知，当1t ＝12， 即t ＝2时，h (t )取得最大值－34，
即a －a 2>－3
4，所以4a 2－4a －3<0，
解得实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，32， 故选C.
7.若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bx
x －1＞0的解集
为____________.
答案 {x |x ＜0或1＜x ＜2}
解析 ∵关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，
∴a ＜0，b
a ＝－2，
∴b ＝－2a ，
∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1＞0，
即x 2－2x x －1＜0， 解得x ＜0或1＜x ＜2.
8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋x ，x ≤1，1
3log x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－3
4m 恒成立，则
实数m 的取值范围为____________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－1
4∪[1，＋∞) 解析 由题意知，m 2－3
4
m ≥f (x )max .
当x ＞1时，f (x )＝13log x 是减函数，∴f (x )＜f (1)＝0；
当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝1
2，且开口向下，
∴f (x )max ＝－14＋12＝1
4
.
∴f (x )在R 上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝1
4. ∴m 2－34m ≥14，
即4m 2－3m －1≥0， ∴m ≤－1
4或m ≥1.
考点三 基本不等式
要点重组 基本不等式：a ＋b
2≥ab ，a >0，b >0
(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等.
(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致. 9.(2018·大庆模拟)设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋2b 的最小值为( ) A.－2 3 B.－53 3 C.－3 3 D.－72 3
答案 A
解析 因为由基本不等式a 2＋2b 2≥22ab ，
所以2(a 2＋2b 2)≥a 2＋2b 2＋22ab ＝(a ＋2b )2. 又因为a 2＋2b 2＝6，
则有2×6≥(a ＋2b )2，即－23≤a ＋2b ≤2 3.
10.两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1
b 2的最小值为( )
A.1
B.3
C.19
D.4
9
答案 A
解析 由两圆恰有三条公切线知，两圆外切， 可得a 2＋4b 2＝9，
∴1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2·a 2＋4b 29＝19
⎝⎛⎭⎫5＋a 2b 2＋4b 2
a 2≥1， 当且仅当a 2＝2
b 2时取等号.
11.如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12PC →
，点M ，N 在过点P 的直
线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →
(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为( )
A.2
B.83
C.3
D.103
答案 B
解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23λAM →＋13μAN →，
因为M ，N ，P 三点共线，所以23λ＋1
3μ＝1.
因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)⎝⎛⎭⎫23λ＋13μ＝43＋4μ3λ＋λ3μ≥4
3＋24μ3λ×λ3μ＝83
， 当且仅当λ＝43，μ＝2
3时“＝”成立，
故选B.
12.(2017·天津)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1
ab 的最小值为________.
答案 4
解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0，
∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥2
4ab ·1
ab
＝4，
当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝2
b 2，4ab ＝1
ab ，即⎩⎨
⎧
a 2＝22，
b 2
＝24
且a ，b 同号时取得等号.
故a 4＋4b 4＋1
ab 的最小值为4.
考点四 简单的线性规划问题
方法技巧 (1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求. (2)常见的目标函数 ①截距型：z ＝ax ＋by ； ②距离型：z ＝(x －a )2＋(y －b )2； ③斜率型：z ＝y －b
x －a
.
13.(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤5，2x －y ≤4，
－x ＋y ≤1，
y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值
为( )
A.6
B.19
C.21
D.45 答案 C
解析 画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋z
5
.
设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z
5过点P (2，3)时，z 取得最大值，z max
＝3×2＋5×3＝21.故选C.
14.(2018·安徽省“皖南八校”联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，
4x －y －8≤0，则z ＝|x ＋3y |的
最大值为( )
A.15
B.13
C.3
D.2 答案 A
解析 画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，
设z 1＝x ＋3y ，可化为y ＝－13x ＋z 1
3，
当直线y ＝－13x ＋z 1
3
经过点A 时，
直线在y 轴上的截距最大，此时z 1取得最大值， 当直线y ＝－13x ＋z 1
3
经过点B 时，
直线在y 轴上的截距最小，此时z 1取得最小值，
由⎩
⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，
4x －y －8＝0，解得A (3，4)， 此时最大值为z 1＝3＋3×4＝15；
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －2＝0，4x －y －8＝0，解得B (2，0)， 此时最小值为z 1＝2＋3×0＝2， 所以目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为15. 15.(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，
x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )
A.4
B.9
C.10
D.12 答案 C
解析 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，
x ≥0
的可行域如图阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点
(x ，y )到原点(0，0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.
A.12
B.11
C.7
D.8 答案 B
解析 满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图所示的△ABC 及其内部，
其中A (6，－1)，B (0，1)，C (－2，－1)，
z ＝2|x |＋y 可转化为⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
z ＝2x ＋y
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＜0，
z ＝－2x ＋y . ①当z ＝2x ＋y (x ≥0)时，目标函数线经过点A (6，－1)时，z 取最大值，z max ＝11； ②当z ＝－2x ＋y (x ＜0)时，目标函数线经过点C (－2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3. 综上可知，z ＝2|x |＋y 的最大值为11，故选B.
1.若不等式(－2)n a －3n －
1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎫1，43
B.⎝⎛⎭⎫
12，43 C.⎝⎛⎭⎫1，74 D.⎝⎛⎭⎫12，74
答案 D
解析 当n 为奇数时，要满足2n (1－a )＜3n －
1恒成立，
即1－a ＜13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需1－a ＜13×⎝⎛⎭⎫321，解得a ＞1
2；
当n 为偶数时，要满足2n (a －1)＜3n －
1恒成立，
即a －1＜13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需a －1＜13×⎝⎛⎭⎫322，解得a ＜7
4.
综上，12＜a ＜7
4
，故选D.
答案 13
解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，x －y ≥－2，
y ≥1
表示的平面区域(图略)，易知(x －3)2＋(y ＋2)2表示可
行域内的点(x ，y )与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x ，y )为直线x ＋y ＝2与y ＝1的交点(1，1)时，(x －3)2＋(y ＋2)2取得最小值，为13. 3.设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，
x ≥0，
y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为
12，则3a ＋2
b 的最小值为____________.
答案 4
解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4，6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即2a ＋3b ＝6，则3a ＋2b ＝2a ＋3b 2a ＋2a ＋3b 3b ＝2＋3b 2a ＋2a
3b ≥4，当
且仅当3b 2a ＝2a 3b
，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝32，
b ＝1
时取等号.
解题秘籍 (1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决.
(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式： ①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号；
②a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时取等号.注意公式的变形使用和等号成立的条件.
(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义
.
1.若x ＞y ＞0，m ＞n ，则下列不等式正确的是( ) A.xm ＞ym B.x －m ≥y －n C.x n ＞y m D.x ＞xy
答案 D
2.已知a >0，b ＞0，且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0
答案 D
解析 取a ＝2，b ＝4，则(a －1)(b －1)＝3＞0，排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0，排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0，排除C ，故选D.
3.设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋6，x ≥0，
x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )
A.(－3，1)∪(3，＋∞)
B.(－3，1)∪(2，＋∞)
C.(－1，1)∪(3，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(1，3)
答案 A
解析 f (1)＝3.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪
⎧
x <0，x ＋6>3，
解得－3<x <1或x >3.
4.下列函数中，y 的最小值为4的是( ) A.y ＝x ＋4
x
B.y ＝log 3x ＋4log x 3
C.y ＝sin x ＋4
sin x (0＜x ＜π)
D.y ＝e x ＋4e －
x
答案 D
5.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )
A.⎝
⎛⎭
⎫
1＋
32米 B.2米
C.(1＋3)米
D.(2＋3)米
答案 D
解析 由题意设BC ＝x (x >1)米，AC ＝t (t >0)米，依题意知AB ＝AC －0.5＝t －0.5(米)， 在ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ， 化简并整理得t ＝x 2－0.25x －1(x >1)，即t ＝x －1＋0.75x －1
＋2，
又x >1，故t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝1＋3
2时取等号，
此时t 取最小值2＋3，故选D.
6.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，
y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与
x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A.5 B.29 C.37 D.49 答案 C
解析 如图，由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界.
∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.
显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，|a |max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 7.实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥a (a ＜1)，y ≥x ，
x ＋y ≤2，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )
A.211
B.14
C.12
D.3
4 答案 B
解析 在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝1
4
.
8.若对任意的x ，y ∈R ，不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A.(－∞，1]
B.[1，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.(－∞，－1] 答案 B
解析 不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )对任意的x ，y ∈R 恒成立等价于不等式x 2＋(y －3)x ＋y 2－3y ＋3a ≥0对任意的x ，y ∈R 恒成立，所以Δ＝(y －3)2－4(y 2－3y ＋3a )＝－3y 2＋6y ＋9－12a ＝－3(y －1)2＋12(1－a )≤0对任意的y ∈R 恒成立，所以1－a ≤0，即a ≥1，故选B. 9.设函数f (x )＝121log 1x
x -+，则不等式12
(log )f x ＞－f ⎝⎛⎭⎫12的解集是________. 答案 ⎝⎛⎭
⎫1
2，2 解析 函数f (x )的定义域为(－1，1)且在(－1，1)上单调递增，f (－x )＝－f (x )，所以12
(log )f x ＞－f ⎝⎛⎭⎫12⇔12
(log )f x ＞f ⎝⎛⎭⎫－12⇔－12
＜12
log x ＜1，解得x ∈⎝⎛⎭⎫12，2. 10.(2018·天津)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1
8b 的最小值为________.
答案 14
解析 ∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6，∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－
6
＝2×2－
3＝14
，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝1
时取到等号，则最小值为1
4.
11.(2018·衡阳模拟)设0<m ≤1，在约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤m ，2x ＋y ≥－1，
x －y ≤0下，目标函数z ＝3x －2y 的最
小值为－5，则m 的值为________. 答案 1
解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤m ，2x ＋y ≥－1，
x －y ≤
表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y －m ＝0，2x ＋y ＋1＝0，得⎩⎨⎧
x ＝－m ＋2
3
，y ＝2m ＋1
3，
可得A ⎝⎛⎭⎫－m ＋23，
2m ＋13.由z ＝3x －2y ，得y ＝32x －z
2在y 轴上的截距越大，z 就越小，平移直线y ＝32x －z
2，由图知，当直线z ＝3x －2y 过点A 时，z 取得最小值，
∴z 的最小值为3×⎝⎛⎭⎫
－m ＋23－2×2m ＋13＝－5，∴m ＝1.
12.不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，
y ≤m ，m >1
所表示的平面区域的面积为S ，则当不等式S ＋3
m －1
≥a 恒成立时，
实数a 的取值范围是______________. 答案 (－∞，6]
解析 画出满足不等式组的平面区域，
如图所示(阴影部分含边界)，则S ＝1
2
m ·|AB |＝m 2，
所以S ＋3m －1＝m 2＋3m －1＝(m 2－1)＋4m －1＝m ＋1＋4m －1＝m －1＋4m －1＋2
≥2
(m －1)·4m －1
＋2＝6(当且仅当m ＝3时等号成立)，
则由题意知实数a 的取值范围是a ≤6.。