松山区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

松山区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，
），则f （x ）的图象的一个对
称中心是（
）
A ．（﹣，0）
B ．（﹣，0）
C ．（，0）
D ．（，0）
2． 下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是P Q R S （
）
3． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（
）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
4． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数
()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ）A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016
1111]
5． 设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）
A ．y=sin （2x ﹣）
B ．y=sin （2x+
）
C ．y=cos2x
D ．y=﹣sin2x
7． 若f （x ）=sin （2x+θ），则“f （x ）的图象关于x=
对称”是“θ=﹣
”的（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
9．“互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶
段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（）A．10 B．20 C．30 D．40 10．已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）
A．B．C．πD．2π
11．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）
A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3}D．{2，4，6}
12．设a是函数x的零点，若x0＞a，则f（x0）的值满足（）
A．f（x0）=0B．f（x0）＜0
C．f（x0）＞0D．f（x0）的符号不确定
二、填空题
13．计算：×5﹣1= ．
14．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．
15．已知sinα+cosα=，且＜α＜，则sinα﹣cosα的值为 ．
16．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为 ．
17．在△ABC中，角A，B，C
18．直线l1和l2是圆x2+y2=2
_________　。

三、解答题
19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且bsinA=acosB ．
（1）求B ；
（2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．
20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线与圆相切于点，是过点的割线，，点是线段的中PA O A PBC O CPE APE ∠=∠H ED 点.
（1）证明：四点共圆；D F E A 、、、（2）证明：.
PC PB PF ⋅=2
21．本小题满分10分选修：不等式选讲45-已知函数．2()log (12)f x x x m =++--Ⅰ当时，求函数的定义域；
7=m )(x f Ⅱ若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
x 2)(≥x f R m
22．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
41-如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD ,交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；
P EDF ∠=∠（Ⅱ）若，求的长．
2,3,2:3:===EF DE BE CE PA
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
23．设数列的前项和为，且满足，数列满足，且
（1）求数列和
的通项公式（2）设，数列
的前项和为
,求证:
（3）设数列
满足（
），若数列
是递增数列，求实数
的取值范围。

24．若函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横
坐标依次构成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求ω及m的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．
松山区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），
可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，
解得：φ=，
即有：f（x）=2sin（2x+）．
由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，
故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z
当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），
故选：B．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．
2．【答案】D
【解析】
考点：平面的基本公理与推论．
3．【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；
∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B．
4． 【答案】D 【解析】
1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故选D. 1()1
2201620162
=⨯⨯=考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.
【方法点睛】本题通过 “三次函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()
(
)00,x f x ”这一探索
性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出的对称中心后再利用对称()3115
33212
f x x x x =-+-性和的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
5． 【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，∴根据题意，M 的长度为，N 的长度为，当集合M ∩N 的长度的最小值时，M 与N 应分别在区间[0，1]的左右两端，故M ∩N 的长度的最小值是=
．
故选：C ．　
6． 【答案】D
【解析】解：把函数y=sin （2x ﹣
）的图象向右平移
个单位，
所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x ﹣）﹣
]=sin （2x ﹣π）=﹣sin2x ．
故选D ．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x 加与减，上下平移，y 的另一侧加与减．　
7． 【答案】B
【解析】解：若f （x ）的图象关于x=对称，
则2×
+θ=
+k π，
解得θ=﹣+k π，k ∈Z ，此时θ=﹣
不一定成立，
反之成立，
即“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．　
8． 【答案】 A
【解析】解：取a=﹣时，f （x ）=﹣x|x|+x ，∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x ﹣）|x ﹣|+1＞x|x|，（1）x ＜0时，解得﹣＜x ＜0；（2）0≤x ≤时，解得0；（3）x ＞时，解得
，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B 、D ；取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，
∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x ＜﹣1时，解得x ＞0，矛盾；（2）﹣1≤x ≤0，解得x ＜0，矛盾；（3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ，故选A ．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．　
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为，故选B ．800,,2050600600800
x x x ∴
=∴=++
考点：分层抽样．
10．【答案】B
【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．
则f（x）=x3﹣x2+ax，
函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，
因为原点处的切线斜率是﹣3，
即f′（0）=﹣3，
所以f′（0）=a=﹣3，
故a=﹣3，b=2，
所以不等式组为
则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，
如图阴影部分表示，
所以圆内的阴影部分扇形即为所求．
∵k OB=﹣，k OA=，
∴tan∠BOA==1，
∴∠BOA=，
∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，
∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，
故选：B
【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，
所以（C U A）∩（C U B）={7，9}
故选B
12．【答案】C
【解析】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：
由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，
∴f（x0）=2﹣log x0＞0．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】　9　．
【解析】解：×5﹣1=×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，
∴×5﹣1=9，
故答案为：9．
14．【答案】　1　．
【解析】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，
∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，
∴2sinαcosα=﹣1=，
且sinα＞cosα，
∴sinα﹣cosα=
==．
故答案为：．
16．【答案】　﹣2　．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），
∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，
∵a n=lgx n，
∴a n=lgn﹣lg（n+1），
∴a1+a2+…+a99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
17．【答案】　5　．
【解析】解：∵，B=45°，面积S=2，
∴S=acsinB==2a=2．
∴a=1
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=12+（4）2﹣2×1××=25
∴b=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．
18．【答案】
【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：。

三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）∵bsinA=，
由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，即得tanB=，
∴B=…
（2）△ABC的面积．
由已知及余弦定理，得．
又a2+c2≥2ac，
故ac≤4，当且仅当a=c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为…
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析
】1111]
试题解析：解：（1）∵是切线，是弦，∴，，
PA AB C BAP ∠=∠CPE APD ∠=∠∴，
CPE C APD BAP ∠+∠=∠+∠∵CPE
C AE
D APD BAP AD
E ∠+∠=∠∠+∠=∠,∴，即是等腰三角形
AED ADE ∠=∠ADE ∆又点是线段的中点，∴ 是线段垂直平分线，即H ED AH ED ED
AH ⊥又由可知是线段的垂直平分线，∴与互相垂直且平分，
CPE APE ∠=∠PH AF AF ED ∴四边形是正方形，则四点共圆. （5分）
AEFD D F E A 、、、（2由割线定理得，由（1）知是线段的垂直平分线，
PC PB PA ⋅=2PH AF ∴，从而 （10分）
PF PA =PC PB PF ⋅=2考点：与圆有关的比例线段．
21．【答案】
【解析】Ⅰ当时，函数的定义域即为不等式的解集.[来
由于7m =)(x f 1270x x ++-->，或，
1
(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩12
(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩ 或. 所以，无解，或.
2
(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩3x <-4x > 综上，函数的定义域为)(x f (,3)(4,)-∞-+∞U Ⅱ若使的解集是，则只需恒成立.
2)(≥x f R min (124)m x x ≤++--由于
124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=- 所以的取值范围是.
m (,1]-∞-22．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵,EC EF DE ⋅=2DEF
DEF ∠=∠∴∽,∴……………………2分
DEF ∆CED ∆C EDF ∠=∠又∵,∴, ∴．
AP CD //C P ∠=∠P EDF ∠=∠（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，∴∽，
P EDF ∠=∠PEA DEF ∠=∠EDF ∆EPA ∆∴，∴，又∵，∴．
ED EP
EF EA =EP EF ED EA ⋅=⋅EB CE ED EA ⋅=⋅EP EF EB CE ⋅=⋅
∵,，∴ ，∵，∴，解得.EC EF DE ⋅=22,3==EF DE 29=
EC 2:3:=BE CE 3=BE 427=EP ∴．∵是⊙的切线，∴4
15=-=EB EP BP PA O PC PB PA ⋅=2∴，解得．……………………10分2
9427(4152+⨯=PA 4315=PA 23．【答案】
【解析】
解：∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2，∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.
两式相减：a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0.
即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0，故有2a n ＋1＝a n ，∵a n ≠0，
，
∵b n ＋1＝b n ＋a n （n ＝1,2,3，…），
得b 2－b 1＝1，，，，．
将这n －1个等式相加，得
又∵b 1＝1，
．（2）证明：.而
①－②得
＝8－（n ＝1,2,3，…）．
∴T n ＜8.（3）由（1）知
由数列是递增数列，∴对恒成立，
即
恒成立，
即恒成立，
当为奇数时，即恒成立，∴，
当为偶数时，即恒成立，∴，
综上实数的取值范围为
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣
=ωx+（1﹣cos2ωx）﹣=2ωx﹣2ωx=sin（2ωx﹣），
依题意得函数f（x）的周期为π且ω＞0，
∴2ω=，
∴ω=1，则m=±1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣），∴，
∴．
又∵x∈[0，2π]，
∴．
∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和为．
【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．　。