2024届江苏省靖江市城南新区中学中考五模数学试题含解析

2024届江苏省靖江市城南新区中学中考五模数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点B、C的坐标分别为点B（﹣3，1）、C（0，﹣1），若将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C，则点B对应点B1的坐标是（）
A．（3，1）B．（2，2）C．（1，3）D．（3，0）
2．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（）A．80 B．被抽取的80名初三学生
C．被抽取的80名初三学生的体重D．该校初三学生的体重
3．数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是（）
A．5，4 B．8，5 C．6，5 D．4，5
4．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）
A．85°B．105°C．125°D．160°
5．如图，△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，有如下五个结论①AE⊥AF；
②EF：2：1；③AF2=FH•FE；④∠AFE=∠DAE+∠CFE ⑤ FB：FC=HB：EC．则正确的结论有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．计算（－18）÷9的值是( )
A．-9 B．-27 C．-2 D．2
7．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）
A．3 B．4﹣3C．4 D．6﹣23
8．如图直线y＝mx与双曲线y=k
x
交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是()
A．1 B．2 C．3 D．4 9．在3，0，－2，－四个数中，最小的数是（）
A．3 B．0 C．－2 D．－10．－3的相反数是()
A．1
3
B．3 C．
1
3
-D．－3
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，
点D恰好在双曲线上
k
y
x
=，则k值为_____．
12．若代数式x2﹣6x+b可化为（x+a）2﹣5，则a+b的值为____．
13．函数y＝的自变量x的取值范围是_____．
14．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．
15．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______度．
16．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．
17．如图，在边长为1的正方形格点图中，B、D、E为格点，则∠BAC的正切值为_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞1．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
19．（5分）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC 与△DEC全等．
20．（8分）如图矩形ABCD 中AB=6，AD=4，点P 为AB 上一点，把矩形ABCD 沿过P 点的直线l 折叠，使D 点落在BC 边上的D′处，直线l 与CD 边交于Q 点．
（1）在图（1）中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l ．（保留作图痕迹，不写作法和理由）
（2）若PD′⊥PD ，①求线段AP 的长度；②求sin ∠QD′D ．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0m y m x
=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.求m 的值和点D 的坐标.求tan BAO ∠的值.根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
22．（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 边上的中线．
（1）按如下要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应的字母：过点C 作直线CE ，使CE ⊥BC 于点C ，交BD 的延长线于点E ，连接AE ；
（2）求证：四边形ABCE 是矩形．
23．（12分）计算：|﹣1|+9﹣（1﹣3）0﹣（1
2
）﹣1．
24．（14分）如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°．
（1）求证：
2
3 EC
DF
；
（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．
①如图2，若∠AFE＝45°，求EC
DF
的值；
②如图3，若AB＝BC，EC＝3CF，直接写出cos∠AFE的值．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解题分析】
作出点A、B绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得△A1B1C，即可得到点B对应点B1的坐标．
【题目详解】
解：如图所示，△A1B1C即为旋转后的三角形，点B对应点B1的坐标为（2，2）．
故选：B．
【题目点拨】
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
2、C
【解题分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【题目详解】
样本是被抽取的80名初三学生的体重，
故选C．
【题目点拨】
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．3、D
【解题分析】
根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即可
【题目详解】
∵4出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是4；
这组数据的平均数是：（4+8+4+6+3）÷5=5；
故选D．
4、C
首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【题目详解】
根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【题目点拨】
本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
5、C
【解题分析】
由旋转性质得到△AFB≌△AED，再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否.
【题目详解】
解：由题意知，△AFB≌△AED
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°.
∴AE⊥AF，故此选项①正确；
∴∠AFE=∠AEF=∠DAE+∠CFE，故④正确；
∵△AEF是等腰直角三角形，有：1，故此选项②正确；
∵△AEF与△AHF不相似，
∴AF2=FH·FE不正确.故此选项③错误，
∵HB//EC，
∴△FBH∽△FCE，
∴FB:FC=HB:EC，故此选项⑤正确.
故选：C
【题目点拨】
本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以及相似三角形的性质是解决问题的关键.
6、C
【解题分析】
直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．
【题目详解】
解：（-18）÷9=-1．
故选：C．
此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
7、B
【解题分析】
分析：首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．
详解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC
∵AB=BC=2
∴AD=AB•sin∠3
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，
∴OE=OE′=2
∵点A的坐标为（0，6）
∴OA=6
∴DE′=OA-AD-OE′=43
故选B．
点睛：本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．
8、B
【解题分析】
此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=1S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
【题目详解】
根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝1S△AOM＝1，S△AOM＝1
2
|k|＝1，
则k＝±1．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝1．故选B．
【题目点拨】
本题主要考查了反比例函数y＝k
x
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，
是经常考查的一个知识点．
9、C
【解题分析】
根据比较实数大小的方法进行比较即可．根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．【题目详解】
因为正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值较大的数反而较小,
所以,
所以最小的数是,
故选C.
【题目点拨】
此题主要考查了实数的大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小．
10、B
【解题分析】
根据相反数的定义与方法解答.
【题目详解】
解：－3的相反数为()33
--=.
故选：B.
【题目点拨】
本题考查相反数的定义与求法，熟练掌握方法是关键.
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1
【解题分析】
作DH⊥x轴于H，如图，
当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A （1，0），
当x=0时，y=-3x+3=3，则B （0，3），
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=AD ，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAH ，
在△ABO 和△DAH 中
AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABO ≌△DAH ，
∴AH=OB=3，DH=OA=1，
∴D 点坐标为（1，1），
∵顶点D 恰好落在双曲线y=k x
上， ∴a=1×1=1．
故答案是：1.
12、1
【解题分析】
根据题意找到等量关系x 2﹣6x+b=（x+a ）2﹣5，根据系数相等求出a,b,即可解题.
【题目详解】
解：由题可知x 2﹣6x+b=（x+a ）2﹣5，
整理得：x 2﹣6x+b= x 2+2ax+a 2-5,
即-6=2a,b= a 2-5,
解得：a=-3,b=4,
∴a+b=1.
【题目点拨】
本题考查了配方法的实际应用,属于简单题,找到等量关系求出a,b是解题关键.
13、x≠﹣1
【解题分析】
根据分母不等于2列式计算即可得解．
【题目详解】
解：根据题意得x+1≠2，
解得x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【题目点拨】
考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．
14、1．
【解题分析】
由题意，得
b−1=−1，1a=−4，
解得b=−1，a=−1，
∴ab=(−1) ×(−1)=1，
故答案为1.
15、270
【解题分析】
根据三角形的内角和与平角定义可求解．
【题目详解】
解析：如图，根据题意可知∠5=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°，故答案为：270度.
【题目点拨】
本题主要考查了三角形的内角和定理和内角与外角之间的关系．要会熟练运用内角和定理求角的度数．16、±1．
【解题分析】
根据根的判别式求出△=0，求出a1+b1=1，根据完全平方公式求出即可．
【题目详解】
解：∵关于x的方程x1+1ax-b1+1=0有两个相等的实数根，
∴△=（1a）1-4×1×（-b1+1）=0，
即a1+b1=1，
∵常数a与b互为倒数，
∴ab=1，
∴（a+b）1=a1+b1+1ab=1+3×1=4，
∴a+b=±1，
故答案为±1．
【题目点拨】
本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a1+b1=1和ab=1是解此题的关键．
17、3 4
【解题分析】
根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC，然后求出tan∠BDC的值即可．【题目详解】
由图可得，∠BAC=∠BDC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴BE=3，DB=4，
则tan∠BDC=BE DB
=
3
4
∴tan∠BAC=3 4
故答案为3 4
【题目点拨】
本题考查的知识点是圆周角定理及其推论及解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及其推论及解直角三角形.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）m=1；（2）点P坐标为（﹣2m，1）或（6m，1）．
【解题分析】
（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解
析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1==，y2==，然后根据y1﹣y2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m的值；
（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，1），点P 在x轴上，即可求出点P的坐标．
【题目详解】
解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k=﹣4×（﹣3）=12，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1==，y2==，
∵y1﹣y2=4，
∴﹣=4，
∴m=1，
经检验，m=1是原方程的解,
故m的值是1；
（2）设BD与x轴交于点E,
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD=﹣=，
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE=8，
∴••PE=8，
∴PE=4m，
∵E（2m，1），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，1）或（6m，1）．
【题目点拨】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
19、证明过程见解析
【解题分析】
由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB ，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC ，再结合条件可证明△ABC ≌△DEC ．
【题目详解】
∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠5+∠4=∠4+∠3，
∴∠5=∠3，且∠B+∠CEA=180°，
又∠7+∠CEA=180°，
∴∠B=∠7，
在△ABC 和△DEC 中537BC CE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
,
∴△ABC ≌△DEC （ASA ）．
20、（1）见解析；（210 【解题分析】
（1）根据题意作出图形即可；
（2）由（1）知，PD=PD′，根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′，根据全等三角形的性质得到AD=PB=4，得到AP=2；根据勾股定理得到22AD AP +5
【题目详解】
（1）连接PD ，以P 为圆心，PD 为半径画弧交BC 于D′，过P 作DD′的垂线交CD 于Q ，
则直线PQ 即为所求；
（2）由（1）知，PD=PD′，
∵PD′⊥PD，
∴∠DPD′=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，∴∠ADP=∠BPD′，
在△ADP与△BPD′中，
90
{
A B
ADP BPD PD PD
'∠=∠=
∠=
='
∠，
∴△ADP≌△BPD′，
∴AD=PB=4，AP= BD′
∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4，
∴AP=2；
∴22
AD AP
+5BD′=2∴CD′=BC- BD′=4-2=2
∵PD=PD′，PD⊥PD′，
∵210，
∵PQ垂直平分DD′，连接Q D′
则DQ= D′Q
∴∠QD′D=∠QDD′
∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=
10
210
CD
DD
==
'
'
．
【题目点拨】
本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
21、（1）m=-6，点D 的坐标为（-2,3）；（2）1tan BAO 2∠=
；（3）当2x <-或06x <<时，一次函数的值大于反比例函数的值.
【解题分析】
（1）将点C 的坐标（6，-1）代入m y x
=即可求出m ，再把D （n ，3）代入反比例函数解析式求出n 即可. （2）根据C （6，-1）、D （-2,3）得出直线CD 的解析式，再求出直线CD 与x 轴和y 轴的交点即可，得出OA 、OB 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求得；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．
【题目详解】
⑴把C （6，-1）代入m y x
=
，得()m 616=⨯-=-. 则反比例函数的解析式为6y x
=-， 把y 3=代入6y x =-，得x 2=-， ∴点D 的坐标为（-2,3）.
⑵将C （6，-1）、D （-2,3）代入y kx b =+，得
6123k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴一次函数的解析式为1y x 22
=-+， ∴点B 的坐标为（0,2），点A 的坐标为（4,0）.
∴OA 4OB 2==，，
在在Rt ΔABO 中， ∴OB 21tan BAO OA 42
∠===.
⑶根据函数图象可知，当x 2<-或0x 6<<时，一次函数的值大于反比例函数的值
【题目点拨】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析式，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22、 (1)见解析;(2)见解析.
【解题分析】
（1）根据题意作图即可；
（2）先根据BD 为AC 边上的中线，AD=DC ，再证明△ABD ≌△CED （AAS ）得AB=EC ，已知∠ABC=90°即可得四边形ABCE 是矩形．
【题目详解】
（1）解：如图所示：E 点即为所求；
（2）证明：∵CE ⊥BC ，
∴∠BCE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BCE+∠ABC=180°，
∴AB ∥CE ，
∴∠ABE=∠CEB ，∠BAC=∠ECA ，
∵BD 为AC 边上的中线，
∴AD=DC ，
在△ABD 和△CED 中
，
∴△ABD ≌△CED （AAS ），
∴AB=EC ，
∴四边形ABCE 是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCE 是矩形．
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质与矩形的性质. 23、1
【解题分析】
试题分析：先分别计算绝对值，算术平方根，零指数幂和负指数幂，然后相加即可．
试题解析：
解：|﹣1|10﹣（
12）﹣1 ＝1＋3﹣1﹣2
＝1．
点睛：本题考查了实数的计算，熟悉计算的顺序和相关的法则是解决此题的关键．
24、（1）见解析；（2）①
23EC DF =；②cos ∠AFE ＝25 【解题分析】
（1）用特殊值法，设2BE EC ＝＝，则4AB BC ＝＝，证ABE ECF ∆∆∽，可求出CF ，DF 的长，即可求出结论； （2）①如图2，过F 作FG FD ⊥交AD 于点G ，证FGD ∆和AEF ∆是等腰直角三角形，证FCE AGF ∆∆∽，求出
:CE GF 的值，
即可写出:EC DF 的值；②如图3，作FT FD ＝交AD 于点T ，作FH AD ⊥于H ，证FCE ATF ∆∆∽，设CF ＝2，则CE ＝6，可设AT ＝x ，则TF ＝3x ，32AD CD x +＝＝，112
DH DT x +＝＝，分别用含x 的代数式表示出∠AFE 和∠D 的余弦值，列出方程，求出x 的值，即可求出结论．
【题目详解】
（1）设BE ＝EC ＝2，则AB ＝BC ＝4，
∵90AEF ∠︒＝，
∴90AEB FEC ∠+∠︒＝，
∵90AEB EAB ∠+∠︒＝，
∴∠FEC ＝∠EAB ，
又∴90B C ∠∠︒＝＝，
∴ABE ECF ∆∆∽， ∴
BE AB CF EC
=， 即242CF =， ∴CF ＝1，
则3DF DC CF -＝＝， ∴23EC DF =； （2）①如图2，过F 作FG FD ⊥交AD 于点G ，
∵45AFE ADC ∠∠︒＝＝，
∴FGD ∆和AEF ∆是等腰直角三角形，
∴180135AGF DGF ∠︒-∠︒＝＝，180135C D ∠︒-∠︒＝＝，
∴∠AGF ＝∠C ，
又∵GAF D CFE AFE ∠+∠∠+∠＝， ∴∠GAF ＝∠CFE ，
∴FCE AGF ∆∆∽，
∴2=2
CE FE GF AF =， 又∵GF ＝DF ， ∴22
EC DF =；
②如图3，作FT FD =交AD 于点T ，作FH
AD ⊥于H ，
则FTD FDT ∠∠＝，
∴180180FTD D ︒-∠︒-∠＝，
∴∠ATF ＝∠C ， 又∵TAF D AFE CFE ∠+∠∠+∠＝，且∠D ＝∠AFE ，
∴∠TAF ＝∠CFE ，
∴FCE ATF ∆∆∽，
∴FE FC CE AF AT TF
==， 设CF ＝2，则CE ＝6，可设AT ＝x ，则TF ＝3x ，32AD CD x +＝＝， ∴1
12DH DT x +＝＝，且
2FE FC AF AT x ==，
由cos =cos AFE D ∠，得213x x x +=， 解得x ＝5，
∴2cos 5
EF AFE AF ∠=＝．
【题目点拨】
本题主要考查了三角形相似的判定及性质的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质是解决本题的关键.。