八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷（培优篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（ ）
A ．平行四边形的两组对边分别平行
B ．矩形的对角线相等
C ．四边相等的四边形是菱形
D ．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
2．如图，已知AB ∥CD ，BC 平分∠ABE ，∠C ＝35°，则∠BED 的度数是（ ）
A ．70°
B ．68°
C ．60°
D ．72° 3．如图，在ABC 中，//EF BC ，ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，则B 的度数
为（ ）
A ．70°
B ．60°
C ．50°
D ．40° 4．如图，直线a ∥b ，把三角板的直角顶点放在直线b 上，若∠1＝60°，则∠2的度数为
（ ）
A ．45°
B ．35°
C ．30°
D ．25°
5． 如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点B ，C 在直线b 上，AC ⊥b ，如果AB=5cm ，BC=3cm ，那么平行线a ，b 之间的距离为（ ）
A ．5cm
B ．4cm
C ．3cm
D ．不能确定
6．如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB ∥CD 的条件为（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③
7．给出下列命题：①平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；②平面上任意三点能确定一个圆；③图形经过旋转所得的图形和原图形全等；④三角形的外心到三个顶点的距离相等；⑤经过圆心的直线是圆的对称轴.正确的命题为（ ）
A ．①③⑤
B ．②④⑤
C ．③④⑤
D ．①②⑤
8．将一副三角板按如图放置，则下列结论①13∠=∠；②如果230∠=，则有//AC DE ；③如果245∠=，则有//BC AD ；④如果4C ∠=∠，必有230∠=，其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．③④
D ．①②③④
9．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．∠BCD= ∠DCE;
B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;
C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;
D ．∠ABC+∠BC
E -∠CEF=180︒.
10．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；
（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．
其中真命题的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
11．已知：点A ，B ，C 在同一条直线上，点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，如果AB =10cm ，AC =8cm ，那么线段MN 的长度为（ ）
A ．6cm
B ．9cm
C ．3cm 或6cm
D ．1cm 或9cm
12．如图，将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF 若5BC cm ，则EC 的长为（ ）
A ．2cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm
二、填空题
13．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n 次移动n 格．则不停留棋子的格子的编号有_____．
14．如图，已知AB ∥CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E 1，
第二次操作，分别作∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2，
第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，
第n 次操作，分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线，交点为E n ．
若∠E n =1度，那∠BEC 等于________度
15．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．
16．如图，已知AB ，CD ，EF 互相平行，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC ＝________°.
17．一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将 45°的三角尺ADE 固定不动，将含 30°的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动（旋转角不超过 180 度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD=15°时，BC ∥DE ．则∠BAD （0°＜∠BAD ＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________．
18．如图，AB ∥CD ，∠1=64°，FG 平分∠EFD ，则∠EGF=__________________°．
19．如图，//AB CD ，BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=，则CDB ∠=______．
20．如图，CB ∥OA ，∠B ＝∠A ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOC ＝∠AOC ，OE 平分∠BOF ，若平行移动AC ，当∠OCA 的度数为_____时，可以使∠OEB ＝∠OCA ．
三、解答题
21．阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．
彤彤是这样做的：
过点E 作EF //AB ，
则有∠BEF ＝∠B ．
∵AB //CD ，
∴EF //CD ．
∴∠FED ＝∠D ．
∴∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．
即∠BED ＝∠B +∠D ．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； （2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，直接写出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．
22．如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．
小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按小明的思路，求APC ∠的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用）：
（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
23．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°．
(1)求出∠BEF 的度数；
(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线
MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）
24．（1）方法感悟
如图①所示，求证：BCF B F ∠=∠+∠．
证明：过点C 作//CD EF
//AB EF (已知)
//CD AB ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
1,2B F ∴∠=∠∠=∠(两直线平行，内错角相等 )
12B F ∴∠+∠=∠+∠
即BCF B F ∠=∠+∠
（2）类比应用
如图②所示，//,AB EF 求证：360B BCF F ∠+∠+∠=︒．
证明：
（3）拓展探究
如图③所示，//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可)． 如图④所示，//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可)．
25．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；
（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？
（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=︒，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系．
26．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ，求BAC B C ∠+∠+∠的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A 作ED BC ∥
B EAB ∴∠=∠，
C ∠=__________．
__________180=︒
180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC ∠，B ，C ∠“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB ED ，试说明：180D BCD B ∠+∠-∠=︒（提示：过点C 做CF AB ∥）．
深化拓展：
（3）已知AB CD ∥，点C 在点D 的右侧，70ADC ∠=︒．BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB 与CD 两条平行线之间． ①如图3，点B 在点A 的左侧，若60ABC ∠=︒，则BED ∠的度数为________． ②如图4，点B 在点A 的右侧，且<AB CD ，AD BC <．若ABC n ∠=︒，则BED ∠的度数为________．（用含n 的代数式表示）
27．已知直线AB CD ∥，直线EF 与直线AB 、CD 分别相交于点E 、F ．
（1）如图1，若160∠=︒，求2∠，3∠的度数；
（2）若点P 是平面内的一个动点，连接PE 、PF ，探索EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系；
①当点P 在图2的位置时，请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明； ②当点P 在图3的位置时，请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明； ③当点P 在图4的位置时，请直接写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系．
28．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．
（1）如图1，AB ∥CD ，E 为形内一点，连结BE 、DE 得到∠BED ，求证：∠E ＝∠B +∠D 悦悦是这样做的：
过点E 作EF ∥AB ．则有∠BEF ＝∠B ．
∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ．
∴∠FED ＝∠D ．
∴∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．
即∠BED ＝∠B +∠D ．
（2）如图2，画出∠BEF 和∠EFD 的平分线，两线交于点G ，猜想∠G 的度数，并证明你的猜想．
（3）如图3，EG 1和EG 2为∠BEF 内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD 的平分线交于点G 1和G 2，求证：∠FG 1E +∠G 2＝180°．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
分别判断该命题的原命题和逆命题后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、平行四边形的两组对边分别平行，成立，逆命题为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，成立，逆命题为对角线相等的四边形是矩形，不成立，符合题意；
C、四边相等的四边形是菱形，成立，逆命题为菱形的四条边相等，成立，不符合题意；
D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，成立，逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形为直角三角形，成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是命题和定理的知识，正确的写出它的逆命题是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由BC平分∠ABE可得出∠ABE的度数，进而可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠C=35°，
∴∠ABC=∠C=35°．
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠ABC=70°．
∵AB∥CD，
∴∠BED=∠ABE=70°．
故选A ．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
3．D
解析：D
【分析】
由角平分线的定义求出∠BEF=140°，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出∠B 的度数即可.
【详解】
∵ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，
∴70DEB ∠=︒
∴270140BEF ︒=∠=⨯︒
∵//EF BC
∴180B BEF ∠+∠=︒
∴180********B BEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒
故选D
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用
4．C
解析：C
【分析】
由a 与b 平行，利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数，再利用平角定义及∠4为直角，即可确定出所求角的度数．
【详解】
【解答】解：∵a ∥b ，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵∠4＝90°，∠3+∠4+∠2＝180°，
∴∠2＝30°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了根据平行线的性质求角的度数，利用直角转化角是一种比较常见的方法，在一条直线上，3个角共顶点，且有一个角为直角，则另两个角的和为90°．
5．B
解析：B
【分析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
【详解】
解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC=4cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．
6．C
解析：C
【详解】
解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B=∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行.
7．C
解析：C
【分析】
①垂径定理的逆定理，注意有否有缺少什么；②如果三点共线；③旋转的性质；④三角形的外心的性质；⑤圆的性质.
【详解】
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧，原命题错误；
②三点共线时不能确定一个圆，原命题错误；
③由旋转的性质可知，原命题正确；
④由三角形的外心的性质，原命题正确；
⑤由圆的性质，原命题正确；
本题的答案是：C.
【点睛】
考查垂径定理的逆定理、旋转的性质、三角形的外心的性质、圆的性质.
8．D
解析：D
【分析】
根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据230∠=求出∠1与∠E 的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B 的度数大小即可判断③；利用4C ∠=∠求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】
∵∠1+∠2=∠3+∠2=90︒，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵230∠=，
∴190260∠=-∠=
∠E=60︒，
∴∠1=∠E ，
∴AC ∥DE ，故②正确；
∵245∠=，
∴345∠=，
∵45B ∠=,
∴∠3=∠B,
∴//BC AD ,故③正确；
∵4C ∠=∠45=，
∴∠CFE=∠C 45=，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=60,
∴∠2=90︒-∠1=30，故④正确，
故选：D.
【点睛】
此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
9．D
解析：D
【解析】
分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.
详解：延长DC到H
∵AB∥CD，EF∥CD
∴∠ABC+∠BCH=180°
∠ABC=∠BCD
∠CE+∠DCE=180°
∠ECH=∠FEC
∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC
∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.
故选D.
点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.
10．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；
平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确；
过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.
故选B.
11．D
解析：D
【解析】
试题分析：有两种情况：①点C在AB上，②点C在AB的延长线上，这两种情况根据线段的中点的性质，可得BM、BN的长，再利用线段的和、差即可得出答案．
解：（1）点C在线段AB上，如：
点M 是线段AB 的中点，点N 是线段BC 的中点，
MB =12AB =5，BN =12
CB =4， MN =BM -BN =5-4=1cm ；
（2）点C 在线段AB 的延长线上，如：
点M 是线段AB 的中点，点N 是线段BC 的中点，
MB =
12AB =5，BN =12
CB =4， MN =MB +BN =5+4=9cm ，
故选D ． 点睛：本题考查了两点间的距离. 解题的关键在于要利用分类讨论思想结合线段中点的性质、线段的和差进行解答．
12．A
解析：A
【分析】
由平移性质可得：BC=EF ，CF=3,cm 可得EC=EF-CF ．
【详解】
因为将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF
所以EF=5BC cm ，CF=3,cm
所以EC=5-3=2(cm)
故选：A
【点睛】
考核知识点：平移性质．抓住平移性质：对应边相等，是解题关键．
二、填空题
13．2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n 次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝12n （n+1），然后再根据题目中所给的第n 次依次移动n 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋
解析：2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n 次后走过的总格数是1+2+3+…+n ＝n （n +1），然后再根据题目中所给的
第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），应停在第n（n+1）﹣7p格，
这时p是整数，且使0≤n（n+1）﹣7p≤6，分别取n＝1，2，3，4，5，6，7时，
n（n+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停留棋子，
若7＜n≤10，设n＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， n（n+1）﹣7p＝7m+12t（t+1），
由此可知，停棋的情形与n＝t时相同，
故第2，4，5格没有停留棋子．
故答案为：2，4，5．
【点睛】
此题主要考查推理与论证，解题的关键是根据题意分析运动规则，再列出式子来解答. 14．2n ．
【解析】
如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠
解析：2n ．
【解析】
如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=1
2
∠ABE+
1
2
∠DCE=
1
2
∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=1
2
∠ABE1+
1
2
∠DCE1=
1
2
∠CE1B=1
4
∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=1
2
∠ABE2+
1
2
∠DCE2=
1
2
∠CE2B=1
8
∠BEC；
…
以此类推，∠E n=1
2n
∠BEC．
∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为2n ．
点睛：本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
15．80
【解析】
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80
解析：80
【解析】
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1
2
∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.
16．40
【解析】
根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了．解：∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=18
解析：40
【解析】
根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了．
解：∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；
故应填40．
“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．
17．45°，60°，105°，135°．
【解析】
分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
详解：如图，
当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°；
当BC∥AD时,∠DAE=∠
解析：45°，60°，105°，135°．
【解析】
分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
详解：如图，
当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°；
当BC∥AD时,∠DAE=∠B=60°；
当BC∥AE时,∵∠EAB=∠B=60°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
当AB∥DE时,∵∠E=∠EAB=90°,
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为45°,60°,105°,135°.
点睛：本题考查了平行线的判定与性质.要证明两直线平行，需使其所构成的同位角、内错角相等（或同旁内角是否互补）.
18．【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵
解析：【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=1
2∠EFD=1
2
×64°=32°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠GFD=32°．故答案为：32．
考点：平行线的性质．19．30°
【分析】
先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD，∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°，依据“平分，”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题．
【详解】
∵AB//CD
∴∠ABD=x°
解析：30°
【分析】
先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD ，∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°，依据“BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题．
【详解】
∵AB//CD
∴∠ABD=x°，∠ABD ，∠C+∠ABC=180︒,
BD 平分ABC ∠，
∴∠ABD=∠CBD
∵:4:1C DBA ∠∠=，
∴4C DBA ∠=∠
设∠ABD=x°，则∠CBD=x°，∠C=4x°，
∴2x°+4x°=180°,解得，x=30
∴∠ABD=30°，
∴∠CDB=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，求出∠ABD=30°是解此题的关键． 20．60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80
解析：60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80°，
又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.
当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,
解得∠OCA=60°.
【点睛】
本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.
三、解答题
21．（1）65°；（2）
11 180
22
αβ︒-+
【分析】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF=∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．
即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=1
2
∠ABC=30°，∠EDC=
1
2
∠ADC=35°，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．答：∠BED的度数为65°；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA=180°．
∴∠BEF=180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=1
2
∠ABC=
1
2
α，∠EDC=
1
2
∠ADC=
1
2
β，
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣1
2
α +
1
2
β．
答：∠BED的度数为180°﹣1
2
α +
1
2
β．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
22．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入
∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图所示，当P 在BD 延长线上时，
∠CPA=∠α-∠β；
如图所示，当P 在DB 延长线上时，
∠CPA=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
23．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【分析】
（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F 作//FN AB ，如图：
∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°
∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：
由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴35AEF EHL ∠=∠=︒
又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒
∴90EHM x ∠=︒+︒
∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒
∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：
设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒
设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒
又∵125FGD ∠=︒
∴125PGN y ∠=︒-︒
∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
24．（2）见解析；（2）BCF F B ∠=∠-∠，BCF B F ∠=∠-∠．
【分析】
（2）过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质，得到180B BCD ∠+∠=︒，
180DCF F ∠+∠=︒，即可得到结论成立；
（3）①过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质和（2）的证明方法，即可得到答案； ②过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质和（2）的证明方法，即可得到答案；
【详解】
()2证明:过点C 作//CD AB
//AB EF (已知)
//CD EF ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
180,180B BCD DCF F ∴∠+∠=︒∠+∠=︒(两相线平行，同旁内角补)，
∵BCF BCD DCF ∠=∠+∠，
∴360B BCF F ∠+∠+∠=︒；
（3）①过点C 作//CD AB ，如图：
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∵BCD BCF DCF ∠=∠+∠，
∴BCF F B ∠=∠-∠；
故答案为：BCF F B ∠=∠-∠；
②过点C 作//CD AB ，如图：
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∵BCD BCF DCF ∠+∠=∠，
∴BCF B F ∠=∠-∠．
故答案为：BCF B F ∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，以及掌握平行线的判定和性质进行证明．
25．（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2BAC BCD ∠=∠．
【分析】
(1)根据2BAM BAN ∠=∠得到60BAN ∠=︒，再根据直线平行的性质即可得到答案；
(2)设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；
(3)根据补角的性质表示出BAC ∠，再根据三角形内角和即可表示出BCD ∠，即可得到答案；
【详解】
解：（1）∵2BAM BAN ∠=∠
180BAM BAN ∠+∠=︒，
∴60BAN ∠=︒，
∴QBA ∠60BAN =∠=︒（两直线平行，内错角相等）
故结果为：60︒；
（2）设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，
①当090t <<时，如图，
//PQ MN ，
PBF BFA ∴∠=∠，
//AE BF ，
EAM BFA ∴∠=∠，
EAM PBF ∴∠=∠，
21(30)t t ∴=⋅+，
解得30t =；
②当90180t <<时，如图，
//PQ MN ，180PBF BFA ∴∠+∠=︒，
//AE BF ，EAN BFA ∴∠=∠
180PBF EAN ∴∠+∠=︒，1(30)(2180)180t t ∴⋅++-=，
解得110t =，
综上所述，当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；
（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，
理由：设射线AM 转动时间为m 秒，
作//CH PQ ，//PQ MN ，////CH PQ MN ∴，
2180QBC ∴∠+∠=︒，1180MAC ∠+∠=︒，
21360QBC MAC ∴∠+∠+∠+∠=︒，
180QBC m ∠=︒-，2MAC m ∠=，
()123601802180BCA m m m ∴∠=∠+∠=---=︒︒-︒，
而120ACD ∠=︒，
()12012018060BCD BCA m m ︒︒∴∠=-∠=--=-︒︒，
1802CAN m ∠=︒-，
()18022120BAC QBA m m ︒︒∴∠=∠--=-，
:2:1BAC BCD ∴∠∠=，
即2BAC BCD ∠=∠，
BAC ∴∠和BCD ∠关系不变．
【点睛】
本题主要考查了补角、角的运算、直线平行的性质和判定以及三角形的内角和定理，结合图形添加辅助线、分类讨论是解题的关键．
26．（1）∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠（2）见解析（3）①65②215°−12n 【分析】 （1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°，∠B ＝∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数； ②∠BED 的度数改变．过点E 作EF ∥AB ，先由角平分线的定义可得：∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF ＝180°−∠ABE ＝180°−
12n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°，进而可求∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−12n°＋35°＝215°−12
n°． 【详解】
（1）过点A 作ED BC ∥
B EAB ∴∠=∠，
C ∠=∠DAC ．
EAB BAC DAC ∠+∠+∠180=︒
180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒
故答案为：∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠；
（2）如图2，过C 作CF ∥AB ，
∵AB ∥DE ，
∴CF ∥DE ，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵CF ∥AB ，
∴∠B ＝∠BCF ，
∵BCD ∠=∠FCD+∠BCF ，
∴D BCD B ∠+∠-∠=
180D FCD BCF B D FCD B B D FCD ∠+∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒； 即180D BCD B ∠+∠-∠=︒；
（3）①如图3，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∴∠ABE ＝∠BEF ，∠CDE ＝∠DEF ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，
∴∠ABE ＝12∠ABC ＝30°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35°， ∴∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝30°＋35°＝65°； 故答案为：65；
②如图4，过点E 作EF ∥AB ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝n°，∠ADC ＝70°
∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35° ∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∴∠BEF ＝180°−∠ABE ＝180°−12
n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°， ∴∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−
12n°＋35°＝215°−12n °． 故答案为：215°−12
n ．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
27．（1）360∠=︒；（2）①EPF PEB PFD ∠=∠+∠，证明见解析；
②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=，证明见解析；③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠．
【分析】
（1）根据对顶角相等求∠2，根据两直线平行，同位角相等求∠3；
（2）①过点P 作MN ∥AB ，根据平行线的性质得∠EPM =∠PEB ，且有MN ∥CD ，所以∠MPF =∠PFD ，然后利用等式性质易得∠EPF =∠PEB +∠PFD ．
②③的解题方法与①一样，分别过点P 作MN ∥AB ，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系．
【详解】
（1）解：∵12∠=∠，160∠=︒，
∴260∠=︒；
∵AB CD ∥，
∴3160∠=∠=︒ .
（2）①EPF PEB PFD ∠=∠+∠.
过点P 作MN AB ，则EPM PEB ∠=∠.
∵AB CD ∥，MN AB ，
∴MN CD ∥，
∴MPF PFD ∠=∠， ∴EPM MPF PEB PFD ∠+∠=∠+∠，
即EPF PEB PFD ∠=∠+∠.
②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=，
过点P 作MN AB ，则180PEB EPN ∠+∠=︒，
∵AB CD ∥，MN AB ， ∴MN CD ∥，
∴180NPF PFD ∠+∠=︒，
∴360PEB EPN NPF PFD ∠+∠+∠+∠=︒.
即360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=.
③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠.写对一种即可．
理由：如图4，过点P 作PM ∥AB ，
∵AB ∥CD ，MP ∥AB ，
∴MP ∥CD ，
∴∠PEB =∠MPE ，∠PFD =∠MPF ，
∵∠EPF +∠FPM =∠MPE ，
∴∠EPF+∠PFD=∠PEB．
【点睛】
本题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，结合图形作出辅助线构造出三线八角是解决此题的关键.
28．（2）∠EGF＝90°；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG 分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到
∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（3）如图3，过点G1作G1H∥AB由结论（1）可得∠G2=∠1+∠3，
∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于
∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到
∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
证明：（2）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；
由结论（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°，
∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF＝90°；
（3）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，
∵AB∥CD，∴G1H∥CD，
由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2+∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EG1F+∠G2＝180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．。