三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题3直线与圆文

专题13 直线与圆
一、选择题
1. 【2014高考北京文第7题】已知圆()()22
:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
2. 【2015高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）
A ．()()22111x y -+-=
B ．()()22111x y +++=
C ．()()22112x y +++=
D ．()()22112x y -+-=
【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为2r =
()()22112x y -+-=，故选D. 【考点定位】圆的标准方程.
【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，半径为的圆的标准方程是()()22
2x a y b r -+-=．
3.【 2014湖南文6】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相外切，则m =（ ）
.21A .19B .9C .11D -
【答案】C
【解析】因为()()22
226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,25m -根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得 ()()223040125m -+-=+-9m ⇒=,故选C.
【考点定位】圆与圆之间的外切关系与判断
【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解决问题的关键是根据条件得到圆的半径及
圆心坐标，然后根据两圆满足的几何关系进行列式计算即可.
4. 【2014全国2，文12】设点()0,1M x ，若在圆22
:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）
（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A
x y
A 11O M N
【考点定位】直线与圆的位置关系
【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．
5. 【2014四川，9文】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）
A 、[5,25]
B 、[10,25]
C 、10,5]
D 、[25,45]
【答案】B
【解析】
试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：22
30x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==，令||10,||10PA PB θθ==，则
||||101025)4PA PB π
θθθ+==+.因为||0,||0PA PB ≥≥，所以02π
θ≤≤.所以2sin()124
πθ≤+≤10||||5PA PB ≤+≤选B.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.
【名师点睛】||||PA PB +在几何意义上表示P 点到A 与B 的距离之和，解题的关键是找P 点的轨迹和轨迹方程；也可以使用代数方法，首先表示出||||PA PB +，这样就转化为函数求最值问题了.
6. 【2015高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
( )
(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4)
【答案】D
当t ＝0时，若r ≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，
若0＜r ＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t 的直线恰有2条即可. 当t ≠0时，将m ＝3－2t 2代入△＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3
又由圆心到直线的距离等于半径，
可得d ＝r 22222111t t t ==+++ 由0＜t 2＜3，可得r ∈(2，4).选D
【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.
【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即
可.属于难题.
7.【2014年.浙江卷.文5】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数的值为（ ）
A.2-
B. 4-
C. 6-
D.8-
【答案】B
考点：直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，解决问题的关键点在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．
8. 【2014，安徽文6】过点(3,1)P -的直线与圆122=+y x 有公共点，则直线的倾斜角的取
值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]3
0[π， 【答案】D ．
【解析】
试题分析：如下图，要使过点P 的直线与圆有公共点，则直线在PA 与PB 之间，因为1sin 2α=
，所以6
πα=，则23AOB πα∠==，所以直线的倾斜角的取值范围为]30[π，.故选D.
考点：1.直线的倾斜角；2.直线与圆的相交问题.
【名师点睛】研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半弦长2
l 、弦心距d 和半径
长之间形成的数量关系为2
22()2
l d r +=.但在具体做题过程中，常利用数形结合的方程进行求解，通过图形会很快了解具体的量的关系.另外，直线的倾斜角和斜率之间的关系也是重要考点，告知斜率的范围要能求出倾斜角的范围，反之一样.当90α=o ，斜率不存在.
9. 【2015高考安徽，文8】直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12
【答案】D
【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.
【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于（或y ）的一元二次方程，通过判断0;0;0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，然后再将d 与圆的半径进行判断，若r d >则相离；若r d =则相切；若r d <则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.
12.【2014上海,文18】 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211
a x
b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）
（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解
（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】由题意，直线1y kx =+一定不过原点O ，,P Q 是直线1y kx =+上不同的两点，则OP
uuu r 与OQ uuu r 不平行，因此12210a b a b -≠，所以二元一次方程组1122
11a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩一定有唯一解．选B. 【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．
【名师点睛】可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y 的二元一次方程组：
ax by c dx ey f +=⎧⎨+=⎩,
当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。

当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

13. 【2014福建,文6】已知直线过圆()2
234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则的方程是 （ ） .20
.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=
【答案】D
考点：圆的方程，直线的垂直，直线方程.
【名师点睛】本题主要考查直线方程与圆的方程及运算能力.直线与圆的位置关系在高考中常以客观题形式出现，本题中用到的垂直结论是：若直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-.
14. 【2015湖南文9】已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，
0），则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为( )
A 、6
B 、7
C 、8
D 、9
【答案】B
【解析】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB =++++≤≤+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当且
仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取得最大值7，故选B.
【考点定位】直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
15. 【2015新课标2文7】已知三点(1,0),3),3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
5A.3 213 5C.3 4D.3
【答案】B
【考点定位】本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式.
【名师点睛】解决本题的关键是求出圆心坐标,本题解法中巧妙利用了圆的一个几何性质：圆的弦的垂直平分线一定过圆心,注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径
r、弦长l、圆心到弦的距离d之间的关系：
2 22
2
l r d
⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭在求圆的方程时常常用到.
二、填空题
1. 【2015高考湖南，文13】若直线3450
x y
-+=与圆()
2220
x y r r
+=>相交于A,B两点，且120o
AOB
∠=（O为坐标原点），则=_____.
【答案】
【解析】如图直线3450
x y
-+=与圆2220
x y r r
+=（＞）交于A、B两点，O为坐标原点，且120o
AOB
∠=，则圆心（0，0）到直线3450
x y
-+=的距离为
1
2
r，
22
1
2
34
r r
=∴
+
，=2 .故答案为2.
【考点定位】直线与圆的位置关系
【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为，弦心距为d，弦长为，则222
().
2
l
r d
=-本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系.
2.【2014山东.文14】圆心在直线0
2=
-y
x上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截轴所得弦的长为3
2，则圆C的标准方程为 .
【答案】22
(2)(1)4
x y
-+-=
考点：圆的方程，直线与圆的位置关系.
【名师点睛】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长问题.此类问题的基本解法有 “几何法”和 “代数法”，涉及切线、弦长问题，往往利用圆心到直线的距离建方程求解.
本题是一道能力题，在考查查直线与圆的位置关系等基础知识的同时，考查考生的计算能力、逻辑思维能力及数形结合思想.是一道常见题型，故考生易于正确解答.
3. 【2014高考重庆文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆
044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数的值为_________.
【答案】0或6
【解析】
试题分析：圆C 的标准方程为：()()22
129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r = 又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离322d =.
所以，()
221232211a --+=+-，整理得：33a -=解得：0a =或6a =. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，本题属于基础题，注意仔细分析题目条件，将垂直条件等价转化为圆心到直线的距离是非常关键的.
4. 【2015高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.
【答案】250x y +-=
【考点定位】圆的切线.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
5. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，
若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则:
（1）=b ；
（2）=λ .
【答案】（1）21-
；（2）2
1 【解析】
试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=，
所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，
整理得04)24()1()1(2222222=+-++-+-λλλλb x b y x ， 配方得01412422
2222
2=--+⋅-+++λλλλb x b y x ， 因为对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=成立， 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+1140242222λλλb b ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=2121λb 或⎩⎨⎧-=-=28λb （舍去）. 故⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=21
21λb .
考点：圆的性质，两点间的距离公式，二元二次方程组的解法，难度中等.
【名师点睛】以圆的方程为载体，重点考查含参数方程的恒成立问题，其解题的关键是正确地使用两点间的距离公式计算线段的长度，准确把握恒成立问题所需条件.充分体现了方程思想在数学问题中的重要性，能较好的考查学生基础知识的识记能力、综合运用能力.
6. 【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C 与轴相切于点(1,0)T ，与轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.
（Ⅰ）圆C 的标准．．
方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在轴上的截距为_________. 【答案】（Ⅰ）22(
1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）12--.
2221
21k d k -+++解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x (21)y =++，于是令
0y =可得
x 21=-，即圆C 在点B 处的切线在轴上的截距为12-故应填22(1)(2)2x y -+-=和
12-【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.
【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C 的横坐标.
7.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,
若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】[2,1]-
【考点】直线与圆，线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
三、解答题
1. 【2015高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出的取值范围；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）()3,0；（2）492322
=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34
k =±． 【解析】
试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，的取值范围，进而可得存在实数，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．
试题解析：（1）圆1C :22650x y x +-+=化为()2
234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为
()3,0
（2）设线段AB 的中点00(,)x y M ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线.
设直线的方程为mx y =（易知直线的斜率存在），所以1C 1k m M ⋅=-，00mx y =，所以130000-=⋅-x y x y ，所以0320020=+-y x x ，即49232020=+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-y x . 因为动直线与圆1C 相交，所以
2132<+m m ，所以542<m . 所以202022054x x m y <
=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以33
50≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为的直线.
结合图形，492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x 表示的是一段关于轴对称，起点为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在轴对称下方的圆弧.设
P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35，则7523
54352=-=PT k ，而当直线L 与轨迹C 相切时，2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取4
3=k ，因为43752<，所以k k PT <.
结合图形，可得对于轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤34
k =时，直线L 与轴对称下方的
圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当0k ≤<或34k =-时，直线L 与轴对称上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述，当752752≤≤-k 或34
k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.
【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件“直线与圆1C 相交于不同的两点A ，B ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆22
D F 0x y x y +++
E +=的圆心D ,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，直线与圆相交⇔d r <（d 是圆心到直线的距离），直线与圆相切⇔d r =（d 是圆心到直线的距离）．
2. 【2015高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22
231x y -+-=交于M ，N 两点.
（I ）求k 的取值范围； （II ）12OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点，求MN .
【答案】（I
）4433骣-琪琪桫
（II ）2 【解析】
试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ⋅=u u u u r u u u r 列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|.
试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.
因为l 与C
1<.
解得
4747
33
k
-+
<<.
所以的取值范围是
4747
,
33
骣-+
琪
琪
桫
.
由题设可得
2
4(1)
8=12
1
k k
k
+
+
+
，解得=1
k，所以l的方程为1
y x
=+.
故圆心在直线l上，所以||2
MN=.
考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力
【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212
,
x x y y用k表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.
3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线22
y x mx
=+-与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
【答案】（1）不会；（2）详见解析
试题解析：（1）设()()
12
,0,,0
A x
B x，则
12
,x x是方程220
x mx
+-=的根，
所以
1212
,2
x x m x x
+=-=-，
则()()1212,1,112110AC BC x x x x ⋅=-⋅-=+=-+=-≠u u u r u u u r ，
所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况。

（2）解法1：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心()00,E x y ，则
12022x x m x +==-，由EA EC =得()22221212100+122x x x x x y y +⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得1201122x x y +==-，所以圆E 的方程为22221112222m m x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以
所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值
解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，
由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，
所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值.
【考点】圆一般方程，圆弦长
【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
12|||AB x x =-= (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．。