2021-2022年高中数学第18周练习二(立体几何2)

2021年高中数学第18
周练习二（立体几何2）
1．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是______
2．平行六面体中，则等于____
3．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为_____
4,在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是________
5．如图，在长方形中,,,为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到时，则所形成轨迹的长度为 .
6如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱
的体积为__8 3
7,如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a
3
，过B 1，
D 1，P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.
5题
[答案] 22
3
a
8, 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的距离；
(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求的值．
8解析：(1)以G 点为原点，为x 轴、y 轴、
z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)， P (0，0，4)，故E (1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。

1010
20
22cos =⋅<GE ，， ∴GE 与PC 所成的余弦值为．
(2)平面PBG 的单位法向量n ＝(0，±1，0) ∵，
∴点D 到平面PBG 的距离为n |＝. (3)设F (0，y ，z )，则)2
323()02323()0(z y z y ，，，，，，-=--=。

∵，∴， 即，
∴ , 又，即(0，，z －4)＝λ(0，2，－4)， ∴z =1， 故F (0，，1) ，，∴。

9,如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点． （1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
9,证明：(Ⅰ)连结和交于，连结，
P
A G
B
C
D F
E
A
C
B
E F
为正方形，为中点，为中点，
，
平面，平面
平面．
(Ⅱ)平面，平面，，
平面，
平面，
平面，
以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，
则，，，
平面，平面，
，
为正方形，，
由为正方形可得：，
设平面的法向量为
，
由，令，则
设平面的法向量为，
，
由，令，则，
10,如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形．平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD.
(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2.问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此
时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
10,分析：(1)利用直线与平面、平面与平面垂直的性质证明线线垂直；(2)利用空间坐标系求解空间角的大小．
(1)证明：因为四边形ABCD 为矩形，故AB⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD ， 平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB⊥平面PAD ，故AB⊥PD.
(2)解析：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG. 故PO⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG.
在Rt △BPC 中，PG ＝233，GC ＝263，BG ＝6
3
.
设AB ＝m ，则OP ＝PG 2
－OG 2
＝
43
－m 2
， 故四棱锥PABCD 的体积为 V ＝13·6·m ·43－m 2＝m 3·8－6m 2. 因为m 8－6m 2
＝8m 2
－6m 4
＝－6（m 2
－23）2＋83
，
故当m ＝
63，即AB ＝6
3
时，四棱锥PABCD 的体积最大． 此时，建立如图所示
的坐标系，各点的坐标为O(0，0，0)，B(63，－63，0，)，C(63，26
3，0)，
D(0，
263，0)，P(0，0，63)．故PC →＝(63，263，－63
)， BC →＝(0，6，0)，CD →
＝(－6
3
，0，0)． 设平面BPC 的法向量n 1＝(x ，y ，1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋26
3y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，n 1＝(1，0，1)．
同理可求出平面DPC 的法向量n 2＝(0，1
2
，1)．
从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2|
|n 1||n 2|＝
12·
14
＋1＝
105
.。