14.3.2公式法 课件 人教版数学八年级上册

（3）若 a b 1，求 3a2 6ab 3b2 1 的值；
（4）已知 a2 b2 c2 4a b 6c 13 1 0，求a-b+c的值. 4
（5）求 x2 2x 5 的最值；
（6）求 x2 6x 1 的最值；
9.如果a和b是某三角形的两条边，并且（a2 b2）2 4a2b2 0
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
典例分析
例1 分解因式：
分析：观察多项式的结构特征，（1）中的多项式 是三项，可以考虑能否用完全平方公式分解因式.
也就是说，要进一步判断 m2 10mn 25n2
（1）m2 10mn 25n2； 这个三项式能否写成两个数的平方和与这两个
(2) x2 4 y2 4xy ;
数的乘积的2倍的形式. （2）中的多项式的首 项是负号，所以应先提负号，再判断多项式的
(2) 121x2 22xy y2； (4) a2 2ab b2 ; (6) 100 p4 20 p2q q2 ; (8) (x y)2 14(x y) 49z2 ; (10) 4xy2 4x2 y y3 .
3.把下列各式分解因式：（1）t4 8t2 16； (2) 16x2 x2 4 2 .
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(2) x2 4 y2 4xy
x2 4 y2 4xy
(x)2 (2 y)2 2(x)(2 y) (x 2y)2
能力提升
例2 分解因式：
（1）ax2 2a2 x a3；
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
(2) a4 2a2b2 b4 ;
(3) x2 y2 2 4x2 y2 ;
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
16 .
把一个多项式分解因式时，首先要考虑是 否有公因式，如果有，则要先把公因式提 出来，然后再根据多项式的项数，考虑用 平方差公式还是完全平方公式进行分解. 因式分解的最后结果是几个多项式的乘积 的形式，要注意分解彻底，即结果中的每 个多项式的因式都不能再进行分解.
解：（1）ax2 2a2 x a3
a x2 2ax a2
a(x a)2
(3)(x2 y2 )2 4x2 y2
x2 y2 2xy x2 y2 2xy
(x y)2(x y)2
(2) a4 2a2b2 b4
a2 2 2a2b2 b2 2 a2 b2 2
公式法
完全平方公式
复习回顾
我们知道，对于完全平方公式（a b）2 a2 2ab b2，(a b)2 a2 2ab b2.
从左到右是多项式的乘法，那么从右到左，则是将一个多项式写成两个多项式
的乘积的形式. 这样，我们可以利用完全平方公式 a2 2ab b2 =（a b）2，
a2 2ab+b2 =（a b）2 将形如 a2 2ab b2，a2 2ab+b2.
2
a2 b2
M N
ab
2
分析：运用作差比较的方法，通过判断差的符号， 可以确定M和N的大小.
a2 b2 2ab 2
(a b)2 2
(a b)2 0
(a b)2 0 2
M N 0
M N
总结提升
1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.具有什么结构特征的多项式可以用完全平方公式分解因式呢？ 3.在运用公式进行因式分解时，我们应当注意什么？
[(a b)(a b)]2 (a b)2(a b)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
16
x2 4x 42 x2 4x 4 2
(x 2)2 2 (x 2)4
方法提升
例3
若a，b为有理数，M
=
a2
2
b2
，N
ab，
比较M和N的大小.
解： M a2 b2 , N ab，
的多项式分解因式.
那么，具有什么结构特征的多项式可以用完全平方公式分解因式呢？
一个多项式如果能够写成两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍， 即 a2 2ab b2或a2 2ab b2 的形式，这样的多项式叫做完全平方式.
如果一个多项式是完全平方式，就能用完全平方公式分解因式，分解的结 果为这两个数的和或差的平方. 如果2倍项的符号为正，则分解的结果为这 两个数的和的平方；如果2倍项的符号为负，则分解的结果为这两个数的 差的平方.
试判断此三角形的形状.
10.求证：无论x为何值，x2 x 1 的值总大于0.
11.求证：无论x，y为何值，4x2 12x 9 y2 30 y 35 的值恒为正.
12.比较a2 1和6a 11 的大小.
12.判断下列多项式能否运用完全平方公式进行因式分解.
（1）a2 4ab 4b2； (2) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2 12xy 16 y2 .
1.本节课的核心内容是运用完全平方公式进行因式分解. 2.如果一个多项式可以运用完全平方公式进行因式分解， 那么它应该具备以下特征： （1）可以看作关于某个字母的二次三项式； （2）其中有两项可以分别看作两个数（或式）的平方； （3）其余的一项恰好是这两个数（或式）的乘积的2倍，或2倍的相反数. 3.在进行因式分解时，我们应当注意：如果多项式的各项有公因式时，就 先提公因式，再进一步分解因式.
( 3)(a b)2 10(a b) 25 各项的特征. 对于（3），我们可以
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
(2) 3m3a2 12m2a 12m (4) 4(a b)2 4(a b) 1; (6) 4x2 4xy y2 (8) 4xy 4x2 y2
(10) x2 y2 2 4x2 y2 .
7.把下列各式分解因式：
(1)（a b）4 （2 b a）2 1; (2) 81y4 18y2 1 (3) 3y5 24 y3 48y ;
达标检测
1.判断下列各式是否为完全平方式，如果是，将其分解因式；如果不是， 说明理由.
（1）x2 2xy 4 y2； (2) x2 4xy 4 y2；
(4) x2 3x 9 ;
(5) 4x2 12x 9 ;
(7) 16x2 8x 1 ; (8) x2 y2 ; (10) x2 4 y2 4xy ; (11) 2ab a2 b2 ;
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
13.在括号内填上适当的数，使之能用完全平方公式进行因式分解.
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
4.求值：
（1）已知a2 b2 2a 4b 5 0，求a，b的值. （2）已知 x2 （m 1）x 4 是完全平方式，求m的值；
（3）若 m n 3，求 2m2 4mn 2n2 6 的值；
（4）求 x2 4x 8 的最小值； （5）求 x2 6x 10 的最大值；
5.把下列各式分解因式：
(4) x2 9 y2 2 36x2 y2 ; (5) (a b)2 4 a2 b2 4(a b)2 ;
(6) (x 1)n5 2(x 1)n3 (x 1)n1 .
8.求值：
（1）若 x2 （m 1）x 16 是关于x的完全平方式，求m的值； （2）若a，b满足（a b）2 （2 a b）1 4 ，求a+b的值；
(9) b2 b 1 ; 4
(11) 4a2b2 4ab 1 ;
(10)4a2 12ab 9b2 ; (12) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(13) (m n)2 8(m n) 16 .
6.把下列各式分解因式：
(1)12x 4 9x2; (3) 2a2n1 12an1 18a ; (5) a2 2ab b2 2(a b) 1; (7) 3x2 6xy 3y3 ; (9) (x y)2 4xy ;