福建省光泽县第二中学2021高中数学 第二章 数列温习小结（第1课时）(1)

福建省光泽县第二中学2021高中数学第二章数列温习小结（第1课时）教案新
人教A版必修5
一．课标要求：
（1）成立等差数列和等比数列这两种数列模型；
（2）探讨并把握它们的大体数量关系和性质；
（3）体会等差数列，等比数列别离与一次函数，指数型函数的关系；
（4）能用有关知识解决相应的问题，培育学生解决问题的能力。

二．教学重点及难点：
重点：等差数列和等比数列大体数量关系和性质；
难点：用数列知识解决相应的问题；
三．教学大体流程：
四．教学进程：
（一）本章知识结构
教师投影出以下框图，创设问题情景，请同窗们将框图中的公式补完整。

名称通项公式前n项和公式
数列a
n =f(n)s
n
=a
1
+a
2
+ …+a
n
等差数列a
n =s
n
=
等比数列a
n =s
n
=
（二）探讨等差数列，等比数列的性质教师第一提出以下问题：
（1）在等差数列{ a
n }中，假设m + n = p + q，那么a
m
+ a
n
= a
p
+ a
q
是不是成立？s
n
，s
n2
--s
n
，
s
n3--s
n2
是不是也成等差数列？
本章知识结构探索性质与函数类比归纳整理，整体认识例题分析处理
课堂练习及课后作业
（2）在等比数列{ a
n }中，假设m + n = p + q，那么a
m
a
n
= a
p
a
q
是不是成立？s
n
，s
n2
--s
n
，
s
n3--s
n2
是不是也成等比数列？
（3）在数列{ a
n }中a
n
= s
n
-- s
1-
n
( n ≥2 ) 能成立吗？
学生分组讨论，教师进行归纳总结。

（三）数列与函数类比
数列的通项公式描述的是数列{ a
n }的第n项a
n
与序号n之间的函数关系，能够用式子a
n
= f(n)
来表示，数列的图象是一系列孤立的点(n，f (n))所组成的图形，教师提出以下问题：
（1）等差数列的通项公式a
n = a
1
+ (n--1) d是n的一次式，它与一次函数类比；前n项和公式s
n
=
a 1n +
2
)1
(-
n
n d是n的二次式，它与二次函数类比；它们对应的函数解析式别离是什么？
（2）等比数列的通项公式a
n = a
1
q1-n，它与指数型函数类比，对应的函数解析式是什么？
（3）类比函数的单调性，探讨等差数列，等比数列有如何的单调性？
学生分组讨论，教师进行归纳总结。

（四）归纳整理，整体熟悉
教师向学生投影出以下框图，在师生互动中补充完成。

名称等差数列等比数列
定义从第2项起每一项与它的前一项的差等
于同一个常数从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数
递推公式a
1= a a
1+
n
= a
n
+ d (n∈N*)a
1
= a a
1+
n
= a
n
q (q≠0 n∈
N*)
通项公式a
n = a
1
+ (n--1) d (n∈N*)a
n
= a
1
q1-n(q≠0 n∈N*)
前n项和公式s
n
= a
1
n +
2
)1
(-
n
n d
=
2
)
(
1
n
a
a
n
+
(n∈N*)
当q≠1时s
n
=
q
q
a n
-
-
1
)
1(
1
当q=1时s
n
= a
1
n
中项 若A=
2
b
a +,则A 是a ，
b 的等差中项 若G 2=ab, 则G 是a ，b 的等比中项 (ab>0)
判定
定义法：a 1+n -- a n = d （常数） 中项法：a 1+n + a 1-n = 2 a n (n ≥2)
定义法：
n
n a a 1
+=q （非零常数） 中项法：a 1+n a 1-n = a 2n (n ≥2)
性质
若m + n = p + q ，则a m + a n = a p + a q
23121--+=+=+n n n a a a a a a =……
依次k 项和成等差数列
若m + n = p + q ，则a m a n = a p a q
===--23121n n n a a a a a a ……
依次k 项和成等比数列
与函数类比
通项公式a n = a 1+ (n--1) d 与一次函数y= d x+ a 1--d 类比； 前n 项和公式s n = a 1n + 2
)1(-n n d 与二次函数y=
2d x 2+ (2
1d
a -) x 类比 通项公式a n = a 1q 1
-n 与指
数型函数y=1
1-x q
a 类比；
单调性
d>0时，数列{ a n }递增； d<0时，数列{ a n }递减；
当a 1>0且q>1时，或，当a 1<0且0<q<1时，数列{ a n }递增；当a 1>0且0<q<1时，或，当a 1<0且q>1时，数列{ a n }递减；
图象 数列的图象是一系列孤立的点 (n ，f (n)) 所组成的图形；
s n 与s 1
-n 的关系 a 1= s 1 1--=n n n s s a ( n ≥2 )
（五）例题分析
例一、已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21
n
n b a =
，1,2,3,n =．
(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列； (Ⅱ) 若是数列{}n b 前3项的和等于
7
24
，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (I)证明：∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列
∴22lg a =1lg a +4lg a ，即2
214a a a =
又设等差数列{}n a 的公差为d ，那么(1a －d )2
=1a (1a －3d )
如此2
1d a d =，从而d (d －1a )=0
∵d ≠0 ∴d =1a ≠0
∴122111(21)22
n n n
n
n n a a d db a d =+-===• ∴{}n b 是首项为1b =
12d ，公比为1
2
的等比数列。

(II)解。

∵1231117
(1)22424
b b b d ++=
++=
∴d =3 ∴1a =d =3
例二、已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并
说明理由.
解：（Ⅰ）由题设,2,2112
1213q a a q a a a a +=+=即 .012,021=--∴≠q q a
（Ⅱ）假设.2
312)1(2,12n
n n n n S q n +=⋅-+
==则 当.02
)
2)(1(,21>+-=
=-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >
若.4
9)21(2)1(2,212n
n n n n S q n +-=--+
=-=则 当,4
)
10)(1(,21---
==-≥-n n S b S n n n n 时
故, 关于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 (六) 课堂练习及课后作业
课堂练习：讲义第75页A 组第1，2，4，5题及B 组第1，2题； 课后作业：讲义第75页A 组第3，10，11及B 组第6，7题； 五．例题及习题选
A 组
(一) 选择题：
１．{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，若是n a =2005，那么序号n 等于 ( )
（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
２．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）
（A ）15
（B ）30
（C ）31
（D ）64
３．在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，那么a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 ４．在等差数列}{n a 中，已知前15项之和S 15= 90，那么a 8= ( )
（A ） 3
（B ）4 （C ）6 （D ）12
５．若是数列{}n a 是等差数列，那么 ( )
(A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+
(C) 1845a a a a +>+
(D) 1845a a a a =
6．设a ，b ，c 为等差数列，a+1,b,c 和a,b,c+2都是等比数列，那么b 的值为 ( )
（A ）16
（B ）14 （C ）12 （D ）10
（二）填空题：
７．在83和27
2
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为―――
８．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S 1+n ，S n ，S 2+n 成等差数列，那么q 的值为 （三）解答题：
９．设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=， 求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
１０．已知数列))}1({log *
2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明
.11
1112312<-++-+-+n
n a a a a a a
１１．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11
3
n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++的值.
参考答案：
（一）CACCBC （二）７．２１６； 8．--2 （三）解答题：
９．解：当;2,111===S a n 时
故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4
1,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.4
2}{,4
121
1
11---=⨯
-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即
10．（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .
由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.
因此,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n
n a
（II ）证明因为
n
n n n n a a a 2
1
21111=-=-++， 因此
n n n a a a a a a 2
121212111132112312++++=-++-+-+
１１．解：（I ）由a 1=1，11
3
n n a S +=
，n=1，2，3，……，得 211111333
a S a ===，
由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14
3
n n a a +=（n ≥2），
又a 2=31
，因此a n =214()33
n -(n ≥2),
∴ 数列{a n }的通项公式为2
1114()2
33
n n n a n -=⎧⎪
=⎨⎪⎩≥；
（II ）由（I ）可知242,,
,n a a a 是首项为
31
，公比为24()3
项数为n 的等比数列，∴ 2462n a a a a +++
+=2224
1()1343[()1]4373
1()3
n n -⋅
=-- B 组
(一)选择题：
１．{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，若是n a =2005，那么序号n 等于 ( )
（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
２．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）
（A ）15
（B ）30
（C ）31
（D ）64
３．在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，那么a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4．在等差数列}{n a 中，已知前15项之和S 15= 90，那么a 8= ( )
（A ） 3
（B ）4 （C ）6 （D ）12
５．若是数列{}n a 是等差数列，那么 ( )
(A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+
(C) 1845a a a a +>+
(D) 1845a a a a =
6．设a ，b ，c 为等差数列，a+1,b,c 和a,b,c+2都是等比数列，那么b 的值为 ( )
（A ）16
（B ）14 （C ）12 （D ）10
（二）填空题：
７．在83和27
2
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为―――
８．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S 1+n ，S n ，S 2+n 成等差数列，那么q 的值为 （三）解答题：
９．设正项等比数列{}n a 的首项2
11=
a ，前n 项和为n S ，且0)12(2102010
3010=++-S S S ；
求{}n a 的通项．
１０．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n ，求q 的取值范围．
１１设数列｛a n ｝的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+, ,
,3,2,1 =n 其中A,B 为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值;
(Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列． . 参考答案：
（一）CACCBC （二）７．２１６； 8．--2 （三）解答题
９．解：由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010
S S S S -=-
即,)(220121*********
a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121*********
10a a a a a a q +++=+++⋅
因为0>n a ，因此 ,1210
10=q 解得21=
q ，因此 .,2,1,2
1
11 ===-n q a a n n n 10 ．解：因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得
当;0,11>==na S q n 时
上式等价于不等式组：),2,1(,01,
01 =⎩
⎨⎧<-<-n q q n
① 或),2,1(,0
1,
01 =⎩⎨
⎧>->-n q q n
②
解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-
11 ．解：(Ⅰ)由11a =，26a =，311a =，得11S =，22S =，318S =．
把1,2n =别离代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28,
248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩
解得，20A =-，8B =-．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即
11582208n n n na S S n ++--=--，
①
又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．
④
④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-=
=-=，又215a a -=，
因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． 解：(Ⅰ)由11a =，26a =，311a =，得11S =，22S =，318S =． 把1,2n =别离代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28,
248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩
解得，20A =-，8B =-．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即 11582208n n n na S S n ++--=--，
①
又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．
④
④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-=
=-=，又215a a -=，
因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列。