高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编附解析

新数学《空间向量与立体几何》高考复习知识点
一、选择题
1．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为a ，侧棱长
为2a ，则1AC 与侧面11ABB A 所成的角是( )
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】A 【解析】 【分析】
以C 为原点，在平面ABC 中，过点C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 【详解】
解：以C 为原点，在平面ABC 中，过点C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则3(
a A ，2a ，0)，1(0C ，02)a ，13(a A 2
a 2)a ，(0B ，a ，0)， 13(a AC =u u u u r ，2a -2)a ，3(a
AB =u u u r ，2
a ，0)，1(0AA =u u u r ，02)a ， 设平面11ABB A 的法向量(n x =r
，y ，)z ，
则13·02·
20a a n AB x y n AA az ⎧=+=⎪
⎨⎪==⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1n =r 3，0)，
设1AC 与侧面11ABB A 所成的角为θ，
则111||31
sin |cos ,|2
||||23n AC a n AC n AC a θ=<>===r u u u u r
r u u u u r g r u u u u
r g ， 30θ∴=︒，
1AC ∴与侧面11ABB A 所成的角为30°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面
α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）
A ．36
B ．6
C ．5
D 53
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：
1,,A P C 确定一个平面α，
因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==
所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111
cos 25
AP PC AC APC AP PC +-∠=
=⨯ 所以16
sin 5
APC ∠=
所以S 四边形1APQC 111
2sin 262
AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】
本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
3．设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A ．若//a α，//b α，则//a b B ．若a α⊥，//a b ，则b α⊥ C ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则//b α D ．若//a α，a b ⊥r r
，则b α⊥
【答案】B 【解析】 【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．
若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；
若a α⊥，//a b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b α⊥，故B 正确；
若a α⊥，a b ⊥r r
，则//b α或b α⊂，故C 错误；
若//a α，a b ⊥r r
，则//b α，或b α⊂，或b 与α相交，故D 错误．
故选：B ． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
4．如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，,E F 分别为111,B C C D 的中点，点P 是底面
1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠ 的最大值是( )
A ．2
B ．2
C ．22
D ．32
【答案】C 【解析】
分析：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =P PM ，从而A 1P=C 1M ，由此能求出tan ∠APA 1的最大值．
详解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，
设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，
∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ， ∴AO =
P PM ，∴A 1P=C 1M=2
4AC =
∴tan ∠APA 1
=1
1AA A P
22． ∴tan ∠APA 1的最大值是2．
点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．
5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若
1D E CF ⊥，则当EBC V 的面积取得最小值时，
EBC
ABCD
S S
=△（ ） A ．
25
B ．
12
C ．5
D ．
5 【答案】D 【解析】 【分析】
根据1D E CF ⊥分析出点E 在直线1B G 上，当EBC V 的面积取得最小值时，线段EB
的长度为点B 到直线1B G 的距离，即可求得面积关系． 【详解】
先证明一个结论P ：若平面外的一条直线l 在该平面内的射影垂直于面内的直线m ，则l ⊥m ，
即：已知直线l 在平面内的射影为直线OA ，OA ⊥OB ，求证：l ⊥OB . 证明：直线l 在平面内的射影为直线OA ，
不妨在直线l 上取点P ，使得PA ⊥OB ，OA ⊥OB ，OA ，PA 是平面PAO 内两条相交直线， 所以OB ⊥平面PAO ，PO ⊂平面PAO ， 所以PO ⊥OB ，即l ⊥OB .以上这就叫做三垂线定理. 如图所示，取AB 的中点G ，
正方体中：1111A C D B ⊥，CF 在平面1111D C B A 内的射影为11A C ， 由三垂线定理可得：11CF D B ⊥，
CF 在平面11A B BA 内的射影为FB ，1FB B G ⊥
由三垂线定理可得：1CF B G ⊥，1B G 与11D B 是平面11B D G 内两条相交直线， 所以CF ⊥平面11B D G ，
∴当点E 在直线1B G 上时，1D E CF ⊥，
设BC a =，则11
22
EBC
S EB BC EB a =
⨯⨯=⨯⨯△， 当EBC V 的面积取最小值时，
线段EB 的长度为点B 到直线1B G 的距离，
∴线段EB 长度的最小值为5
，
525EBC ABCD
a
S S ⨯⨯∴
==
△. 故选：D . 【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
6．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）
A 34
B 234
C 517
D 317
【答案】D 【解析】 【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.
因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，
所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1
222
HG AC =
=. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167
cos 22669
PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，
则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =
在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317
2317
==
⨯⨯. 故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
7．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为233
32
厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移
3
2
厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）
A ．2颗
B ．3颗
C ．4颗
D ．5颗
【答案】C 【解析】 【分析】
利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可. 【详解】
如图，9,3,33AB cm EF GH cm LO cm ====
所以60A ∠=︒，原水位线直径6CD cm =，投入石子后，水位线直径5IJ cm = 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：
()22319133MN CN IM CN IM ππ⋅⋅++⋅= 空瓶的体积为：(
)
22
2
1
3
LN CN EL CN EL EL KL ππ⋅++⋅+⋅⋅
633363993888
πππ
=
+=
()99329783,49191324
π
π
=∈ 所以至少需要4颗石子 故选：C 【点睛】
本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.
8．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130 B ．140
C ．150
D ．160
【答案】D 【解析】
设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线1
19,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得2
21
156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =
-==，
因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211
()()1450822
AB AC BD =
+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断正确的是（ ）
①平面1PB D ⊥平面1ACD ②1//A P 平面1ACD
③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
④三棱锥1D APC -的体积不变 A ．①② B ．①②④
C ．③④
D ．①④
【答案】B 【解析】 【分析】
由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P 在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④． 【详解】
正方体中易证直线AC ⊥平面11BDD B ，从而有1AC B D ⊥，同理有11B D AD ^，证得
1B D ⊥平面1ACD ，由面面垂直判定定理得平面1PB D ⊥平面1ACD ，①正确；
正方体中11//A B CD ，11//BC AD ，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面
11A BC //平面1ACD ，而1A P ⊂平面11A BC ，从而得1//A P 平面1ACD ，②正确；
当P 是1BC 中点时，1A P 在平面11A B CD 内，正方体中仿照上面可证1AD ⊥平面
11A B CD ，从而11AD A P ⊥，1A P 与1AD 所成角为90︒．③错；
∵11D APC P AD C V V --=，由1//BC 平面1ACD ，知P 在线段1BC 上移动时，P 到平面1ACD 距离相等，因此1P AD C V -不变，④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
10．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
643
π B ．8316π
π+
C ．28π
D ．8216π
π+
【答案】B 【解析】 【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
11．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则
sin α的最大值为（ ）．
A．
2
2
B
．
25
C．
26
5
D．
26
6
【答案】B
【解析】
【分析】
连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到1A M与平面1
1
1
1
D
C
B
A所成的角，进而得到sinα的最大值.
【详解】
连接EF，因为EF//面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH//BC交CD于点G,交AB于H点，则GH//EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱1111
A B EHA D C FGD
-为
1
V，三棱柱EBH-FCG为
2
V，设M点
为2V的任一点，过M点作底面1
1
1
1
D
C
B
A的垂线，垂足为N，连接
1
A N,则
1
MA N
∠即为1
A M与平面
1
1
1
1
D
C
B
A所成的角，所以
1
MA N
∠=α，因为sinα=
1
MN
A M,要使α的正弦最大，必须MN最大，1A M最小，当点M与点H重合时符合题意，故sinα的最大值为11
=
MN HN
A M A H=
25
,
故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题. 12．如图，平面四边形ABCD中，1
AB AD CD
===，2
BD=，BD CD
⊥，将其沿对角线BD折成四面体A BCD
'-，使平面A BD
'⊥平面BCD，若四面体A BCD
'-的
顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．
32
C ．4π
D ．
34
【答案】A 【解析】 【分析】
设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′­BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径. 【详解】
设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD 2 由勾股定理得：BA ⊥AD
又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径
3DE =
2
343S ππ== 故选A 【点睛】
求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.
13．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为
1
4
圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）
A ．12
π+
B ．
136
π+ C ．12π+
D ．
1233
π+ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图知该几何体是三棱锥与1
4
圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】
解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与1
4
圆锥体的组合体， 如图所示；
则该组合体的体积为21111111212323436
V ππ=
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136
π
+． 故选B ．
【点睛】
本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．
14．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A ．
34
B ．
78
C ．
1516
D ．
2324
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，
该几何体的体积为11117
11132228
⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
15．在正四面体A BCD -中，P 是AB 的中点，Q 是直线BD 上的动点，则直线PQ 与
AC 所成角可能为（ ）
A ．
12
π
B ．
4
π
C ．
512
π D ．
2
π 【答案】C 【解析】
【分析】
根据题意，取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与
AC 所成角，在利用余弦定理可得242MQ x x =+-，易知PQ MQ =，所以在等腰三
角形PMQ 中()2
cos 0442QPM x x x
∠=
≤≤+-，，即可求出
33cos QPM ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
，，进而求出结果.
【详解】
取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，如下图所示：
设正四面体A BCD -的棱长为4，()04BQ x x =≤≤，，
在BMQ ∆中，2
2
2
2
2cos 6042MQ BM BQ BM BQ x x =+-⋅︒=+-， 在正四面体A BCD -中，易知PQ MQ =， 所以在等腰三角形PMQ 中，()2
cos 0442QPM x x x
∠=
≤≤+-
所以33cos 123QPM ∠∈⎣⎦
，，所以异面直线PQ 与AC 所成角可能为512π
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.
16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上
存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A ．7
B ．3
C ．1+3
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，
Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=．
所以11=90+60=150MA D ∠o o o
221111111113
2cos 13223()72
MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-⨯⨯-
⋅⨯=
故选A ． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
17．在空间中，下列命题正确的是
A ．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
B ．两条异面直线所成的有的范围是0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
D ．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】
根据两个角可能互补判断A ；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B ；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C ；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D. 【详解】
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A 不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B 不正确； 根据两个平面平行的性质定理知C 正确；
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D 不正确,综上可知只有C 的说法是正确的,故选C. 【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.
18．已知直线
和不同的平面
，下列命题中正确的是
A ．//m m αβαβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
B ．m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭
C ．//////m m ααββ⎫⇒⎬⎭
D ．////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
对各个选项逐一进行分析即可 【详解】
A ，若αβ⊥，m β⊥，则有可能m α⊂，故A 错误
B ，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β不一定垂直，可能相交或平行，故B 错误
C ，若//m α，//m β则推不出//αβ，面面平行需要在一个面内找出两条相交线与另一
个平面平行，故C 错误
D ，若//αβ，m α⊂，则有//m β，故D 正确
故选D 【点睛】
本题考查了线面平行与面面平行的判断和性质，在对其判定时需要运用其平行的判定定理或者性质定理，所以要对课本知识掌握牢固，从而判断结果
19．如图1，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为
A ．2
B ．1
C ．
32 D ．
52
【答案】C 【解析】 【分析】
判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可． 【详解】
由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：
可得其面积为：1113
222111122222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 【点睛】
本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.
20．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A 15
B 5
C 6
D 10 【答案】D 【解析】 【分析】
取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线
AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===， 设直线AM 与1C N 所成角为θ，
在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10
cos 2522
θ+-==
⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为
10
4
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。