第1课时 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
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解 (1)由题意知， kOA·kl＝－ 23·23ba22＝－ab22＝－14， 即 a2＝4b2，① 又a12＋43b2＝1，②
所以联立①②，解得ab＝ ＝21， . 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
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(2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 R(－x1，－y1)，由yx4＝ 2＋y232＝x＋1，t， 得 x2＋ 3tx＋t2－1＝0， Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2， 又 t≠0，所以 t∈(－2,0)∪(0,2)， x1＋x2＝－ 3t，x1x2＝t2－1. 要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线 AQ，AR 的斜率互为相反数，即证明 kAQ页
已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 23，直线 x＋ 3y－1＝0 被以椭圆 C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 M(4,0)的直线 l 交椭圆于 A，B 两个不同的点，且 λ＝|MA|·|MB|，求 λ 的取 值范围．
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a＋c＝3a－c， 解 (1)由题意得a2＝b2＋c2，
a12＋49b2＝1，
a＝2， 解得b＝ 3，
c＝1，
∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
(2)易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y＝kx＋1，并设 A(x1， y1)，B(x2，y2)．
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解 (1)原点到直线 x＋ 3y－1＝0 的距离为
d＝ 11＋3＝12，所以122＋ 232＝b2(b>0)， 解得 b＝1，又 e2＝ac22＝1－ba22＝34，得 a＝2， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
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(2)当直线 l 的斜率为 0 时，直线 l：y＝0 即 x 轴，
由y＝2x， x2＋4y2＝4，
可得 B 2， 22，
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此时|OP|＝ 22，当直线 AB 的斜率 k≠0 时， 可令 AB 的方程为 x＝my＋t，
由xx2＝＋m4yy＋2＝t，4， 可得(m2＋4)y2＋2mty＋t2－4＝0， Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)＞0 ⇒m2－t2＋4＞0，① 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2＝m－22＋m4t，y1y2＝mt22－＋44，
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x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝m28＋t 4. ∴Pm24＋t 4，m－2＋mt4. ∵k1k2＝－14，∴xy11xy22＝－14. 即 4y1y2＋x1x2＝0， ∴(4＋m2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0， ∴t2－4＋－4＋2mm22t2＋t2＝0， ∴2t2＝m2＋4，则 t2≥2，② 由①②可得 t2≥2 恒成立，
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由题意知，kAQ＋kAR
＝yx2＋2－213＋yx1－1＋213
＝y2＋
23x1＋1＋y1－ 23x2－1 x1＋1x2－1
＝
23x2＋t＋
23x1＋1＋ 23x1＋t－ x1＋1x2－1
23x2－1
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第24页
＝
3x1x2＋tx1＋x2＋ x1＋1x2－1
3
＝
3t2－1＋t－ 3t＋ x1＋1x2－1
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考点❷圆锥曲线中的范围问题☆☆☆ 【典例】 (2020·烟台模拟)椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1， F2，M 为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，若△MF1F2 的周长为 4＋2 3，且面积的最 大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 A，B 是椭圆 C 上两动点，线段 AB 的中点为 P，OA，OB 的斜率分别为 k1， k2(O 为坐标原点)，且 k1k2＝－14，求|OP|的取值范围．
λ＝|MA|·|MB|＝12；
当直线 l 的斜率不为 0 时，
设直线 l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x＝my＋4， 联立方程组x42＋y2＝1，
得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0，
由 Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得 m2>12，
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第19页
所以 y1y2＝m21＋2 4， λ＝|MA|·|MB| ＝ 1＋m2·|y1|· 1＋m2·|y2| ＝1241＋＋mm2 2＝121－4＋3m2， 由 m2>12，得 0<m23＋4<136，所以349<λ<12. 综上可得，349<λ≤12，即 λ∈349，12.
y＝kx＋1， 由x42＋y32＝1，
消去 y 得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，则 x1＋x2＝3－＋84kk2，x1x2＝
3＋－48k2，
∴|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2＝4 63·＋14＋k22k2，
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原点 O 到直线 l 的距离 d＝
1 k2＋1.
∴S△ABO＝12d· 1＋k2|x1－x2|＝2
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知曲线 C 在点 A，B 处的切线的斜率分别是x21，x22， 依题意x21·x22＝－1，即 x1x2＝－4，
可得 B－x41，x421， ∴kAF＝x421x－1 1＝x41－x11，kBF＝x4－21－x411＝x41－x11， ∴kAF＝kBF，知 A，B，F 三点共线．
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第29页
绿色通道 衡水重点中学名师倾力打造 大二轮 • 数学 N
第二部分 突破热考题型 提升关键能力
板块二 核心考点 专题突破 专题四 解析几何
第3讲 圆锥曲线解答题解题策略及答题规范 (大题攻略) 第1课时 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
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课堂探究
考点❶圆锥曲线中的最值问题☆☆☆ 【典例】 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上的动点到其左焦点距离的最大值是 最小值的 3 倍，且点 P1，32在椭圆上． (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)过点 G(0,1)作直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求△ABO 面积的 最大值．
第27页
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解 (1)设 E(x，y)，则 EF 的中点为 M2x，y＋2 1，依题意知 M 到点 F(0,1)与它 到 x 轴的距离相等，
可得
2x2＋y－2 12＝y＋2 1，
化简得 x2＝4y，
即为动点 E 的轨迹 C 的方程． (2)证明：设 Ax1，x421，Bx2，x422(x1≠x2)， 则由 y＝x42得 y′＝2x，
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解 (1)由题知，△MF1F2 的周长为 2a＋2c＝4＋2 3，且12·2c·b＝ 3， ∴a＝2，b＝1，c＝ 3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1. (2)当直线 AB 的斜率 k＝0 时， 此时 k1，k2(O 为坐标原点)满足 k1k2＝－14，k1＝－k2＝－12. 可令 OB 的方程为 y＝12x(xB＞0)，
(2)显然直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)＋2.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1 ＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.
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由yx＝ 2＝k4xy＋，2＋2， 消去 x 整理得 y2－4(k2＋k＋1)y＋4(k＋1)2＝0， 所以 y1＋y2＝4(k2＋k＋1)，y1y2＝4(k＋1)2， 所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝8k2＋12k＋9＝8k＋342＋92， 所以当 k＝－34时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为92.
6· 1＋2k2 3＋4k2 .
令 1＋2k2＝t.
∵k2≥0，∴t≥1，∴S△ABO＝22t2＋6t1＝22t＋61t .
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第5页
易证 y＝2t＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，
∴2t＋1t ≥3，∴S△ABO≤23 6，
∴△ABO
面积的最大值为2
3
6 .
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第6页
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求圆锥曲线中最值问题的关键 (1)公式意识，把所求最值用相关公式表述出来； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式与函数意识，寻找关于参数的不等式或函数，并求最值．
谢谢观看
3＝0，
即直线 AQ，AR 的斜率互为相反数，
所以|AM|＝|AN|.
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第25页
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圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般 是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证．
第26页
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设定点 F(0,1)，动点 E 满足：以 EF 为直径的圆与 x 轴相切． (1)求动点 E 的轨迹 C 的方程； (2)设 A，B 是曲线 C 上两点，若曲线 C 在点 A，B 处的切线互相垂直，求证：A， F，B 三点共线．
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第20页
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考点❸证明问题☆☆☆ 【典例】 (2020·沈阳模拟)已知点 A1，－ 23在椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上， O 为坐标原点，直线 l：ax2－ 2b32y＝1 的斜率与直线 OA 的斜率乘积为－14. (1)求椭圆 C 的方程； (2)不经过点 A 的直线 y＝ 23x＋t(t≠0 且 t∈R)与椭圆 C 交于 P，Q 两点，P 关于 原点的对称点为 R(与点 A 不重合)，直线 AQ，AR 与 y 轴分别交于两点 M，N，求证： |AM|＝|AN|.
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第14页
|OP|2＝16mt22＋＋m422t2＝16t22＋t2m2 2t2 ＝164＋t2m2＝16＋42tt22－4 ＝12＋t32∈12，2， |OP|∈ 22， 2. 综上，|OP|的取值范围为 22， 2.
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第15页
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圆锥曲线中范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形 性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或不等关系，或 已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的取值范围．
第7页
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已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，过点 P(－2,2)的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点．
(1)当点 P 为 A，B 的中点时，求直线 AB 的方程； (2)求|AF|·|BF|的最小值．
第8页
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解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21＝4y1，x22＝4y2，显然 x1≠x2，则两式相减 得 4·yx11－ －yx22＝x1＋x2，因为 x1＋x2＝－4，所以直线 AB 的斜率 k＝yx11－ －yx22＝－1，所以 直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋2)，即 x＋y＝0.
解 (1)由题意知， kOA·kl＝－ 23·23ba22＝－ab22＝－14， 即 a2＝4b2，① 又a12＋43b2＝1，②
所以联立①②，解得ab＝ ＝21， . 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
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(2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 R(－x1，－y1)，由yx4＝ 2＋y232＝x＋1，t， 得 x2＋ 3tx＋t2－1＝0， Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2， 又 t≠0，所以 t∈(－2,0)∪(0,2)， x1＋x2＝－ 3t，x1x2＝t2－1. 要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线 AQ，AR 的斜率互为相反数，即证明 kAQ页
已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 23，直线 x＋ 3y－1＝0 被以椭圆 C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 M(4,0)的直线 l 交椭圆于 A，B 两个不同的点，且 λ＝|MA|·|MB|，求 λ 的取 值范围．
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a＋c＝3a－c， 解 (1)由题意得a2＝b2＋c2，
a12＋49b2＝1，
a＝2， 解得b＝ 3，
c＝1，
∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
(2)易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y＝kx＋1，并设 A(x1， y1)，B(x2，y2)．
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解 (1)原点到直线 x＋ 3y－1＝0 的距离为
d＝ 11＋3＝12，所以122＋ 232＝b2(b>0)， 解得 b＝1，又 e2＝ac22＝1－ba22＝34，得 a＝2， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
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(2)当直线 l 的斜率为 0 时，直线 l：y＝0 即 x 轴，
由y＝2x， x2＋4y2＝4，
可得 B 2， 22，
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此时|OP|＝ 22，当直线 AB 的斜率 k≠0 时， 可令 AB 的方程为 x＝my＋t，
由xx2＝＋m4yy＋2＝t，4， 可得(m2＋4)y2＋2mty＋t2－4＝0， Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)＞0 ⇒m2－t2＋4＞0，① 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2＝m－22＋m4t，y1y2＝mt22－＋44，
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x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝m28＋t 4. ∴Pm24＋t 4，m－2＋mt4. ∵k1k2＝－14，∴xy11xy22＝－14. 即 4y1y2＋x1x2＝0， ∴(4＋m2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0， ∴t2－4＋－4＋2mm22t2＋t2＝0， ∴2t2＝m2＋4，则 t2≥2，② 由①②可得 t2≥2 恒成立，
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由题意知，kAQ＋kAR
＝yx2＋2－213＋yx1－1＋213
＝y2＋
23x1＋1＋y1－ 23x2－1 x1＋1x2－1
＝
23x2＋t＋
23x1＋1＋ 23x1＋t－ x1＋1x2－1
23x2－1
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＝
3x1x2＋tx1＋x2＋ x1＋1x2－1
3
＝
3t2－1＋t－ 3t＋ x1＋1x2－1
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考点❷圆锥曲线中的范围问题☆☆☆ 【典例】 (2020·烟台模拟)椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1， F2，M 为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，若△MF1F2 的周长为 4＋2 3，且面积的最 大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 A，B 是椭圆 C 上两动点，线段 AB 的中点为 P，OA，OB 的斜率分别为 k1， k2(O 为坐标原点)，且 k1k2＝－14，求|OP|的取值范围．
λ＝|MA|·|MB|＝12；
当直线 l 的斜率不为 0 时，
设直线 l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x＝my＋4， 联立方程组x42＋y2＝1，
得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0，
由 Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得 m2>12，
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所以 y1y2＝m21＋2 4， λ＝|MA|·|MB| ＝ 1＋m2·|y1|· 1＋m2·|y2| ＝1241＋＋mm2 2＝121－4＋3m2， 由 m2>12，得 0<m23＋4<136，所以349<λ<12. 综上可得，349<λ≤12，即 λ∈349，12.
y＝kx＋1， 由x42＋y32＝1，
消去 y 得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，则 x1＋x2＝3－＋84kk2，x1x2＝
3＋－48k2，
∴|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2＝4 63·＋14＋k22k2，
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原点 O 到直线 l 的距离 d＝
1 k2＋1.
∴S△ABO＝12d· 1＋k2|x1－x2|＝2
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知曲线 C 在点 A，B 处的切线的斜率分别是x21，x22， 依题意x21·x22＝－1，即 x1x2＝－4，
可得 B－x41，x421， ∴kAF＝x421x－1 1＝x41－x11，kBF＝x4－21－x411＝x41－x11， ∴kAF＝kBF，知 A，B，F 三点共线．
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考点❶圆锥曲线中的最值问题☆☆☆ 【典例】 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上的动点到其左焦点距离的最大值是 最小值的 3 倍，且点 P1，32在椭圆上． (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)过点 G(0,1)作直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求△ABO 面积的 最大值．
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解 (1)设 E(x，y)，则 EF 的中点为 M2x，y＋2 1，依题意知 M 到点 F(0,1)与它 到 x 轴的距离相等，
可得
2x2＋y－2 12＝y＋2 1，
化简得 x2＝4y，
即为动点 E 的轨迹 C 的方程． (2)证明：设 Ax1，x421，Bx2，x422(x1≠x2)， 则由 y＝x42得 y′＝2x，
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解 (1)由题知，△MF1F2 的周长为 2a＋2c＝4＋2 3，且12·2c·b＝ 3， ∴a＝2，b＝1，c＝ 3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1. (2)当直线 AB 的斜率 k＝0 时， 此时 k1，k2(O 为坐标原点)满足 k1k2＝－14，k1＝－k2＝－12. 可令 OB 的方程为 y＝12x(xB＞0)，
(2)显然直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)＋2.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1 ＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.
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由yx＝ 2＝k4xy＋，2＋2， 消去 x 整理得 y2－4(k2＋k＋1)y＋4(k＋1)2＝0， 所以 y1＋y2＝4(k2＋k＋1)，y1y2＝4(k＋1)2， 所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝8k2＋12k＋9＝8k＋342＋92， 所以当 k＝－34时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为92.
6· 1＋2k2 3＋4k2 .
令 1＋2k2＝t.
∵k2≥0，∴t≥1，∴S△ABO＝22t2＋6t1＝22t＋61t .
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易证 y＝2t＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，
∴2t＋1t ≥3，∴S△ABO≤23 6，
∴△ABO
面积的最大值为2
3
6 .
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求圆锥曲线中最值问题的关键 (1)公式意识，把所求最值用相关公式表述出来； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式与函数意识，寻找关于参数的不等式或函数，并求最值．
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3＝0，
即直线 AQ，AR 的斜率互为相反数，
所以|AM|＝|AN|.
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设定点 F(0,1)，动点 E 满足：以 EF 为直径的圆与 x 轴相切． (1)求动点 E 的轨迹 C 的方程； (2)设 A，B 是曲线 C 上两点，若曲线 C 在点 A，B 处的切线互相垂直，求证：A， F，B 三点共线．
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考点❸证明问题☆☆☆ 【典例】 (2020·沈阳模拟)已知点 A1，－ 23在椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上， O 为坐标原点，直线 l：ax2－ 2b32y＝1 的斜率与直线 OA 的斜率乘积为－14. (1)求椭圆 C 的方程； (2)不经过点 A 的直线 y＝ 23x＋t(t≠0 且 t∈R)与椭圆 C 交于 P，Q 两点，P 关于 原点的对称点为 R(与点 A 不重合)，直线 AQ，AR 与 y 轴分别交于两点 M，N，求证： |AM|＝|AN|.
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|OP|2＝16mt22＋＋m422t2＝16t22＋t2m2 2t2 ＝164＋t2m2＝16＋42tt22－4 ＝12＋t32∈12，2， |OP|∈ 22， 2. 综上，|OP|的取值范围为 22， 2.
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圆锥曲线中范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形 性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或不等关系，或 已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的取值范围．
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已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，过点 P(－2,2)的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点．
(1)当点 P 为 A，B 的中点时，求直线 AB 的方程； (2)求|AF|·|BF|的最小值．
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解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21＝4y1，x22＝4y2，显然 x1≠x2，则两式相减 得 4·yx11－ －yx22＝x1＋x2，因为 x1＋x2＝－4，所以直线 AB 的斜率 k＝yx11－ －yx22＝－1，所以 直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋2)，即 x＋y＝0.