人教A版数学必修一广东省信宜市-年高一第一学期期末考试试卷.doc

广东省信宜市2009-2010年高一第一学期期末考试数学试卷
本试卷共4页，20题，满分150分，考试用时120分钟
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.设全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U N ===集合M ，则()U C M N =U （ ）
A. {}1,2,3
B. {}5
C. {}1,4,5
D. ∅
2.点P(0,1)30y ++=的距离是
3、函数()lg(31)f x x =-的定义域为
A 、1(,)3+∞
B 、1(,)3-∞
C 、1[,)3
+∞ D 、(0,)+∞ 4、已知平面..,m n αβ和直线下列命题中真命题的是
A 、若,,m m n αα⊥⊥P 则n
B 、若,,m n ααP P P 则m n
C 、若m m βαβα⊂⊥⊥且，则
D 、若m βαβα⊥⊥P 且，则m
5、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数的零点附近的函数值用二分法计算，其参考
数据如下：(1)2,(1.5)0.625,f f =-=(1.25)0.984,(1.375)0.260,f f =-=-
(1.4375)0.162,(1.40625)0.054f f ==-，那么方程32220x x x +--=的一个近似根 （精确到0.1）为
A 、1.2
B 、1.3
C 、1.4
D 、1.5
6. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A 、25π
B 、50π
C 、125π
D 、250π
7. 函数2x
y =的大致图象是
(A) (B) (C) (D)
8、过点P(3,-2)且与A(1,2) 、B(5,0)两点等距离的直线l 的方程是
A 、30x -=
B 、210x y ++=
C 、21030x y x ++=-=或
D 、210250x y x y ++=--=或
9、若正方体 1111ABCD A B C D - 的棱长为4，点M 是棱AB 的中点，则在该
正方体表面上，点M 到顶点1C 的最短距离是
A
、 B
、、6 D 、10
10、已知偶函数y=f(x)在区间(,0]-∞上是增函数，下列不等式一定成立的是
A 、(3)(2)f f >-
B 、()(3)f f π->
C 、2(1)(23)f f a a >++
D 、22(2)(1)f a f a +>+
二、填空题（每小题5分，共20分）
11、若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，则a =
12、函数22(0)()log (0)
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若 1()2f a =,则a= 13、在空间，有四个命题：①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相
等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. 其中正确的命题的序号为________________________.
14、奇函数()()(0)f x x a x b x R a b =+--∈<<的单调递减区间是
_________________________.
三﹑解答题：（本题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明﹑证明过程或演算步骤）
15、(本题满分12分) 已知函数21(),1
f x x =- （1）.求 ()f x 的定义域；
（2）判断函数()f x 在1+∞（，）
上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 16、（本题满分12分）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，.M N 分别是棱AB ﹑BC 的中点.，.
（1）试判断截面11MNC A 是否为梯形？并说明理由；
（2）证明：平面1MNB ⊥平面11BDD B ．
17、（本题满分14分）
已知函数2()([0,1])f x x x c x =-+∈ （1）求()f x 的最大值和最小值；
（2）求证：对任意12,[0,1]x x ∈，总有121()()4
f x f x -≤； （3）若函数()y f x =在区间[0,1]上有零点，求实数C 的取值范围.
18、（本题满分14分）
某工厂生产某种零件，每个零件的成本是40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元。

但实际出厂单价不能低于51元。

（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰为51元？
（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式；
（3）当销售商一次订购了500个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价—成本）
19、（本题满分14分）
一个几何体的直观图及三视图如图所示，M,N 分别是AF,BC 的中点.
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求证：MN CDEF P 平面；
（3）求多面体A CDEF -的体积.
20、（本题满分14分）
集合A 是由适合以下性质的函数()f x 构成上的：对于定义域内任意两个不相等的实数
12,x x 都有12121[()()]().22
x x f x f x f ++>。

（1） 试判断2()f x x =及2()log g x x =是否在集合A 中，并说明理由；
（2） 设()f x A ∈且当定义域为(0,)+∞，值域为(0,1)，且1(1)2
f >
，试写出一个满足以上条件的函数()f x 的解析式，并给予证明.
广东省信宜市2009-2010学年高一第一学期期末考试试卷高
一数学参考答案及评分说明
1.B
2.C
3.A
4.D
5.C
6.B
7.B
8.C
9.B 10.C
主视图 左视图 俯视图 D 1 C 1
B 1 A 1
11. 2-
12. 1-③④ 14. [,]b b -（也可以写成(,)b b -或[,]a a -）
15.解：（1）由2
10x -≠，得1x ≠± 所以函数21()1
f x x =
-的定义域为{}1x R x ∈≠±。

………….4分 （2）函数21()1f x x =-在(1,)+∞上是减函数……………….6分 证明：任取12(1,)x x ∈+∞、，且12x x <，则
21211222221212()()11()()11(1)(1)
x x x x f x f x x x x x -+-=-=----…………….8分 22211221211,10,10,0,0x x x x x x x x >>∴->->->+>Q ……..10分
12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >， 因此，函数21()1
f x x =-在(1,)+∞上是减函数。

…………………….12分 16. 解：（1）截面11MNC A 是梯形……………………………….1分
理由：连结AC ，因为M N 、分别是棱AB BC 、的中点…….2分
所以,MN AC MN AC ≠P ……………………………………….3分
又11AC AC P 且11AC A
C =，11MN A C ∴P ，且11MN AC ≠…..4分 ∴截面11MNC A 是梯形……………………………………………..5分
（2）证明：正方体1111ABCD A B C D -中，,AC BD ⊥又MN AC P ……………6分 MN BD ∴⊥………………………………………………………….7分
又1B B ABCD MN ABCD ⊥⊂平面，平面……………………….8分
1B B MN ∴⊥
又1BD B B B =I ……………………………………………………….9分
11MN BDD B ∴⊥平面………………………………………………….10分
又1MN MNB ⊂平面…………………………………………………….11分
111MNB BDD B ∴⊥平面平面………………………………………………….12分
17. 解：（1）()f x Q 图象的对称轴为12
x =………………………………………..1分 ()f x 在1[0,]2上是减函数，在1[,1]2
上是增函数…………………………………2分 max ()(0)(1)f x f f c ∴===………………………………………………………4分
min 1111()()2424
f x f c c ==-+=-……………………………………………….6分 （2）对任意12,[0,1]x x ∈，总有11()4c f x c -≤≤，21()4
c f x c -≤≤ 12max min 11()()()()()44
f x f x f x f x c c -≤-=--= 即121()()4
f x f x -≤…………………………………………………………………….9分
（3）因为函数()f x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为12
x =，函数()y f x =在[0,1]上有零点时，则
1()02(0)0f f ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩ 即211()0220
c c ⎧-+≤⎪⎨⎪≥⎩………………………………………………..12分 解得104
c ≤≤
………………………………………………………………………….13分 所以所求实数c 的取值范围是104c ≤≤……………………………………………..14分 18. 解：（1）设当一次订购量为0x 个时，零件的实际出厂价为51元，则060(100)0.0251x --⋅= 0550x ∴=
∴当一次订购量为550个时，零件的实际出厂价为51元……………………..3分
（2）当0100x <≤时，60P =…………………………………………………4分
当100550x <<时，600.02(100)6250
x P x =--=-……………….6分 当550x ≥时，51P =………………………………………………………8分
所以60,0100()()62,100550()5051,550()
x x N x P f x x x N x x N <≤∈⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩………………………..9分 （3）设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则
(40)L P x =-…. ……………………………………………………………………10分
220,0100()22,100550()5011,550()
x x x N x x x N x x x N <≤∈⎧⎪⎪=-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩…………………………………………………..12分 当500x =时，6000L =…. ……………………………………………………………13分 ∴销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润为6000元………………………14分
19. 解：（1）这个几何体是底面是直角三角形的直三棱柱（写成直三棱柱也给分）…2分
（2
）由三视图可知，2,AB BC BF DE CF =====..3分
90CBF ︒∴∠=……………………………………………………………….4分
取BF 的中点G 连MG NG 、，
由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得
,NG CF MG EF P P ……………………… …..6分
NG CDEF ∴P 平面，MG CDEF P 平面
MNG CDEF ∴P 平面平面
而MN MNG ⊂平面，MN CDEF ∴P 平面……………………………………8分
（3）取DE 的中点H
,AD AE AH DE =∴⊥Q ，在直三棱柱ADE BCF -中
,ADE CDEF ADE CDEF DE ⊥=I 平面平面平面平面
AH CDEF ∴⊥平面………………………………………………………………….10分 ∴多面体CDEF A-是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥………………….11分 在ADE V
中，DEF S DE EF ==g 矩形.12分
∴棱锥CDEF A-
的体积118333
DEF V S AH ==⨯=g g 矩形…………………14分 20. 解：（1）(),()f x A g x A ∈∉
对于()f x A ∈的证明：任取1212,x x R x x ∈≠且
22212121212()()()()2222
f x f x x x x x x x f ++++-=-………………………………..3分 =2121()04
x x ->………………………………………4分
1212()()()22
f x f x x x f ++∴>，即()f x A ∈………………………………….5分 对于()
g x A ∉，举反例，当121,2x x ==时
1222()()11(log 1log 2)222
g x g x +=+=………………………………………….6分
122221231()log log log 2222
x x g ++==>=…………………………………7分 不满足1212()()()22
g x g x x x g ++> ()g x A ∴∉………………………………..8分 （2）函数2()3x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，当(0,)x ∈+∞时，值域为(0,1)，且21(1)32f =>…10分 任取12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，则
121212122()()1222()[()()2()]222333x x x x f x f x x x f +++-=+-…………………..11分 112222222212222[()]2()()[()]23333x
x
x
x
⎧⎫=-⋅+⎨⎬⎩⎭
………………………………………12分 12222122[()()]0233
x
x
=->……………………………………………………………13分 即
1212()()()22
f x f x x x f ++> 2()()3x f x A ∴=∈……………………………………………………………………..14分
说明：本题中()f x 构造类型：1()(1)2x f x a a =<<或()(1)k f x k x k
=>+。