高中数学-空间向量的直角坐标运算测试题

高中数学-空间向量的直角坐标运算测试题
自我小测
1．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25
AB →
，则C 的坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，－85
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫6
5
，－45，－85
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，85
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，45，85
2．已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM →
|＝( ) A.
534 B.53
2
C.
532 D.13
2
3．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦值为8
9
，则λ＝( ) A ．2 B ．－2
C ．－2或255
D ．2或－2
55
4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2
5．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( )
A.10 B ．－10 C ．2 5 D ．±10
6．正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
7．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，
z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →
，则P 点的坐标为__________．
8．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，AP →＝12
(AB →
－
AC →
)，则点P 的坐标是__________．
9.已知向量a ＝(2，－1,2)，则与a 共线且a ·x ＝－18的向量x ＝__________. 10．如图所示，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O ，O 1分别为底面ABCD 、底面A 1B 1C 1D 1的中心，AB ＝6，AA 1＝4，M 为B 1B 的中点，N 在C 1C 上，且C 1N ∶NC ＝1∶3.
(1)若以O 为原点，分别以OA ，OB ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)若以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
11．如图所示，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.
(1)求向量CD →
的坐标；
(2)求向量AD →与BC →
的夹角的余弦值．
12．正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为4的正方形，A 1C 1与B 1D 1交于点N ，
BC 1与B 1C 交于点M ，且AM ⊥BN ，建立空间直角坐标系．
(1)求AA 1的长； (2)求〈BN →，AD 1→
〉；
(3)对于n 个向量a 1，a 2，…，a n ，如果存在不全为零的n 个实数λ1，λ2，…，λn ，使得λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0成立，则这n 个向量a 1，a 2，…，a n 叫做线性相关，不是线
性相关的向量叫线性无关，判断AM →，BN →，CD →
是否线性相关，并说明理由．
参考答案
1．解析：设C (a ，b ，c )，∵AB →
＝(－3，－2，－4)， ∴2
5(－3，－2，－4)＝(a ，b ，c )， ∴(a ，b ，c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6
5，－45，－85.故选A.
答案：A
2．解析：由题意，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，则CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3， 所以|CM →
|＝22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋32＝532.
答案：C
3．解析：a·b ＝2－λ＋4＝6－λ， |a |＝5＋λ2
，|b |＝9. cos 〈a ，b 〉＝
a·b |a||b|＝6－λ5＋λ2
·9＝8
9
. 55λ2
＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝255.
答案：C
4．解析：a ∥b ⇔23＝4x ＝5y ⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝6，
y ＝15
2.
答案：D
5．解析：CB →＝(－6,1,2k )，C A →
＝(－3,2，－k )， 则CB →·CA →
＝(－6)×(－3)＋2＋2k (－k )＝－2k 2
＋20＝0， ∴k ＝±10. 答案：D
6．解析：建立如图所示坐标系，由题意设A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)．
由AD 1→＝(－1,0,2)，A 1B →
＝(0,1，－2)， ∴cos 〈A 1B →，AD 1→
〉＝－4
5×5＝－45.∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为4
5，故选D.
答案：D
7．解析：PA →
＝(－x,1，－z )，
AB →＝(－1，－1，－1)，AC →
＝(2,0,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －1＋z ＝0，－2x －z ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
z ＝2，
∴P (－1,0,2)． 答案：(－1,0,2)
8．解析：∵CB →
＝(6,3，－4)，设P (a ，b ，c )，
则(a －2，b ＋1，c －2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，32，－2， ∴a ＝5，b ＝12，c ＝0，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0.
答案：⎝
⎛⎭
⎪⎫5，12，0 9．解析：设x ＝(x ，y ，z )，又a ·x ＝－18， ∴2x －y ＋2z ＝－18，①
又∵a ∥x ，∴x ＝2λ，y ＝－λ，z ＝2λ，② 由①②知，x ＝－4，y ＝2，z ＝－4， ∴x ＝(－4,2，－4)． 答案：(－4,2，－4)
10．解：(1)正方形ABCD 中，AB ＝6， ∴AC ＝BD ＝62，从而OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝3 2.
∴各点坐标分别为A (32，0,0)，B (0,32，0)，C (－32，0,0)，D (0，－32，0)，
O (0,0,0)，O 1(0,0,4)，A 1(32，0,4)，B 1(0,32，4)，C 1(－32，0,4)，D 1(0，－32，4)，M (0,32，2)，N (－32，0,3)．
(2)同理，A (6,0,0)，B (6,6,0)，C (0,6,0)，D (0,0,0)，A 1(6,0,4)，B 1(6,6,4)，C 1(0,6,4)，
D 1(0,0,4)，O (3,3,0)，O 1(3,3,4)，M (6,6,2)，N (0,6,3)．
11．解：B (0，－1,0)，C (0,1,0)，CB →
＝(0，－2,0)． (1)由题意设D (0，m ，n )(m <0，n >0)， 则BD →＝(0，m ＋1，n )，CD →
＝(0，m －1，n )． 因为∠BDC ＝90°，所以BD →⊥CD →
， 即(m －1)(m ＋1)＋n 2
＝0.①
因为cos ∠DCB ＝CB →·CD →
|CB →||CD →|＝－2m －12×
m －12＋n 2
＝3
2，② 所以求解①②组成的方程组得⎩⎪⎨
⎪
⎧
m ＝－1
2
，
n ＝32
或⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝－1
2
，
n ＝－3
2
(舍去)或
⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝1，n ＝0
(舍去)，
所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，所以CD →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－32，32.
(2)AD →＝⎝
⎛
⎭
⎪⎫－
32，－1，32，BC →
＝(0,2,0)， 所以cos 〈AD →，BC →
〉＝A D →·B C →|A D →||B C →|
＝
－210
4
×2＝－105，所以AD →与BC →
的夹角的余弦值为
－
105
. 12．解：(1)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
设AA 1的长为a ，则B (4,4,0)，N (2,2，a )， BN →
＝(－2，－2，a )，A (4,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4，a 2，AM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，4，a 2，由BN →⊥AM →得BN →·AM →＝
0，即a ＝2 2.
(2)BN →＝(－2，－2,22)，AD 1→
＝(－4,0,22)， cos 〈BN →，AD 1→
〉＝BN →·AD 1→|BN →||AD 1→|＝63，
〈BN →，AD 1→
〉＝arccos 63
.
(3)由AM →＝(－2,4，2)，BN →＝(－2，－2,22)，CD →
＝(0，－4,0)，
λ1(－2,4，2)＋λ2(－2，－2,22)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0)，
得λ1＝λ2＝λ3＝0，则AM →，BN →，CD →
线性无关．。