版高考数学一轮复习质量检测(六)统计、统计案例、概率文【含答案】

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 质量检测（六）统计、统
计案例、概率 文
测试内容：统计、统计案例、概率 (时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A ．抽签法
B ．随机数法
C ．系统抽样法
D ．分层抽样法
解析：由于被抽取的个体的属性具有明显差异，因此宜采用分层抽样法． 答案：D
2．从1,2,3,4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是( ) A.12 B.14 C.512
D.34
解析：从1,2,3,4四个数中，任取两个不同的数构成(x ，y )，所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，其中满足其和大于积的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3个，所以所求概率为36＝1
2
.
答案：A
3．在区间－π6，π
2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( )
A.1
2 B.34 C.38
D.58
解析：因为x ∈－π6，π2，所以x ＋π4∈π12，3π
4，
由sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π
4∈[1，2]，
得
22≤sin x ＋π4≤1，所以x ∈0，π2
，
故要求的概率为π2－0π2－－π6＝3
4.故选B.
答案：B
4．(2015·杭州模拟)现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75
解析：20组数据中有5组数据，表示的是击中次数少于3次，7140,1417,0371,6011,7610，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝3
4
＝0.75，选D.
答案：D
5．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(
)
A ．588
B ．480
C ．450
D ．120
解析：由频率分布直方图可得，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600－(0.005＋0.015)×10×600＝480.
答案：B
6．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲，X 乙，则下列结论正确的是( )
A ．X 甲<X 乙；乙比甲成绩稳定
B ．X 甲>X 乙；甲比乙成绩稳定
C ．X 甲>X 乙；乙比甲成绩稳定
D ．X 甲<X 乙；甲比乙成绩稳定 解析：X 甲＝78＋77＋72＋86＋92
5
＝81
X 乙＝
78＋82＋88＋92＋95
5
＝87
所以X 甲<X 乙，
又s 2甲＝15
(32＋42＋92＋52＋112
)＝50.4.
s 2乙＝1
5
(92＋52＋12＋52＋82
)＝39.2.
s 2甲>s 2
乙.这说明乙比甲成绩稳定．故选A.
答案：A
7．(2014·湖北卷)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )
A ．p 1<p 2<p 3
B ．p 2<p 1<p 3
C ．p 1<p 3<p 2
D ．p 3<p 1<p 2
解析：总的基本事件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，则向上的点数之和不超过5的概率p 1＝1036＝518；向上的点数之和大于5的概率p 2＝1－518＝13
18；向上的点数之和为偶
数与向上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p 3＝1
2.即p 1<p 3<p 2，
选C.
答案：C
8．(2014·陕西卷)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i
＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )
A ．1＋a,4
B ．1＋a,4＋a
C ．1,4
D ．1,4＋a
解析：y ＝
x 1＋a ＋x 2＋a ＋x 3＋a ＋…＋x 10＋a
10
＝10x ＋10a 10＝x ＋a ＝1＋a .
s 2
＝
[x 1＋a －＋a
2
＋[x 2＋a －
＋a 2
＋…＋[x 10＋a －＋a
2
10
＝
x 1－
2
＋x 2－
2
＋…＋x 10－
2
10
＝4.
答案：A
9．(2015·合肥一模)连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )
A.
512 B.712 C.13 D.12
解析：连掷两次骰子得到的点数(m ，n )的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．
∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .
符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴P ＝1536＝512
.
答案：A
10．从1,2,3,4,5,6中任取两个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.
415 B.13 C.14 D.1
6
解析：从1,2,3,4,5,6中任取两个不同的数的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，取出的两个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，共4种，所以取出的两个数之差的绝对值为2的概率是4
15
，选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 11．(2014·新课标全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为__________．
解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所
有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝1
3
.
答案：13
12．某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如下图)．若规定长度在[97,103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是________．
解析：依题意，可估计这批产品的合格率是1－(0.027 5×4＋0.045 0×2)＝0.8＝80%. 答案：80%
13．能源问题已经成为全球关注的焦点．某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：吨)有如下几组样本数据：
根据相关性检验，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年消耗的能源大约为________吨．
解析：由题知，x ＝
3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3.5，故样本数据的中心点为A (4.5,3.5)．设回归方程为y ^＝0.7x ＋a ^，将中心点坐标代入得：3.5＝0.7×4.5＋a ^
，解得a ^＝0.35，故回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，所以当x ＝10时，y ^
＝0.7×10＋0.35＝7.35，即该工厂每年消耗的能源大约为7.35吨．
答案：7.35
14．(2014·重庆卷)某校早上8∶00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
解析：设小张与小王的到校时间分别为7∶00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2
＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝9
32
.
答案：932
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(12分)(2014·广东卷)某车间20名工人年龄数据如下表：
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．
解：(1)由题可知，这20名工人年龄的众数是30，极差是40－19＝21. (2)这20名工人年龄的茎叶图如下：
(3)这20名工人年龄的平均数为x －
＝1
20(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋
40)＝30，
∴这20名工人年龄的方差为s 2
＝120 i ＝120 (x i －x －)2
＝112＋6×22＋7×12＋5×02＋102
20＝
25220
＝12.6.
16．(12分)(2015·唐山三模)某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等．
(1)列出所有可能的选取结果；
(2)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率； (3)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．
解：(1)将2名文科生和4名理科生依次编号为1,2,3,4,5,6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a ，b ，c ，d )，其结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种．
(2)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共6种．
记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A ， 则P (A )＝615＝2
5
.
(3)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B ，则事件B 包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况．其对立事件A －
为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有
一种结果(3,4,5,6)．
∵P (B －)＝115，∴P (B )＝1－P (B －
)＝1－115＝14
15
.
17．(13分)一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是1
6
.
(1)求红色球的个数；
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．
解：(1)设红色球有x 个，依题意得x 24＝1
6
，解得x ＝4，∴红色球有4个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A ，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．
事件A 包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个．
所以P (A )＝512
.
18．(13分)(2014·安徽卷)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：K2＝
n ad－bc2
a ＋
b c＋d a＋
c b＋d
.
解：(1)300×
15 000
＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
K2＝2
75×225×210×90＝
100
21
≈4.762>3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．。