新人教A版必修一函数奇偶性的应用(习题课)课件(27张)

所以有－ －11＜ ＜－ t－21t＜ ＜11， ， t－1＜－2t，
0＜t＜2， 即－12＜t＜12，
t＜13.
解得 0＜t＜13.
故不等式 f(t－1)＋f(2t)＜0 的解集为t|0＜t＜13.
奇偶性与单调性综合问题的两种类型 (1)比较大小 ①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量 转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
2．如果奇函数 f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为 3， 那么 f(x)在区间[－5，－1]上是( ) A．增函数且最小值为 3 B．增函数且最大值为 3 C．减函数且最小值为－3 D．减函数且最大值为－3 解析：选 D.当－5≤x≤－1 时，1≤－x≤5，所以 f(－x)≥3，即 －f(x)≥3.从而 f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单 调性相同，故 f(x)在[－5，－1]上是减函数．
－π，－π2是函数 F(x)的单调递增区间，则一定是 F(x)的单调 递减区间的是( )
A.－π2，0
B.π2，π

C.π，32π
D.32π，2π
解析：选 B.因为 F(－x)＝F(x)，所以 F(x)是偶函数，因而在π2，π 上 F(x)一定单调递减．
2．(2019·襄阳高一检测)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调
(2)函数图象如图所示：
(3)单调递减区间为：[－1，0]，[1，＋∞)，函数 f(x)的值域为 (－∞，1]．
函数的奇偶性与单调性的综合问题
角度一 比较大小问题 设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)
是增函数，则 f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是
() A．y＝x3
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝－2x
解析：选 B.对于函数 y＝|x|＋1， f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)， 所以 y＝|x|＋1 是偶函数，当 x>0 时，y＝x＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数 y＝x3 不是偶函数； y＝－x2＋1 在(0，＋∞)上单调递减；y＝－2x不是偶函数．故选 B.
2．已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且当 x≥0 时，f(x) ＝－x2＋2x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图象； (3)根据图象，写出函数 f(x)的单调递减区间及值域． 解：(1)因为函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数， 所以 f(x)＝f(－x)． 当 x<0 时，－x>0，所以 f(x)＝f(－x)＝－x2－2x. 综上，f(x)＝－－xx22＋－22xx，，xx≥<00. ，
＝x2（（x21x＋21＋1）1）－（x1x（22＋x221＋）1）＝（（x2x－21＋x11））（（1x－22＋x11x）2）. 因为 x2－x1＞0，1－x1x2＞0 且分母 x12＋1＞0，x22＋1＞0， 所以 f(x2)＞f(x1)， 故 f(x)＝x2＋x 1在(－1，1)上为增函数． (2)因为定义在(－1，1)上的奇函数 f(x)是增函数， 由 f(t－1)＋f(2t)＜0， 得 f(t－1)＜－f(2t)＝f(－2t)．
【解析】 因为函数 f(x)为 R 上的偶函数， 所以 f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且 π>3>2， 所以 f(π)>f(3)>f(2)， 故 f(π)>f(－3)>f(－2)．
【答案】 A
角度二 解不等式 已知定义在(－1，1)上的函数 f(x)＝x2＋x 1.
第一章 集合与函数概念
第2课时 函数奇偶性的应用(习题课)
第一章 集合与函数概念
考点
学习目标
利用奇偶性求函 会利用函数的奇偶性求
数的解析式 函数的解析式
能运用函数的单调性和
函数的奇偶性与单 奇偶性解决比较大小、
调性的综合问题 求最值、解不等式等综
合问题
核心素养 数学运算
数学运算， 逻辑推理
利用奇偶性求函数的解析式
答案：<
5．已知 f(x)是奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝x|x－2|，求 x＜0 时，f(x)的表达式． 解：因为 x＜0， 所以－x＞0， 所以 f(－x)＝(－x)|(－x)－2|. 又因为 f(x)为奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x) ＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|. 故当 x＜0 时，f(x)＝x|x＋2|.
4．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且它是减函数，若实 数 a，b 满足 f(a)＋f(b)>0，则 a＋b________0(填“>”“<”或 “＝”)． 解析：由 f(a)＋f(b)>0 得 f(a)>－f(b)， 因为 f(x)为奇函数， 则 f(－x)＝－f(x)． 所以 f(a)>f(－b)，又 f(x)为减函数， 所以 a<－b，即 a＋b<0.
(1)试判断 f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性； (2)解不等式 f(t－1)＋f(2t)＜0.
【解】 (1)因为 f(x)＝x2＋x 1， 所以任取 x∈(－1，1)， 则－x∈(－1，1)， 所以 f(－x)＝x－2＋x1＝－x2＋x 1＝－f(x)． 故 f(x)＝x2＋x 1为奇函数． 任取 x1，x2∈(－1，1)且 x1＜x2， 所以 f(x2)－f(x1)＝x22x＋2 1－x12x＋1 1
x2－2x－1（x＞0）， 故 f(x)＝0（x＝0），
－x2－2x＋1（x＜0）.
1．(变问法)在本例条件下，求 f(－3)的值．
解：因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－3)＝－f(3) ＝－(32－2×3－1)＝－2.
2．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件 不变，求当 x＜0 时，函数 f(x)的解析式． 解：当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数 f(x)是偶函数， 所以 f(x)＝f(－x)， 所以 f(x)＝x2＋2x－1， 即 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x－1.
若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x) ＝x2－2x－1，求函数 f(x)的解析式.
【解】 当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数 f(x)是奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)， 所以 x＜0 时，f(x)＝－x2－2x＋1，
递减，则满足 f(2x－1)>f13的实数 x 的取值范围是(
)
A.13，23
B.13，23
C.12，23
D.12，23
解析：选 A.因为偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且满足 f(2x－1)>f13，所以不等式等价为 f(|2x－1|)>f13，即|2x－1|<13， 所以－13<2x－1<13，计算得出13<x<23，故 x 的取值范围是13，23.
(2)解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x1) ＜f(x2)或 f(x1)＞f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间 上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求 解．
1 ． (2019·泰 安 高 一 检 测 ) 设 F(x) ＝ f(x) ＋ f( － x) ， x∈R ， 若
利用奇偶性求函数解析式的思路 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间 内． (2)利用已知区间的解析式代入． (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
1．设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求 函数 f(x)，g(x)的解析式． 解：因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由 f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以 f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得 f(x)＝x2. (①－②)÷2，得 g(x)＝2x.
3．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(1)＝0，则不等
式f（x）－xf（－x）<0 的解集为(
)
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选 C.因为 f(x)为奇函数，f（x）－xf（－x）<0， 即f（xx） <0， 因为 f(x)在(0，＋∞)上为减函数且 f(1)＝0， 所以当 x>1 时，f(x)<0. 因为奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上 f(x)为减函 数且 f(－1)＝0， 即 x<－1 时，f(x)>0.综上使f（xx）<0 的解集为(－∞，－1)∪(1， ＋∞)．