2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §7 7.3 球课件PPT
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[解] 设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面， 设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝ x，如图所示．
∵AC＝ 3r，PC＝3r， ∴以AB为底面直径的圆锥的容积为 V圆锥＝13πAC2·PC ＝13π( 3r)2·3r＝3πr3，V球＝43πr3.
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球取出后水面下降到EF，水的体积为 V水＝13πEH2·PH ＝13π(PH·tan 30°)2·PH＝19πx3. 而V水＝V圆锥－V球， 即19πx3＝3πr3－43πr3，∴x＝3 15r. 故球取出后水面的高为3 15r.
16π.
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(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得31πr2·h＝43πR3， r＝2R，
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S球＝4πR2＝4πh2，
第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识 7．3 球
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学习目标
核心素养
1.了解球的体积和表面积公
1.通过学习球的体积、表面积公
式．(重点)
式培养直观想象素养.
2.会用球的体积和表面积公式解 2.通过求球的体积和表面积提升
决实际问题. (难点)
数学运算素养.
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自主预习 探新知
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[解] 设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积
为V球＝2×
4 3
π×
5 2
3
＝
125π 3
，此体积即等于它们在容器中排出水的体
积V＝π×52×h，
所以1235π＝π×52×h，所以h＝53(cm)，
即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53 cm.
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与球有关的切、接问题 [探究问题] 1．一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？ 提示：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为21a，它的外 接球的半径为 23a，故所求的比为1∶3 3.
上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为( )
3 17 A. 2
B．2 10
C．13
D．3 10
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C [如图，由已知条件可知，当AB⊥AC时，BC中点D为△ABC外接
【例1】 (1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，
则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
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5 (1)B (2) 2
[(1)
4 3
πR3＝
32 3
π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝
1．球的体积 球的半径为 R，那么它的体积 V 球＝ 43π么它的表面积 S 球＝ 4πR2 .
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思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．
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1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之
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D [设球的半径为R，则球的表面积S表＝4πR2，圆柱的侧面积S 侧＝2πR×2R＝4πR2，所以S表∶S侧＝1∶1.]
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3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的
体积为( )
4π
2
A. 3
B. 3 π
3
π
C. 2 π
D.6
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A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所 以V球＝43π×13＝43π.]
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[解] (1)因为直径为2，所以半径R＝1， 所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积V球＝43πR3＝43π×13＝43π. (2)因为V球＝43πR3＝1308π， 所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.
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球的表面积及体积的应用 【例2】 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在 此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面 相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ [思路探究] 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高 度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．
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2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点
都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？ 提示：设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则
l＝2R， l2＝32＋42＋52，
所以R＝5 2 2，
所以S球＝4πR2＝50π.
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【例3】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面
∴S圆锥侧＝2 S球
4π5hπ2h2＝
5 2 .]
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求球的体积与表面积的方法 1要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求 出半径R，然后代入体积或表面积公式求解. 2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算 球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
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1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为1038π，求它的表面积．
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4．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是225π
cm2，则球心到截面的距离为________ cm.
20 [由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝ 15(cm)，则球心到截面的距离d＝ 252－152＝20(cm)．]
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合作探究 提素养
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球的体积与表面积
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1．画出截面图是解答本题的关键． 2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要 分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行 计算．
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2．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃 小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下 降多少？
比为( )
A．8∶27
B．2∶3
C．4∶9
D．2∶9
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C [43πr3∶43πR3＝8∶27， ∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝4∶9.]
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2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表 面积与圆柱的侧面积之比是( )
A．3∶2 C．1∶2
B．2∶3 D．1∶1
[解] 设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面， 设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝ x，如图所示．
∵AC＝ 3r，PC＝3r， ∴以AB为底面直径的圆锥的容积为 V圆锥＝13πAC2·PC ＝13π( 3r)2·3r＝3πr3，V球＝43πr3.
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球取出后水面下降到EF，水的体积为 V水＝13πEH2·PH ＝13π(PH·tan 30°)2·PH＝19πx3. 而V水＝V圆锥－V球， 即19πx3＝3πr3－43πr3，∴x＝3 15r. 故球取出后水面的高为3 15r.
16π.
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(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得31πr2·h＝43πR3， r＝2R，
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S球＝4πR2＝4πh2，
第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识 7．3 球
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学习目标
核心素养
1.了解球的体积和表面积公
1.通过学习球的体积、表面积公
式．(重点)
式培养直观想象素养.
2.会用球的体积和表面积公式解 2.通过求球的体积和表面积提升
决实际问题. (难点)
数学运算素养.
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[解] 设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积
为V球＝2×
4 3
π×
5 2
3
＝
125π 3
，此体积即等于它们在容器中排出水的体
积V＝π×52×h，
所以1235π＝π×52×h，所以h＝53(cm)，
即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53 cm.
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与球有关的切、接问题 [探究问题] 1．一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？ 提示：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为21a，它的外 接球的半径为 23a，故所求的比为1∶3 3.
上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为( )
3 17 A. 2
B．2 10
C．13
D．3 10
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C [如图，由已知条件可知，当AB⊥AC时，BC中点D为△ABC外接
【例1】 (1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，
则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
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5 (1)B (2) 2
[(1)
4 3
πR3＝
32 3
π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝
1．球的体积 球的半径为 R，那么它的体积 V 球＝ 43π么它的表面积 S 球＝ 4πR2 .
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思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．
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1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之
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D [设球的半径为R，则球的表面积S表＝4πR2，圆柱的侧面积S 侧＝2πR×2R＝4πR2，所以S表∶S侧＝1∶1.]
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3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的
体积为( )
4π
2
A. 3
B. 3 π
3
π
C. 2 π
D.6
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A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所 以V球＝43π×13＝43π.]
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[解] (1)因为直径为2，所以半径R＝1， 所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积V球＝43πR3＝43π×13＝43π. (2)因为V球＝43πR3＝1308π， 所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.
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球的表面积及体积的应用 【例2】 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在 此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面 相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ [思路探究] 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高 度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．
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2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点
都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？ 提示：设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则
l＝2R， l2＝32＋42＋52，
所以R＝5 2 2，
所以S球＝4πR2＝50π.
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【例3】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面
∴S圆锥侧＝2 S球
4π5hπ2h2＝
5 2 .]
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求球的体积与表面积的方法 1要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求 出半径R，然后代入体积或表面积公式求解. 2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算 球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
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1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为1038π，求它的表面积．
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4．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是225π
cm2，则球心到截面的距离为________ cm.
20 [由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝ 15(cm)，则球心到截面的距离d＝ 252－152＝20(cm)．]
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合作探究 提素养
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球的体积与表面积
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1．画出截面图是解答本题的关键． 2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要 分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行 计算．
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2．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃 小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下 降多少？
比为( )
A．8∶27
B．2∶3
C．4∶9
D．2∶9
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C [43πr3∶43πR3＝8∶27， ∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝4∶9.]
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2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表 面积与圆柱的侧面积之比是( )
A．3∶2 C．1∶2
B．2∶3 D．1∶1