人教A版高中数学必修第二册教学课件 第9章 总体离散程度的估计
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝1,2，…，k)，则总体方差为 S2＝ N1i＝k1fi(Yi－ Y )2 ．
3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为 y1，y2，…，yn，样本平均
数为 y ，则称 s2＝1ni＝n1 (yi－－y )2 为样本方差，s＝ s2为样本标准差．
4．标准差的意义 标准差刻画了数据的离__散__程__度__或波__动__幅__度__，标准差越__大__，数据的 离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越__小__．
(2)同一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图会相同 吗？
提示：对于同一组数据，不同的组距决定不同的组数，得到的频 率分布直方图也会不同．
知识点一 方差和标准差 1．一组数据的方差和标准差
数据 x1，x2，…，xn 为____1n_i＝n_1__xi_－_－_x__2 ．
的方差为1ni＝n 1
4－4 8
2＝74<2．故选 A．
3．抽样统计甲、乙两位运动员的 5 次训练成绩，结果如下：
运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为2_．
解析：－x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90， －x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
其平均数－x 乙＝195＝35．
方差 s2乙＝115×1－352×9＋0－352×6＝265．
因为－x 甲>－x 乙，s2甲<s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．
谢谢观看 THANK YOU!
[微训练]
在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20
－
x甲
2
乙 30
－
x乙
3
其中－x 甲＝－x 乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3
B．2
C．2.6
D．2.5
C 解析：由题意可知两个班的数学成绩平均数为－x ＝－x 甲＝－x
乙，则两个班数学成绩的方差为
提示：s21＜s2．
【例 1】某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为 50， 其平均年龄为 38 岁，方差是 2；高级职称的教师中，3 人 58 岁，5 人 40 岁，2 人 38 岁．求该校中、高级职称教师年龄的平均数和方差．
解
：
由
已
知
条
件
可
知
高
级
职
称
教
师
的
平
均
年
龄
为
－
x
高
＝
3×58＋3＋5×54＋0＋2 2×38＝45(岁)，方差
D．2
B 解析：∵样本容量 n＝5，
∴－x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2， ∴s＝ 2．
2．已知某 7 个数的平均数为 4，方差为 2．现加入一个新数据 4，
此时这 8 个数的平均数为－x ，方差为 s2，则( )
查高一年级甲班 10 名学生和乙班 15 名学生，甲班这 10 名学生成绩
的平均数为 90，方差为 3，乙班这 15 名学生成绩的平均数为 85，方
差为 5，请判断甲班和乙班这 25 名学生成绩的平均数是否为
90＋85 2
＝87.5，方差是否为3＋2 5＝4．如果不是，应怎样计算？
提示：不是．设这 25 名学生成绩的平均数为－x ，方差为 s2．∵
全部队员的体重的方差 s2＝15[200＋(60－68)2]＋45[300＋(70－68)2]＝ 296．
数据的数字特征的综合应用
【例 2】甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，每次中靶环数 情况如图所示：
(1)请填写下表(写出计算过程)： 平均数 方差 命中 9 环及 9 环以上的次数
甲 乙
s2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2．
分层随机抽样的方差
根据方差及分层随机抽样的方差计算方法，探究下面问题．
探究 1：某校为调查高一年级某次考试的数学成绩情况，随机调
50＋10
50＋10
甲、乙两支田径队体检结果：甲队体重的平均数为 60 kg，方差 为 200，乙队体重的平均数为 70 kg，方差为 300．已知甲、乙两队的 队员人数之比为 1∶4，那么甲、乙两队全部队员体重的平均数和方 差分别是多少？
解：由题意可知－x 甲＝60，甲队队员在所有队员中所占比例为1＋1 4 ＝15，－x 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占比例为1＋4 4＝45，则甲、 乙两队全部队员的平均体重－x ＝15×60＋45×70＝6t;2
B．－x ＝4，s2>2
C．－x >4，s2<2
D．－x >4，s2>2
A 解析：∵这 7 个数的平均数为 4，
∴这 7 个数的和为 4×7＝28．
∵加入一个新数据 4，∴－x ＝288＋4＝4．
∵这 7 个数的方差为 2，且加入一个新数据 4，
∴这
8
个数的方差
s2＝7×2＋
s2＝202＋030[2＋(－x 甲－－x )2]＋203＋030[3＋(－x 乙－－x )2]＝202＋030×2
＋203＋030×3＝2.6．
02
任务驱动式课堂
任务一 任务二 任务三
方差与标准差的计算
1．已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A．1
B． 2
C． 3
解：①∵平均数相同，s2甲＜s2乙，∴甲成绩比乙稳定． ②∵平均数相同，甲命中 9 环及 9 环以上的次数比乙少， ∴乙成绩比甲更好． ③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后 就没有比甲少的情况发生，所以乙更有潜力．
某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随
机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，－b )，(a， b)，(－a ，b)，(－a ，－b )，(a，b)，(a，b)，(a，－b )，(－a ，b)，(－a ，－b )， (a，－b )，(a，b)，(a，－b )，(－a ，b)，(a，b)．其中 a，－a 分别表示甲 组研发成功和失败；b，－b 分别表示乙组研发成功和失败．若某组成
(xi－－x )2＝1ni＝n1x2i－－x 2，标准差
2．总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1，
Y2，…，YN，总体平均数为
Y
，则称
S
2
＝
1 Ni
N
＝1
(
Y
i－
Y
)2
为总体方差，S
＝ S2为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的 N 个变量值中，不同的值 共有 k(k≤N)个，不妨记为 Y1，Y2，…，Yk，其中 Yi 出现的频数为 fi(i
s
2
高
＝
1 3＋5＋2
×[3×(58
－
45)2
＋
5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
该校中、高级职称教师的平均年龄、为
－x ＝505＋010×38＋501＋010×45≈39.2(岁)．
该校中、高级职称教师的年龄的方差、是
s2＝ 50 [2＋(38－39.2)2]＋ 10 [73＋(45－39.2)2]＝20.64．
填表如下：
平均数 方差 命中 9 环及 9 环以上的次数
甲 7 1.2
1
乙 7 5.4
3
(2)从下列三个不同的角度对这次射击结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)； ②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看(分析谁的成 绩更好)； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
高一年级甲班 10 名学生成绩的平均数为 90，方差为 3，乙班 15 名学 生成绩的平均数为 85，方差为 5，
∴－x ＝90×1100＋＋8155×15＝87，
10×[3＋90－872]＋15×[5＋85－872]
s2＝
＝10.2．
10＋15
探究 2：如果数据 x1，x2，…，xn 的平均数是－x ，方差为 s2，数 据 x1，x2，…，xn，－x 的方差为 s21，那么 s2 与 s21的大小关系如何？
s
2
甲
＝
1 10
×[(5
－
7)2
＋
(6
－
7)2×2
＋
(7
－
7)2×4
＋
(8
－
7)2×2
＋
(9
－
7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－
7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋
1＋0＋2＋8＋9)＝5.4．
解：由题图知，甲射击 10 次中靶环数分别为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7． 将它们由小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9． 乙射击 10 次中靶环数分别为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10． 将它们由小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10．
－x 甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)， －x 乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，
[微训练] 已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_0_.1__．
解析：易求－x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，
∴方差 s2＝15[(－0.4)2＋(－0.3)2＋02＋0.32＋0.42]＝0.1．
知识点二 分层随机抽样的方差
设样本容量为 n，平均数为－x ，其中两层的个体数量分别为 n1， n2，两层的平均数分别为－x 1，－x 2，方差分别为 s21，s22，则这个样本 的方差为 s2＝nn1[s21＋(－x 1－－x )2]＋nn2[s22＋(－x 2－－x )2]．
功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分．试计算甲、乙两 组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．
解：甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,1，
其平均数－x 甲＝1105＝23．
方差 s2甲＝115×1－232×10＋0－232×5＝92． 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，
第九章 统计
9.2 用样本估计总体 9.2.4 总体离散程度的估计
学习任务目标 1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极 差)．(数据分析) 2．理解离散程度参数的统计含义．(数学抽象)
01
自主化知识预习
知识衔接 自主学习
(1)用图、表整理数据有哪些好处？ 提示：用表格整理数据是通过改变数据的组织方式，为数据的解 释提供新方式．用图表示数据不仅有利于从数据中提取信息，还可以 利用图形直观地传递信息．
3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为 y1，y2，…，yn，样本平均
数为 y ，则称 s2＝1ni＝n1 (yi－－y )2 为样本方差，s＝ s2为样本标准差．
4．标准差的意义 标准差刻画了数据的离__散__程__度__或波__动__幅__度__，标准差越__大__，数据的 离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越__小__．
(2)同一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图会相同 吗？
提示：对于同一组数据，不同的组距决定不同的组数，得到的频 率分布直方图也会不同．
知识点一 方差和标准差 1．一组数据的方差和标准差
数据 x1，x2，…，xn 为____1n_i＝n_1__xi_－_－_x__2 ．
的方差为1ni＝n 1
4－4 8
2＝74<2．故选 A．
3．抽样统计甲、乙两位运动员的 5 次训练成绩，结果如下：
运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为2_．
解析：－x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90， －x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
其平均数－x 乙＝195＝35．
方差 s2乙＝115×1－352×9＋0－352×6＝265．
因为－x 甲>－x 乙，s2甲<s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．
谢谢观看 THANK YOU!
[微训练]
在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20
－
x甲
2
乙 30
－
x乙
3
其中－x 甲＝－x 乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3
B．2
C．2.6
D．2.5
C 解析：由题意可知两个班的数学成绩平均数为－x ＝－x 甲＝－x
乙，则两个班数学成绩的方差为
提示：s21＜s2．
【例 1】某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为 50， 其平均年龄为 38 岁，方差是 2；高级职称的教师中，3 人 58 岁，5 人 40 岁，2 人 38 岁．求该校中、高级职称教师年龄的平均数和方差．
解
：
由
已
知
条
件
可
知
高
级
职
称
教
师
的
平
均
年
龄
为
－
x
高
＝
3×58＋3＋5×54＋0＋2 2×38＝45(岁)，方差
D．2
B 解析：∵样本容量 n＝5，
∴－x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2， ∴s＝ 2．
2．已知某 7 个数的平均数为 4，方差为 2．现加入一个新数据 4，
此时这 8 个数的平均数为－x ，方差为 s2，则( )
查高一年级甲班 10 名学生和乙班 15 名学生，甲班这 10 名学生成绩
的平均数为 90，方差为 3，乙班这 15 名学生成绩的平均数为 85，方
差为 5，请判断甲班和乙班这 25 名学生成绩的平均数是否为
90＋85 2
＝87.5，方差是否为3＋2 5＝4．如果不是，应怎样计算？
提示：不是．设这 25 名学生成绩的平均数为－x ，方差为 s2．∵
全部队员的体重的方差 s2＝15[200＋(60－68)2]＋45[300＋(70－68)2]＝ 296．
数据的数字特征的综合应用
【例 2】甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，每次中靶环数 情况如图所示：
(1)请填写下表(写出计算过程)： 平均数 方差 命中 9 环及 9 环以上的次数
甲 乙
s2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2．
分层随机抽样的方差
根据方差及分层随机抽样的方差计算方法，探究下面问题．
探究 1：某校为调查高一年级某次考试的数学成绩情况，随机调
50＋10
50＋10
甲、乙两支田径队体检结果：甲队体重的平均数为 60 kg，方差 为 200，乙队体重的平均数为 70 kg，方差为 300．已知甲、乙两队的 队员人数之比为 1∶4，那么甲、乙两队全部队员体重的平均数和方 差分别是多少？
解：由题意可知－x 甲＝60，甲队队员在所有队员中所占比例为1＋1 4 ＝15，－x 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占比例为1＋4 4＝45，则甲、 乙两队全部队员的平均体重－x ＝15×60＋45×70＝6t;2
B．－x ＝4，s2>2
C．－x >4，s2<2
D．－x >4，s2>2
A 解析：∵这 7 个数的平均数为 4，
∴这 7 个数的和为 4×7＝28．
∵加入一个新数据 4，∴－x ＝288＋4＝4．
∵这 7 个数的方差为 2，且加入一个新数据 4，
∴这
8
个数的方差
s2＝7×2＋
s2＝202＋030[2＋(－x 甲－－x )2]＋203＋030[3＋(－x 乙－－x )2]＝202＋030×2
＋203＋030×3＝2.6．
02
任务驱动式课堂
任务一 任务二 任务三
方差与标准差的计算
1．已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A．1
B． 2
C． 3
解：①∵平均数相同，s2甲＜s2乙，∴甲成绩比乙稳定． ②∵平均数相同，甲命中 9 环及 9 环以上的次数比乙少， ∴乙成绩比甲更好． ③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后 就没有比甲少的情况发生，所以乙更有潜力．
某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随
机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，－b )，(a， b)，(－a ，b)，(－a ，－b )，(a，b)，(a，b)，(a，－b )，(－a ，b)，(－a ，－b )， (a，－b )，(a，b)，(a，－b )，(－a ，b)，(a，b)．其中 a，－a 分别表示甲 组研发成功和失败；b，－b 分别表示乙组研发成功和失败．若某组成
(xi－－x )2＝1ni＝n1x2i－－x 2，标准差
2．总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1，
Y2，…，YN，总体平均数为
Y
，则称
S
2
＝
1 Ni
N
＝1
(
Y
i－
Y
)2
为总体方差，S
＝ S2为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的 N 个变量值中，不同的值 共有 k(k≤N)个，不妨记为 Y1，Y2，…，Yk，其中 Yi 出现的频数为 fi(i
s
2
高
＝
1 3＋5＋2
×[3×(58
－
45)2
＋
5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
该校中、高级职称教师的平均年龄、为
－x ＝505＋010×38＋501＋010×45≈39.2(岁)．
该校中、高级职称教师的年龄的方差、是
s2＝ 50 [2＋(38－39.2)2]＋ 10 [73＋(45－39.2)2]＝20.64．
填表如下：
平均数 方差 命中 9 环及 9 环以上的次数
甲 7 1.2
1
乙 7 5.4
3
(2)从下列三个不同的角度对这次射击结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)； ②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看(分析谁的成 绩更好)； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
高一年级甲班 10 名学生成绩的平均数为 90，方差为 3，乙班 15 名学 生成绩的平均数为 85，方差为 5，
∴－x ＝90×1100＋＋8155×15＝87，
10×[3＋90－872]＋15×[5＋85－872]
s2＝
＝10.2．
10＋15
探究 2：如果数据 x1，x2，…，xn 的平均数是－x ，方差为 s2，数 据 x1，x2，…，xn，－x 的方差为 s21，那么 s2 与 s21的大小关系如何？
s
2
甲
＝
1 10
×[(5
－
7)2
＋
(6
－
7)2×2
＋
(7
－
7)2×4
＋
(8
－
7)2×2
＋
(9
－
7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－
7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋
1＋0＋2＋8＋9)＝5.4．
解：由题图知，甲射击 10 次中靶环数分别为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7． 将它们由小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9． 乙射击 10 次中靶环数分别为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10． 将它们由小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10．
－x 甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)， －x 乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，
[微训练] 已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_0_.1__．
解析：易求－x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，
∴方差 s2＝15[(－0.4)2＋(－0.3)2＋02＋0.32＋0.42]＝0.1．
知识点二 分层随机抽样的方差
设样本容量为 n，平均数为－x ，其中两层的个体数量分别为 n1， n2，两层的平均数分别为－x 1，－x 2，方差分别为 s21，s22，则这个样本 的方差为 s2＝nn1[s21＋(－x 1－－x )2]＋nn2[s22＋(－x 2－－x )2]．
功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分．试计算甲、乙两 组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．
解：甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,1，
其平均数－x 甲＝1105＝23．
方差 s2甲＝115×1－232×10＋0－232×5＝92． 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，
第九章 统计
9.2 用样本估计总体 9.2.4 总体离散程度的估计
学习任务目标 1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极 差)．(数据分析) 2．理解离散程度参数的统计含义．(数学抽象)
01
自主化知识预习
知识衔接 自主学习
(1)用图、表整理数据有哪些好处？ 提示：用表格整理数据是通过改变数据的组织方式，为数据的解 释提供新方式．用图表示数据不仅有利于从数据中提取信息，还可以 利用图形直观地传递信息．