2021年辽宁省辽阳市第一中学高三数学理期末试卷含解析

2021年辽宁省辽阳市第一中学高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，若任意的
x,y∈R，不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立，则当x>3时，x2+y2的取值范围是（）
A．(3,7) B. (9,25) C.
(9,49) D. (13,49)
参考答案：
D
考点：函数的奇偶性和圆的基本性质.
【易错点睛】本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化成为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合”及“转化”的思想在解题中的应用.本题对于思想方法的考查比较着重，知识点也是代数与几何的结合，本题属于中档题.
2. 已知等比数列的首项公比，则( )
A.50
B.35
C.55
D.46
参考答案：
C
略
3. 下面哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适()
A．三角形 B．平行四边形
C．梯形 D．矩形
参考答案：
B
4. 函数f(x)＝x与函数g(x)＝在区间(－∞，0)上的单调性为( )
A．都是增函数B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
参考答案：
D 略
5. 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是
A. B． C．
D．
参考答案：
D
略
6. 已知在上是单调增函数，则的最大值是（）
A.0
B.1
C.2
D.3参考答案：
D
略
7. 若0＜a＜b＜1，c＞1，则（）
A．a c＞b c B．ab c＞ba c C．log a b＜log b a D．log a c＜log b c
参考答案：
B
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．
【解答】解：∵0＜a＜b＜1，c＞1，
∴a c＜b c，ab c＞ba c，
∴log a b＞log b a，log a c＞log b c，
故选：B
8. 已知函数f(x)的导函数的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )
参考答案：
A
9.
已知椭圆的离心率大于，是椭圆的两个焦点，若是正三角形，则点
A ．在椭圆外
B ．在椭圆内
C ．在椭圆上
D ．不能确定 参考答案：
答案：A
解析：
，所以
，故P 在椭圆外，故选A 。

10. 已知定义在R 上的函数
满足：函数的图像关于直线
对称，且当
时，
.若
，则
a,b,c 的大小关系是（ ）
A .a >b >c B. b >a >c C. c >a >b D.a >c >b
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知复数z=
，其中i 为虚数单位，则复数z
的模是
．
参考答案：
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．
【解答】解：∵z==，
∴．
故答案为：
．
12. 当满足不等式组时，目标函数的最大值是
参考答案：
答案：5
13. 已知函数（为常数）. 若在区间上是增函数，则的取值范围
是 . 参考答案：
14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．
参考答案：
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．
【分析】由于圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2=1，由题意可知，只需（x ﹣4）2+y 2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．
【解答】解：∵圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，整理得：（x ﹣4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，
∴只需圆C′：（x ﹣4）2+y 2=4与直线y=kx ﹣2有公共点即可． 设圆心C （4，0）到直线y=kx ﹣2的距离为d ，
则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，
∴0≤k≤．
∴k的最大值是．
故答案为：．
15. 已知数列{a n}的前n项和为S n，=1，=3，且，若
对任意都成立，则实数的最小值为______．
参考答案：
【分析】
先根据和项与通项关系得，再利用叠加法得，利用分组求和法得，【详解】数列的前项和为，=1，=3，且，所以：，故：，
因为，所以
所以：，，
则：，故：，
所以：=，
所以：，
因为对任意都成立，
所以
设则当时，当时，
因此
即
故的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查和项与通项关系、累加法求通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.
16. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且
，,则 ________．
参考答案：
3
由题意得分别为中点,所以
点睛：(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求
，双曲线的定义中要求|,抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.
17. 大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑。

如图所示，已知，垂直放置的标杆的高度米，大雁塔高度米.某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与的关系.该小组测得的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离，使与的差较大时，可以提高测量精确度，求最大时，标杆到大雁塔的距离
为米.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知圆和直线．
(1)求证：对总有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？
参考答案：
1）圆心C(0,1)，半径则圆心到直线l的距离
（或此直线恒过一个定点，且这个定点在圆内。

）
2)
19. 已知函数，
（1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；
（2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关.试求的取值范围．
参考答案：解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数
解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即关于的方程有相异的且均大于1的两根，………………………………2分
所以，…………………………………………………………4分
解得，故实数的取值范围为区间.……………………6分
(2)
①当时，
a)时，，，所以，
b)时，，所以 (8)
分
ⅰ当即时，对，，所以在上递增，
所以，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合……10分
ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以
，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求．………12分
②当时，
a) 时，，，所以
b) 时，，，
所以，在上递减，
所以，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合……14分综上所述，实数a的取值范围是．………………………………………………16分
略
20. (本小题满分14分) 已知A(-2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为2．
(I)求椭圆C的方程及离心率；
(II)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
参考答案：
（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知
解得，． (3)
故椭圆的方程为，离心率为．……5（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可设直线的方
21. 已知点点依次满足,.
（1）求点的轨迹；
（2）过点作直线与以为焦点的椭圆交于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程．
参考答案：
解：（1）设，，则，，
由，得即
代入得
故点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.
（2）根据题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为①
由题意设椭圆方程为②
由直线与圆相切得，解得
将①代入②得，
设点的坐标为，点的坐标为，
由根与系数的关系得又线段的中点到轴的距离为，所以即解得
则椭圆方程为
略
22. 将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，
cosθ=
【解答】解：当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；
当t≠0时，sinθ=，cosθ=
所以．。