2021届北京市海淀区育英中学高三下学期3月考数学试题

北京市海淀区育英中学2021届高三下学期3月考数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 已知集合{}0M x x a =-=，{}
10N x ax =-=，若M N N =，则实数a 的值是
（ ） A. 1
B. -1
C. 1或-1
D. 0或1或-1
2. 设a ，b 为实数，若复数12i
1i i
a b +=++，则（ ） A. 12a =
，32
b = B. 32a =
，1
2
b = C. 3a =，1b =
D. 1a =，3b =
3. 已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. 2
2
x y >
B.
11
x y
>
C. 1133x
y
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. 332x y -+>
4. 直线l ：1y kx =+与圆O ：2
2
1x y +=相交于A ，B 两点，则“1k =”是“AB =的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱长构成的集合为（ ）
A. {}
B. {}
C. {}
2,4,
D. {
6. 已知数列1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则21
2
a a
b -的值是（ ）
A. 12-
B.
12
C.
12或12- D. 14
7.
已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6
x π
=-，()()120f x f x +=，且
函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，则12x x +的最小值为（ ） A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
43
π 8. 已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ） A. ()2,4-
B. ()6,2-
C. ()2,6-
D. ()4,6-
9. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处水平面所成的角为（ ）
A. 20︒
B. 40︒
C. 50︒
D. 90︒
10. 若函数()f x 图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则点对(),A B 称为函数()f x 的“友好点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“友好点对”.若函数
2221,0
(),0
x ex m x x e x f x x ⎧++-≤⎪
=⎨+>⎪⎩
（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）恰好有两个“友好
点对”，则实数m 的取值范围为（ ）
A. ()2
1m e ≤- B. ()2
1m e >- C. ()21m e <-
D. ()2
1m e ≥-
二、填空：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 12
x ⎛- ⎝
的展开式中常数项为___________. 12. 在ABC △中，5a =，7c =，1
cos 5
C =，则b =__________；ABC △的面积为__________.
13. 过抛物线C ：2
4y x =的焦点F ，的直线交C 于点M （M 在x 轴的上方），
l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为___________.
14. 双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为()
1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为
双曲线左支上的动点，且1APF △周长的最小值为8，则双曲线的离心率为__________. 15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面
11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为___________.
三、解答题：（本大题共6小题，共85分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，
E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.
（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值.
17. 已知函数2()sin 22cos (0)66f x a x x a ⎛⎫⎛⎫=-
-+> ⎪ ⎝
⎭
π⎝π⎪⎭，且满足__________. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围. 从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③
()f x 的图象过点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优” .能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
19. 已知()()e sin x
f x x ax a =++∈R .
（Ⅰ）当2a =-时，求证：()f x 在(),0-∞上单调递减； （Ⅱ）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若()f x 有最小值，请直接给出实数a 的取值范围.
20. 已知椭圆C ：
22
214x y b
+=的左顶点A 与上顶点B . （Ⅰ）求椭圆C 的方程和焦点的坐标；
（Ⅱ）若点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线分别与线段AP ，x 轴，y 轴交于不同的三点M ，H ，Q .
（i ）求证：点M ，Q 关于点H 对称；
（ii ）若APQ △为直角三角形，求点P 的横坐标.
21. 首项为0的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1n n a a n +-=；②1
2
n n a -≤
. （Ⅰ）请直接写出4a 的所有可能值；
（Ⅱ）记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n ∈N 成立，求{}n b 的通项公式； （Ⅲ）对于给定的正整数k ，求12k a a a ++⋅⋅⋅+的最大值.
——★ 参*考*答*案 ★——
一、选择题： 1-5：DBDAC 6-10：BCCBC
二、填空题：
11. -220 12. 6
，
13.
14.
15. 三、解答题：
16.（1）证明：连结1B C ，ME .
因为M 、E 分别为1BB ，BC 的中点，所以1//ME B C ，且11
2
ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以11
2
ND A D =
. 由题设知11//A B DC ，可得11//B C A D ，故//ME ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，//MN ED . 又MN ⊄平面1EDC ，所以//MN 平面1C DE . （2）解：由已知可得DE DA ⊥.
以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则()2,0,0A ，()12,0,4A
，()
2M ，()1
,0,2N ，()10,0,4A A =-，
()
1A M =-，()11,0,2A N =--，()11,0,2A N =--. 设(),,m x y z =为平面1A MA 的法向量，则1100m A M m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
所以20
40x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩
，可取(
)
3,1,0m =
.
设(),,n p q r =为平面1A MN 的法向量，则100n MN n A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.
所以0
20
p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩.可取()2,0,1n =-.
于是23cos ,52m n m n m n
⋅=
=
=⨯，
所以二面角1A MA N --.
17. 解：（Ⅰ）因为()sin 2cos2166f x a x x ππ⎛
⎫⎛⎫=-
-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
sin 2cos 2163a x x ππ⎛⎫⎛
⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin 2cos 21662a x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
(1)sin 216a x π⎛
⎫=+-- ⎪⎝
⎭.
所以函数()f x 的最小正周期T =π，
因为0a >，所以函数()f x 的最大值和最小值分别为a ，2a --. 若选①，则1a =，函数()2sin 216f x x π⎛
⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
； 若选②，则-3为函数()f x 的最小值，从而1a =，函数()2sin 216f x x π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
； 选③，(1)sin 21166a ππ⎛⎫
+⨯
--= ⎪⎝
⎭，从而1a =. 函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-
- ⎪⎝
⎭
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()f x 的最大值为1；
因为关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解， 当[]0,x m ∈时，2,2666x m πππ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦
.
所以
592262m πππ≤-<，解得4733
m ππ
≤<
. 所以，实数m 的取值范围是47,33ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭. 18.（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，
参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共2
4C 6=种，
所以24210
43C 22()109C
152
P S ⨯=
==⨯. （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.
0246210C C 1(0)C 3P X ⋅===，11
46
2
10C C 8(1)C 15P X ⋅===， 2046
2
10C C 2(2)C 15
P X ⋅===. X 的分布列为：
()012315155
E X =⨯+⨯+⨯=.
（Ⅲ）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：
223333C 0.10.9C 0.10.028⋅⋅+⋅=.
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化. 答案示例2：无法确定.理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：
2233330.10.90.10.028C C ⋅⋅+⋅=.
虽然概率非常小，但是也可能发生，
所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
19. （Ⅰ）解：'()cos x
f x e x a =++，
对于2a =-，
当0x <时，1x e <，cos 1x ≤，
所以'()cos 20x f x e x =+-<.
所以()f x 在(),0-∞上单调递减.
（Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于a ∈R ，命题成立，
当0x >时，设()cos x g x e x a =++，
则'()sin x g x e x =-.
因为1x e >，sin 1x ≤，
所以'()sin 110x g x e x =->-=，()g x 在()0,+∞上单调递增. 又()02g a =+，
所以()2g x a >+.
所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2f x a >+.
①当2a ≥-时，'()0f x >，
所以()f x 在()0,+∞上单调递增.
因为()01f =，
所以()1f x >恒成立.
②当2a <-时，()'020f a =+<，
因为'()f x 在[)0,+∞上单调递增，
又当()ln 2x a =-时，2cos '2co 0)s (f x x x a a =-+++=+>，
所以存在()00,x ∈+∞，对于()00,x x ∈，'()0f x <恒成立.
所以()f x 在()00,x 上单调递减，
所以当()00,x x ∈时，()()01f x f <=，不合题意.
综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立.
（Ⅲ）解：0a <.
20. 解：
=
所以b = 椭圆方程为22
142
x y +=，
焦点坐标分别为()1F
，)
2
F . （Ⅱ）（i ）方法1：
设()00,P x y ，则2200142x y +=， 依题意02x ≠±，00y ≠，()2,0A -， 所以002,2
2x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线PA 的斜率002Ap y k x =
+， 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=-，
所以直线MQ 的斜率00
2MQ x k y +=-， 所以直线MQ 的方程为00002222y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
， 令0x =，得到()()0000
2222Q x x y y y +-=
+， 因为2200142x y +=， 所以02Q y y =-，所以00,2y Q ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
所以H 是M ，Q 的中点，所以点M ，Q 关于点H 对称.
方法2：
设()00,P x y ，直线AP 的方程为()2y k x =+， 联立方程22
142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
， 消元得()
2222128840k x k x k +++-=，
所以160∆=>， 所以2
02
8(2)12k x k -+-=+， 所以202
4212k x k -+=+， 所以2
2412M k x k -=+，2224221212M k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭
， 所以22242,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
， 因为AP MQ ⊥，所以1MQ K k
=-， 所以直线MQ 的方程为2222141212k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭
， 令0x =，得到2222
2142121212Q k k k y k k k k -=-⋅=+++， 所以220,12k Q k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭
. 所以H 是M ，Q 的中点，所以点M ，Q 关于点H 对称.
方法3：
设()00,P x y ，直线AP 的方程为2x ty =-，
联立方程22
1422x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
， 消元得，()
22240t y ty +-=， 因为02402t y t +=
+，所以0242
t y t =+， 所以222422M M t y x t t -==++， 所以2242,22t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
， 因为AP MQ ⊥，所以1MQ K k =-
. 所以直线MQ 的方程为222422t y t x t t -⎛⎫-=-- ⎪++⎝
⎭， 令0x =，得到222Q t y t -=+，所以220,2t Q t -⎛⎫ ⎪+⎝⎭
， 所以H 是M ，Q 的中点，所以点M ，Q 关于点H 对称.
（ii ）方法1：
因为APQ △为直角三角形，且PQ AQ =，所以APQ △为等腰直角三角形，
所以AP AQ ，
因为()00,P x y ，00,2y Q ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，
= 化简，得到200316120x x +-=，解得023
x =，06x =-（舍）， 即点P 的横坐标为
23
. 方法2： 因为APQ △为直角三角形，且PQ AQ =，所以90AQP ∠=︒，
所以0AQ PQ ⋅=，因为()00,P x y ，00,2y Q ⎛⎫-
⎪⎝⎭，，
所以02,2y AQ ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，003,2y PQ x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以00032,,022y y x ⎛
⎫⎛⎫-⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即2003204
y x -+=， 因为2200142
x y +=， 化简，得到200316120x x +-=，解得023
x =，06x =-（舍） 即点P 的横坐标为
23
. 方法3： 因为APQ △为直角三角形，且PQ AQ =，所以90AQP ∠=︒， 所以2AP MQ =，
因为()00,P x y ，00,2y Q ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，002,2
2x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭，
=， 化简得到200830x y -=，
因为2200142
x y +=， 化简，得到200316120x x +-=，解得023
x =，06x =-（舍） 即点P 的横坐标为
23
. 方法4： 因为APQ △为直角三角形，所以90AQP ∠=︒，
所以点A ，P ，Q 都在以AP 为直径的圆上，
因为()00,P x y ，00,2y Q ⎛⎫-
⎪⎝⎭，()2,0A -，
所以有22200222x y x y -+⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2003204
y x -+=， 所以2200142x y +=， 化简，得到200316120x x +-=，解得023
x =，06x =-（舍） 即点P 的横坐标为23
. 21. 解：（Ⅰ）4a 的值可以取-2，0，-6.
（Ⅱ）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意*n N ∈成立，所以{}n b 为单调递增数列， 即数列{}n a 的偶数项2a ，4a ，6a ，…，2n a …是单调递增数列， 根据条件21a =-，40a =，
所以当20n a ≥对2n ≥成立，
下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数”， 假设数列{}n a 中存在i a ，1i a +同时为非负数，
因为1i i a a i +-=，
若1i i a a i +-=，则有1(1)12
i i i a a i i ++-=+≥>
，与条件矛盾. 若1i i a a i +-=-，则有112i i i a a i i +-=+≥>，与条件矛盾. 所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数， 此时20n a ≥对2n ≥成立，
所以当2n ≥时，210n a -≤，210n a +≤，即212n n a a -<，212n n a a +<， 所以22121n n a a n --=-，2122(22)n n a a n ---=--， 所以()()22121221n n n n a a a a ----+-=，
即2221n n a a --=，其中2n ≥，
即11n n b b --=，其中2n ≥，又121b a ==-，240b a ==， 所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列，
所以()112n b n n =-+-=-.
（Ⅲ）记1231k k k S a a a a a -=+++++，
由（Ⅱ）的证明知，n a ，1n a +不能都为非负数， 当0n a ≥，则10n a +<， 根据1n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=-≤-≤-， 当10n a +≥，则0n a <， 根据1n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=-≤-≤， 所以，总有10n n a a ++≤成立.
当n 为奇数时，1n n a a n +-=，故1n a -，n a 的奇偶性不同，则11n n a a ++≤-， 当n 为偶数时，10n n a a ++≤，
当k 为奇数时，()()12310k k k S a a a a a -=+++
++≤， 考虑数列：0，-1，1，-2，2，…，12k --，12
k -… 可以验证，所给的数列满足条件，且0k S =，所以k S 的最大值为0，
当k 为偶数时，()()1212
k k k k S a a a a -=++
++≤-， 考虑数列：0，-1，1，-2，2，…，22k --，22
k -，2k -… 可以验证，所给的数列满足条件，且2
k k S =-， 所以k S 的最大值为2k -.。