第十章-极坐标和参数方程市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件

解 如图10 -12所示,设M , 是直线上任意一点.连接OM ,
则OM =, AOM .又因为
OAM ,所以有cos a ,
2
即
a cos
• M ,
O
•
A a, 0
x
这就是所求直线的极坐标方程.
图10-12 例8图形
第23页
例9 设有一圆经过极点O,圆心C在极轴上,半径为a,求它 的极坐标方程.
第11页
例2 设点M的直角坐标为1,-1,求它的极坐标.
解 由公式10-2可得 :
12 12 2, tan 1 1.
1
因为点M 1, 1在第IV象限,所以 7 ,于是可得点M的
4
极坐标为
2,
7 4
.
第12页
二、曲线极坐标方程
1.曲线极坐标方程概念
在平面上的一条曲线, 在
直角坐标系中可以用含有 x 和 y 的方程来表示.同样,在极坐
x O
M0 0,0
图10-14 等速螺线极坐标系
第25页
极角为: t
由于 t
所以
0
令a ,得 :
0 a a, 0为常数,且a 0.
这就是等速螺线的极坐标方程.
如果0 0,即动点M由极点O开始运动,那么 a.这时,极 径与极角成正比.
下面我们来作等速螺线 a a 0的图像.
x
5 cos
3
5 2
,
y
5
sin
3Leabharlann 53 2.
第10页
于是得点M的直角坐标为
5 2
,
5
3 2
.我们也可以把点M的
直角坐标化为极坐标,由公式10 1变化可得 :
2 x2 y2
tan y x 0
x
10 2
为了使点M 极点除外的极坐标惟一确定,一般可取 0,
0 2 .在由tan的值确定时,应该根据点M 所在的象限决 定恰当的.
3,
7 4
,
3,
3 4
,
3, 11 4
,
.一般说来,点
M
的极坐标可以写为 3,-
4
2k
或
3,
4
2k
1
,
其中k Z ,这种点与坐标之间的非一
一对应关系是极坐标不同于直角坐标的地方.
第8页
由于-, 可用 , 来表示.因此,可将 0的情形转
化为 0的情形来处理.除非必要,一般不取负值.
3 2
4
3
5
6
2
3
4
6
2a
x
O
图10-11 心形线
第22页
3.极坐标方程建立 我们知道曲线可以看成是适合某种条
件的点的轨迹.如果在极坐标系内用流动坐标 , , 将满足的条
件表示成一个关系式 f ,则这个关系式就是曲线的极坐标
方程.
例8 求经过点Aa,0且a 0,而和极轴垂直的直线的极坐
标方程.
*第十章 极坐标和参数方程
• 第一节 • 第二节 •*第三节
极坐标 参数方程 数学试验二 利用 Mathematic绘制一元函数图形
第1页
第一节 极 坐 标
我们知道能够利用直角坐标系来表示平面上点位置和一 些曲线方程,但在有些详细问题中这并不方便.比如,雷达兵在 汇报雷达发觉飞机位置时，只需指出飞机方向和距离.像这 种利用方向和距离来确定平面上点位置坐标系就是极坐标系. 本节介绍极坐标系概念和曲线极坐标方程.
轴按顺时针方向旋转.
M ,
O
x
0 0
O
M ,
x 0 0
图10 3 极径和极角的不同取值
第6页
例如,点M1
2,
6
,
M
2
1,
2
,
M
3
3,
3 4
,
M
4
4,
7 6
在极坐标系内的位置如图10 4所示.
3
y
4
M4
6
•
•M 2
•O
x
7
M1
•M 3
6
2
图10 4 点M , M , M ,
2.极坐标和直角坐标互化 极坐标系和直角坐标系是两 种不一样坐标系，同一个点能够用极坐标表示，也能够用直 角坐标表示.为了研究问题方便，有时需要把它们进行互化.
如图10 6所示,把直角坐标系的原点作为极点, x轴的非负 半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同单位长度.
y
M x, y
,
y
x
O
x
y
显然,这是一个圆心是c 0, a,
半径是 a 的圆,如图10 7所示. c
O
图10-7 例5题图形
x
第16页
2.极坐标方程作图 极坐标方程作图与直角坐标方程、函 数作图一样，都可用描点法.
例6 作出下列极坐标方程的图像.
(1) a a 0; (2) .
2
解 (1)对于方程 a a 0,
记作 : M , . 当 0 时,不论 取什么值, 0, 都表示极点.当
0 时,不论 取什么正值,当 , 0 都在极轴上.
当 0, 0 2时, 对于平面上任意一点 M 除极点外,
都可以找到惟一的一对实数 , 与之对应;反过来,对于任意 一对实数 , , 也总可以在平面上找到惟一的一点 M 与之
下面我们来建立等速螺线极坐标方程.
如图10 14所示,以射线l的端点为极点 O, 射线的初始位
置为极轴 Ox. 设曲线上动点M的坐标为 , , 动点在初始
位置 M 0 的坐标为 0 , 0,
M 在 l 上运动的速度为
,l 绕 O 转动的角速度
l
M ,
为.
可以得出,经过时刻 t,M 点 的极径为:
0 t
的极坐标方程为 2a cos a 0.
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例5 将 2a sin a 0化为直角坐标方程,并作出它的图像.
解 将方程 2a sin 的两端乘以 ,得 : 2 2a sin.
又因为 2 x2 y2 , sin y, 所以 x2 y2 2ay.
即
x2 y a2 a2 a 0
将 0 与的对应值列表如下表10-2.
表10 - 2 0 与的对应值
0
2
3
5
6
4
3
2
3
4
6
0
0.13a 0.29a 0.5a
a
1.5a 1.71a 1.87a 2a
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依照上表作出各点并连成光滑的曲线,再根据对称性就可
作出所给方程的全部图像(图10-11),这曲线称为心形线.
对应.也就是说,当 和 在上述范围内取值的,平面上的点
M 除极点外与实数对 , 之间具有一一对应的关系.
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例如,如图10-2所示,当
0, 0
2时,
点M
1和M
的极坐标
2
分别为
3,
6
和1,2
,
而极坐标为
3,
3 4
和
2,11 6
所对应的点
分别是M 3和M 4.
2
3
4
M •
3
•M 2
M •
1
2
3
M 在极坐标系内的位置 4
3 4
O
x
•M
4
图10-5 点M极坐标
第7页
由此可知,在这样的规定下,对于任意一对有序实数 , ,
仍然可以在平面上确定惟一的点 M , 但是反过来,平面上任意 一点却对应着无限多对实数,它们都是这个点的极坐标.例如,
图10-5中点
M
的极坐标可以是
3,
3 4
,
在方程中,以-代替,同时以 代替,方程不变,所以曲
线关于直线 对称.
2
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将 0与的对应值列表如下表10 3.
表10 - 3 0 与的对应值
0
4
2
3
4
5 4
3 2
7 4
2
0
a
a 3a
a
5 a 3 a 7 a 2 a
4
2
4
4
2
4
由上表取值可以看出,当 0 时, 0,所以曲线由极点
是M1 , 关于极点的对称点; M 4 , 是M1 , 关于极
轴的对称点;M2 , 是
2
M1
,
关于直线
2
的
M 2 ,
M1 ,
对称点.
x
O
M3 ,
M 4 ,
图10-10 极坐标系中对称关系
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由以上点的对称关系,可得到曲线 f 的对称关系见
表10-1.
表10 - 1 曲线 = f 的对称关系
所以 2 cos 2 a2 , 即 2 a2 . cos 2
这就是所给的等轴双曲线的极坐标方程.
第14页
例4 将圆x2 y2 2ax 0a 0化为极坐标方程. 解 由公式10-1,可得 :
2 cos2 2 sin2 2a cos 0 所以 2 2a cos 0, 所以 0或 2a cos 0. 因为 0表示点圆,与已知a > 0矛盾,应舍去,所以所求圆
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一、极坐标概念
1.平面上点极坐标
如图10 1所示,在平面上取一定点O,从O引一条射线Ox,再
取定一个单位长度并规定角旋转的正方向(通常以逆时针方向
为正),这样就构成了一个极坐标系.O点称为极点,射线Ox称为
极轴.
M ,
•
O•
x
图10-1 极坐标系图形示意
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设 M 为平面上任意一点,连接 OM , 令 OM , 表示从 Ox 到 OM 的角. 称为点 M 的极径, 称为点 M 的极角.这一对有序实数 与 , 称为点 M 的极坐标,
图10-6 直角坐标系与极坐标系关系
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设M 是平面上任意一点,它的直角坐标是x,y,极坐标是 , .显然可知 :
x cos y sin
10 1
利用公式10 1,可以把点M的极坐标化为直角坐标.(!公
式借助图形记忆.)
例1 设点
M
的极坐标为
5,-
3
,
求它的直角坐标.
解 由公式10-1,可得 :
开点,又当 增大时, 也随之
增大, 每转一圈增加 2 ,
也相应增加 2a . 依照表10 3可
CB ••
D•
•A
作出曲线如图10 15所示,图中
O
x
虚线表示 为负值时的曲线.
图10-15 等速螺线
第27页
例10 如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由CDE和ABC两段 曲线组成.C为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心O与C点 的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求: CDE段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm; 当从动杆接触到轮廓线上点E时,由于弹簧的作用从动杆就向 左移动到A,开始与凸轮的ABC段相接触,从动杆接触ABC段时 不动,试求凸轮的轮廓线ABC段和CDE段的极坐标方程.
D
EA
100
10 O
C
B
图10-16 例10图形
1
6
O • M4
x 11 6
图10 2 M , M , M , M 的极坐标
1
2
3
4
第5页
由于实际应用的需要,极径和极角也可以取负值.当 0 时,规定在角的终边上取点M ,使 OM ,如图10 3(a)所示;当 0时,则在角的终边的反向延长线上取点M ,使 OM ,如 图10 3(b)所示;当 0时,极轴按逆时针方向旋转;当 0时,极
2
图10-9.
B 2
2
x
O
A
图10 9 例6题(2) 图形
2 第18页
在极坐标系中, 有时方程的形式简单, 但所表示的曲线却比 较复杂.如果只用描点法,则需要求出曲线上相当多的点,才能 画出整个曲线.为了作图的方便,我们先来了解曲线对称性.
设M1 , 是极坐标系中任意一点图10 10, M3 ,
标系中,曲线也可以用含有 和 的方程来表示.而且有些
曲线在直角坐标系中不容易用 x 和 y 的方程表示,但在极坐
标系中却可简单地用 和 的方程来表示.这就要求我们在
解决具体的曲线方程问题时, 选择建立恰当的坐标系来得出方
程.为了区别这两类曲线方程,我们将曲线在直角坐标系中得出
的方程称为直角坐标方程,而在极坐标系中得出的方程称为极坐
解 设 M , 是圆上任意一点图10 13,连接 OM 及
MA ,则 OM , AOM , 因为 OMA ,OA 2a,
2
所以cos ,
2a
即 2a cos
• M ,
这就是所求圆的极坐标 方程, 它与例4所化成的极坐 标方程一致.
O
C
A
x
图10-13 例9图形
第24页
*4.等速螺线及其方程 当一个动点沿着一条射线做等速 运动，而射线又绕着它端点做等角速旋转时，这个动点轨迹 叫做等速螺线（阿基米德螺线）.
条件
以 代替,方程不变 以 代替,方程不变
曲线对称 性
曲线关于极点对称
曲线关于极轴对称
条件
曲线对称 性
以-代替,同时以- 代替 ,方程不变
曲线关于
=
2
对称
第20页
例7 作出方程 a 1 cos a 0的图像.
解 因为cos - cos,所以用-代替,方程不变,因此
这方程表示的曲线是关于极轴对称的.
可以看出,当取任何值时, 的
取值都是a,因此方程的图像是 以极点O为圆心,a为半径的圆
图10-8 ;
a
x
Oa
a, 0
图10 8 例6题(1) a a 0 的图像
第17页
(2)对于方程 ,可以看出,当取任何值时,的取值都
2
是 ,因此方程的图像是通过极点O,且垂直于极轴的直线BA
标方程. 利用点的直角坐标与极坐标间的互化公式,可将曲线的直
角坐标方程与极坐标方程进行互化.
第13页
例3 将等轴双曲线x2 y2 a2 a 0化为极坐标方程. 解 由公式10-1, 将x cos, y sin代入方程,得:
2 cos2 2 sin2 a2 , 所以 2 cos2 sin2 a2.