高考数学复习要点梳理教学案 11.5 离散型随机变量的期望与方差、正态分布精品(教师版)新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案11.5 离散型随机变量的期望
与方差、正态分布（新课标人教版，教师版）
【考纲解读】
1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.
【要点梳理】
1．离散型随机变量均值、方差:
(1)定义:若离散型随机变量X 的分布列为
则称1122()n n E X x p =+.
称()D X =
2
1
[()]
n
i
i
i i X x E X p =-∑为随机变量X 的方差.
(2)性质: (1)E (C )＝C (C 为常数) (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数) (3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2
(4)如果X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)E (X 2) (5)D (X )＝E (X 2
)－(E (X ))2
(6)D (aX ＋b )＝a 2·D (X ) 2.正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝
1
2πσ
e－
x－μ2
2σ2
，
x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为
1
2πσ
，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指
数为－x－μ2 2σ2
.
【例题精析】
考点一离散型随机变量的期望与方差
例1.(2011年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个
公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3
，得到乙、丙两公司面试
的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。

记ξ为该毕业生得到面试得公司个数。

若
1
(0)
12
Pξ==，则随机变量ξ的数学期望Eξ=
【名师点睛】本小题主要考查离散型随机变量的期望的求解，熟练基本概念是解决本类
问题的关键.
【变式训练】
1.(2011年高考辽宁卷理科19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，x a的样本方差()()()
222
2
11
1
n
s x x x x x x
n
⎡⎤
=-+-+⋅⋅⋅+-
⎢⎥
⎣⎦
，其中x为样本平均数.
【解析】（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且
()
4
8
11
0,
70
P X
C
===()
13
44
4
8
8
1,
35
C C
P X
C
===()
22
44
4
8
18
2,
35
C C
P X
C
===
()3144
4
8
8
3,
35
C C
P X
C
===()4
8
11
0,
70
P X
C
===
即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
1
70
8
35
18
35
8
35
1
70
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
考点二正态分布
例2.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝
________.
2.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)设随机变量ξ服从正态分布
)
,1(2
σ
N，则函数2
()2
f x x xξ
=++不存在零点的慨率为( )
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
1
D.
3
2
【答案】C
【解析】函数2()2f x x x ξ=++不存在零点,则440,1,ξξ∆=-<> 因为2~(1,)N ξσ，所以1,μ=()11.2
P ξ>= 【易错专区】 问题：综合应用
例.(2012年高考广东卷理科17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中x 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0 1 2
P
1222 922 122
所以的数学期望为 6911
0121122222E ξ=⨯
+⨯+⨯=
.
【名师点睛】本小题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
【课时作业】
1. (2010年全国高考宁夏卷6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 【答案】B
【解析】根据题意显然有
(0.1,1000)2
X
，所以(
)0.110001002
X
E =⨯=，故200EX =．
2.(2011年高考重庆卷理科17)某市公租房房屋位于A.B.C 三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:
（Ⅰ）若有2人申请A 片区房屋的概率;
（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。

3．（2009年高考北京卷理科第17题）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路
口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.
∴即ξ的分布列是
ξ0 2 4 6 8
P16
8132
81
8
27
8
81
1
81
∴ξ的期望是
16328818 02468
81812781813
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
4．(2012年高考湖北卷理科20)根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误天
数Y
0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。

【解析】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
(300)0.3,
P X<=(300700)(700)(300)0.70.30.4
P X P X P X
≤<=<-<=-=，(700900)(900)(700)0.90.70.2
P X P X P X
≤<=<-<=-=.
(900)1(900)10.90.1
P X P X
≥=-<=-=.
【考题回放】
1. (2010年高考数学湖北卷理科14）某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
Eξ=，则y的值为．
已知ξ的期望8.9
【答案】0.4
【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9
+++=+⨯+⨯+⨯=
x y x y 联合解得0.4
y=.
2．(2012年高考浙江卷理科19)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求X的分布列；
(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．
【解析】(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．
3.(2012年高考山东卷理科19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．
X 0 1 2 3 4 5
P
136 112 19 13 19 13
所以1111114101234536
12
9
3
9
312
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
4. (山东省济南市2012年2月高三定时练习理科)将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第k 号卡片恰好落入第k 号小盒中，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数. （1）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率;
（2）求匹对数ξ的分布列和数学期望ξ
E.
∴ξ的分布列为：
ξ0 1 2 4
p3
81
3
1
4
1
24
……………………………10分
∴1
Eξ=…………………12分。