八年级上1月月考期末复习模拟数学试题

八年级上1月月考期末复习模拟数学试题
一、选择题
1．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬行2个单位到达点B ，点A 表示-2，设点B 所表示的数为m ，则1m -+(m+6)的值为 ( )
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
2．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为( )
A ．31︒
B ．62︒
C ．87︒
D ．93︒
3．我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是3，那么这个三角形称作帅气等腰三角形.已知ABC ∆中，32AB =，5AC =，7BC =，在ABC ∆所在平面内画一条直线，将
ABC ∆分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 4．下列各组数不是勾股数的是（ ） A ．3，4，5 B ．6，8，10 C ．4，6，8 D ．5，12，13 5．64的立方根是（ ） A ．4 B ．±4 C ．8 D ．±8 6．下到图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在－227，－π，0，3.14， 0.1010010001，－31
3
中，无理数的个数有 ( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图， Rt ABC 中，90,B ED ∠=︒垂直平分,AC ED 交AC 于点D ，交BC 于点E .已知ABC 的周长为24,ABE 的周长为14，则AC 的长（ ）
A ．10
B ．14
C ．24
D ．15
9．下列各式成立的是（ ） A ．93=±
B ．235+=
C ．
()
2
33-=± D ．()
2
3
3-=
10．2的算术平方根是（） A ．4
B ．±4
C ．2
D ．2±
二、填空题
11．如图，ABC ADC ∆≅∆，40BCA ∠=︒，80B ∠=︒，则BAD ∠的度数为________________.
12．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（2，4）和（3、0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC 是以AB 为底的等腰三角形时，OC ＝__．
13．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x 及其对应的函数值y 的部分对应值， x … ﹣2 ﹣1 0 … y
…
m
2
n
…
则m +n 的值为_____．
14．已知22139273m ⨯⨯=，求m =__________．
15．在ABC ∆中,
13AC BC ==, 10AB =,则ABC ∆面积为_______． 16．已知一次函数3y kx =+与2y x b =+的图像交点坐标为(−1，2)，则方程组
3
2y kx y x b
=+⎧⎨
=+⎩的解为____． 17．等腰三角形的顶角为76°，则底角等于__________．
18．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝4，AC ＝2，且△ABD 的面积为2，则△ABC 的面积为_________．
19．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 20．若直角三角形斜边上的中线是6cm ，则它的斜边是 ___ cm ．
三、解答题
21．计算：
（1）23(5)427-+； （2）1
2426(8)18
÷+-
． 22．如图，一次函数y ＝﹣x +7的图象与正比例函数y ＝3
4
x 的图象交于点A ，点P （t ，0）是x 正半轴上的一个动点．
（1）点A 的坐标为（ ， ）；
（2）如图1，连接PA ，若△AOP 是等腰三角形，求点P 的坐标： （3）如图2，过点P 作x 轴的垂线，分别交y ＝3
4
x 和y ＝﹣x +7的图象于点B ，C ．是否存在正实数，使得BC ＝
3
2
OA ，若存在求出t 的值；若不存在，请说明理由．
23．建立模型：如图1，已知△ABC ，AC ＝BC ，∠C ＝90°，顶点C 在直线l 上．
（1）操作：
过点A 作AD ⊥l 于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ．求证：△CAD ≌△BCE ． （2）模型应用：
①如图2，在直角坐标系中，直线l ：33y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，将直线l 绕着点A 顺时针旋转45°得到直线m ．求直线m 的函数表达式．
②如图3，在直角坐标系中，点B （4，3），作BA ⊥y 轴于点A ，作BC ⊥x 轴于点C ，P 是直线BC 上的一个动点，点Q （a ，5a ﹣2）位于第一象限内．问点A 、P 、Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a 的值，若不能，请说明理由． 24．定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．
（1）如图①，小海同学在作△ABC 的外心时，只作出两边BC ，AC 的垂直平分线得到交点O ，就认定点O 是△ABC 的外心，你觉得有道理吗？为什么？
（2）如图②，在等边三角形ABC 的三边上，分别取点D ，E ，F ，使AD ＝BE ＝CF ，连接DE ，EF ，DF ，得到△DEF ．若点O 为△ABC 的外心，求证：点O 也是△DEF 的外心．
25．如图，AD ∥BC ，∠A ＝90°，E 是AB 上的一点，且AD ＝BE ，∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE ≌△BEC ；
（2）若AD ＝3，AB ＝9，求△ECD 的面积．
四、压轴题
26．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线1
22
y x =
+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．
（1）求ABC 的面积．
（2）判断ABC 的形状，并说明理由．
（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标． 27．（1）问题发现．
如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．
①求证：ADC BEC ∆∆≌． ②求AEB ∠的度数．
③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．
如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．
①请判断AEB ∠的度数为____________．
②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 28．（1）填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在
1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设
ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．
29．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠； （2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作
//EF AC ，求证：BE AD =；
（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．
30．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．
（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点
E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；
（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接
BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，
当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解:意，得2+2 ∴0＜m ＜1， ∴|m-1|+（m+6） =1-m+m+6 =7,
故选C ． 【点睛】
本题了实数与数轴的关系，绝对值的意义．关键是根据题意求出m 的值，确定m 的范围．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据垂直平分线的性质，可以得到∠C=∠ABC ，再根据角平分线的性质，得到∠ABC 的度数，最后利用三角形内角和即可解决. 【详解】
∵DE 垂直平分BC ，
DB DC ∴=，
31C DBC ︒∴∠=∠=，
∵BD 平分ABC ∠，
262ABC DBC ︒∴∠=∠=， 180A ABC C ︒∴∠+∠+∠=，
180180623187A ABC C ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=
故选C 【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质和三角形内角和，解决本题的关键是熟练掌握三者性质，正确理清各角之间的关系.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据各边的长度画出三角形ABC ，作AD ⊥BC ，根据勾股定理求出AD ，BD ，结合图形可分析出结果. 【详解】
已知如图，所做三角形是钝角三角形，作AD ⊥BC ， 根据勾股定理可得：AC 2-CD 2=AB 2-BD 2 所以设CD=x,则BD=7-x
所以52-x 2=（2-（7-x ）2 解得x=4 所以CD=4,BD=3,
所以，在直角三角形ADC 中
3== 所以AD=BD=3
所以三角形ABD是帅气等腰三角形
假如从点C或B作直线，不能作出含有边长为3的等腰三角形
故符合条件的直线只有直线AD
故选：B
【点睛】
本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键;并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2=c2，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】
解：A、32+42=52，能构成勾股数，故选项错误；
B、62+82=102，能构成勾股数，故选项错误
C、42+62≠82，不能构成勾股数，故选项正确；
D、52+122=132，能构成勾股数，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
5．A
解析：A
【解析】
试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
考点：立方根．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义，依次对各选项进行判断即可. 轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
【详解】
解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义，并能依据定义判断一个图形是不是轴对称图形是解决此题的关键.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据无理数的定义进行求解.
【详解】
解：无理数有：−π，共1个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数常见的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先依据线段垂直平分线的性质得到AE=CE；接下来，依据AE=CE可将△ABE的周长为:14转化为AB+BC=14，求解即可.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长为:AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC
∵ABC的周长为24,ABE的周长为14
∴AB+BC=14
∴AC=24-14=10
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．
【详解】
=，所以A选项错误；
解：A3
B B选项错误；
=，所以C选项错误；
C3
D、(23=，所以D选项正确．
故选D.
【点睛】
此题考查了算术平方根和二次根式的性质以及二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】
解：2
故选C.
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握概念是解题的关键．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠CAD，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，即可得出结论．
【详解】
∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠C AD．
∵∠B
解析：120
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠CAD，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，即可得出结论．
【详解】
∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠CAD．
∵∠BCA=40°，∠B=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠BCA﹣∠B=180°﹣40°﹣80°=60°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2∠BAC=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理．掌握全等三角形的性质以及三角形内角和定理是解答本题的关键．
12．．
【解析】
【分析】
设C点坐标为（0，a），由勾股定理可表示出BC2和AC2，由△ABC是以AB为底的等腰三角形可知BC＝AC，据此可列出关于的方程，求解即可.
【详解】
解：设C点坐标为（0，
解析：11 8
．
【解析】
【分析】
设C点坐标为（0，a），由勾股定理可表示出BC2和AC2，由△ABC是以AB为底的等腰三角形可知BC＝AC，据此可列出关于a的方程，求解即可.
【详解】
解：设C点坐标为（0，a），
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC＝AC，
平方得BC2＝AC2，即32+a2＝22+（4﹣a）2，
化简得8a＝11，
解得a＝11 8
．
故OC＝11 8
，
故答案为：11 8
．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离及等腰三角形的判定，灵活利用两点的坐标确定两点间距离是解题的关键.
13．【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+
解析：【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+b，得：﹣2k+b＝m；﹣k+b＝2；b＝n；
∴m+n＝﹣2k+b+b＝﹣2k+2b＝2（﹣k+b）＝2×2＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查一次函数的待定系数法，把m+n看作一个整体，进行计算，是解题的关键．14．8
【解析】
【分析】
根据幂的乘方可得，，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】
∵，
即，
∴，
解得，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练
解析：8
【解析】
【分析】
根据幂的乘方可得293m
m ，3273=，再根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】
∵22139273m ⨯⨯=，
即22321333m ，
∴223
21m ，
解得8m =， 故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
15．60
【解析】
【分析】
根据题意可以判断为等腰三角形，利用勾股定理求出AB 边的高，即可得到答案.
【详解】
如图作出AB 边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10，
∴△ABC 是等腰三角形，
解析：60
【解析】
【分析】
根据题意可以判断ABC ∆为等腰三角形，利用勾股定理求出AB 边的高，即可得到答案.
【详解】
如图作出AB 边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴AD=BD=5，
根据勾股定理 CD 2=AC 2-AD 2，
，
12ABC S
CD AB =⋅=112102
⨯⨯=60， 故答案为：60.
【点睛】 此题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理，关键是判断三角形的形状，利用勾股定理求出三角形的高.
16．.
【解析】
【分析】
直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．
【详解】
解：∵一次函数与的图象的交点的坐标为(−1，2)，
∴方程组的解是.
【点睛】
本题考查了一次函数和二元一次方程（组）
解析：12x y =-⎧⎨=⎩
. 【解析】
【分析】
直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．
【详解】
解：∵一次函数3y kx =+与2y x b =+的图象的交点的坐标为(−1，2)，
∴方程组32y kx y x b =+⎧⎨=+⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查了一次函数和二元一次方程（组）的关系：要准确的将一次函数问题的条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
17．52°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，进行计算即可.
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为76°，
∴底角为：，
故答案为：52°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形性
解析：52°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，进行计算即可.【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为76°，
∴底角为：11
=104=52 22
⨯︒︒⨯︒︒（180-76），
故答案为：52°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角计算角度.
18．3；
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由面积可求得DE，根据角平分线的性质可求得DF，可求得△ACD的面积，进而求△ABC的面积．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，
解析：3；
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由面积可求得DE，根据角平分线的性质可求得DF，可求得△ACD的面积，进而求△ABC的面积．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵S△ABD=2
∴1
2
AB•DE=2，
又∵AB=4
∴1
2
×4×DE=2，解得DE=1，
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC ∴DF=DE=1，
∴S△ACD=1
2
AC•DF=
1
2
×2×1=1，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=2+1=3
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．19．5或
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的
解析：5
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4=
②长为3、45；
∴或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．
20．12
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案.
【详解】
解：∵直角三角形斜边上的中线是6cm，
∴则它的斜边是：cm；
故答案为：12.
【点睛】
本题考查了直
解析：12
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案.
【详解】
解：∵直角三角形斜边上的中线是6cm，
∴则它的斜边是：2612
⨯=cm；
故答案为：12.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三、解答题
21．（1）6；（2
）
3
．
【解析】
【分析】
（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用二次根式的乘除法则计算，合并即可得到结果．【详解】
解：（1）原式＝5﹣2+3＝6；
（2）原式＝
3
＝
3
．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（1）（4，3）；（2）P（5，0）或（8，0）或（25
8
，0）；（3）t＝
58
7
．
【解析】
【分析】
（1）解方程组即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OA
5，当OP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，当
AP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，当OP＝PA时，△AOP是等腰三角形，于是得到结论；
（3）由P（t，0），得到B（t，3
4
t），C（t，﹣t+7），根据BC＝
3
2
OA，解方程即可得
到结论．【详解】
解：（1）解
7
3
4
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
得
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点A的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）；
（2）∵A（4，3），
∴OA5，
当OP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，∴P（5，0），
当AP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，则OP＝8，
∴P（8，0）；
当OP＝PA时，△AOP是等腰三角形，
则点P在OA的垂直平分线上，
如图1，设OA的垂直平分线交OA于H，
∴OH＝1
2
OA＝
5
2
，
过A作AG⊥x轴于G，∴△OPH∽△OAG，
∴OH OP OG OA
=，
∴5
2
45
OP =，
∴OP＝25 8
，
∴P（25
8
，0），
综上所述，P（5，0）或（8，0）或（25
8
，0）；
（3）∵P（t，0），
∴B（t，3
4
t），C（t，﹣t+7），
∵BC＝3
2 OA，
∴﹣t+7﹣3
4
t＝
3
2
×5或
3
4
t+t﹣7＝
3
2
×5，
解得：t＝﹣2
7
或t＝
58
7
，
∵t＞0，
∴t＝58
7
．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合题，解方程组求点的坐标，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）132y x ＝＋；（3）32a ＝或14a ＝
． 【解析】
【分析】
（1）根据AAS 即可证明△DAC ≌△ECB ；
（2）过点B 作BC ⊥BA ，交直线l 2于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．根据33y x =+得到AO ＝3，OB ＝1，根据△DCB ≌△OBA 可得点C 的坐标为（－4，1），再根据待定系数法即可求解；
（3）根据题意分两种情况分别作图即可求解.
【详解】
（1）∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°
∵AD ⊥l ，BE ⊥l ，
∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠DAC ＝90° ，
∴∠DAC ＝∠ECB
∵在△DAC 和△ECB 中，∠ADC ＝∠CEB ，∠DAC ＝∠ECB ，AC ＝CB
∴△DAC ≌△ECB （AAS ）
（2）过点B 作BC ⊥BA ，交直线l 2于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．
由直线l ：33y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，
可求点A 坐标为（0，3），点B 坐标为（－1，0），
∴AO ＝3，OB ＝1．
由△DCB ≌△OBA 可得，DC ＝OB ＝1，DB ＝OA ＝3，
∴点C 的坐标为（－4，1）
设直线m 的解析式为：y ＝kx ＋b ，把（0，3），（－4，1）代入，
求得132y x ＝＋ ．
（3）如图3，由△AEQ ≌△QFP 可得AE ＝QF ，3－（5a －2）＝4－a ，
求得14
a ＝ ．
如备用图，由△AEQ ≌△QFP 可得AE ＝QF ，（5a －2）－3＝4－a ，
求得3
2
a ＝ ．
【点睛】
本题考查一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
24．（1）定点O 是△ABC 的外心有道理，理由见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OA 、OB 、OC ，如图①，根据线段垂直平分线的性质得到OB OC =，OC OA =，则OA OB OC ==，从而根据三角形的外心的定义判断点O 是ABC ∆的外心；
（2）连接OA 、OD 、OC 、OF ，如图②，利用等边三角形的性质得到OA OC =，2120AOC B ∠=∠=︒，再计算出30OAD OCF OAD ∠=∠=∠=︒，接着证明
AOD COF ∆≅∆得到OD OC =，同理可得OD OE =，所以OD OE OF ==，然后根据三角形外心的定义得到点O 是DEF ∆的外心．
【详解】
（1）解：定点O 是ABC ∆的外心有道理．
理由如下：
连接OA 、OB 、OC ，如图①，
BC ，AC 的垂直平分线得到交点O ，
OB OC ∴=，OC OA =，
OA OB OC ∴==，
∴点O 是ABC ∆的外心；
（2）证明：连接OA 、OD 、OC 、OF ，如图②，
点O 为等边ABC ∆的外心，
OA OC ∴=，2120AOC B ∠=∠=︒，
30OAD OCF ∴∠=∠=︒，
30OAD ∴∠=︒，
在AOD ∆和COF ∆中
OA OC OAD OCF AD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AOD COF SAS ∴∆≅∆，
OD OC ∴=，
同理可得OD OE =，
OD OE OF ∴==，
∴点O 是DEF ∆的外心．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质和全等三角形的判定、等边三角形的性质．掌握线段垂直平分线性质和构造三角形全等是解题关键．
25．（1）见解析；（2）
452
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由已知我们可求得BE 、AE 的长，再利用勾股定理求得ED 的长，利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∠1=∠2，
∴∠A =∠B =90°，DE =CE ．
∵AD =BE ，
在Rt △ADE 与Rt △BEC 中 AD BE DE CE =⎧⎨=⎩
，
∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）
（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．
∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．
∴∠DEC =90°．
又∵AD =3，AB =9，
∴BE =AD =3，AE =9﹣3=6．
∵∠1=∠2，
∴ED =EC
∴△CDE 的面积=
14522
⨯=． 【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握，即可解题.
四、压轴题
26．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）先求出直线122
y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；
（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；
（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标．
【详解】
解：（1）令0x =，则10222y =
⨯+=， ∴()0,2C ，
令0y =，则1202
x +=，解得4x =-， ∴()4,0B -，
将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =，
∴22y x =-+，
令0y =，则220x -+=，解得1x =，
∴1,0A ，
∴5AB =，2OC =， ∴152
ABC S AB OC =⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，
22222125AC AO OC =+=+=，
且22525AB ==，
∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形；
（3）∵CD 平分ACB ∠， ∴12
AD AC BD BC ==， ∴1533
AD AB ==， ∴23OD AD OA =-=
， ∴2,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
①如图，CED ∠是直角，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，过点C 作CM EN ⊥于点M ， 由（2）知，90ACB ∠=︒，
∵CD 平分ACB ∠，
∴45ECD ∠=︒，
∴CDE △是等腰直角三角形，
∴CE DE =，
∵90NED MEC ∠+∠=︒，90NED NDE ∠+∠=︒，
∴MEC NDE ∠=∠，
在DNE △和EMC △中，
NDE MEC DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()DNE EMC AAS ≅，
设DN EM x ==，EN CM y ==，
根据图象列式：DO DN CM EN EM CO +=⎧⎨+=⎩，即232x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴43
EN CM ==，
∴44,33E ⎛⎫- ⎪⎝
⎭；
②如图，CDE ∠是直角，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，
同理CDE △是等腰直角三角形，
且可以证得()CDO DEG AAS ≅，
∴2DG CO ==，23EG DO ==
， ∴28233
GO GD DO =+=+=， ∴82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
综上：44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭，82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】 本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识，需要运用数形结合的思想去求解．
27．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+
【解析】
【分析】
（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；
（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．
【详解】
解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，
∴ACD ECB ∠=∠，
∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．
②∵CDE ∆为等边三角形，
∴60CDE ∠=︒．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，
又∵ADC BEC ∆∆≌，
∴120ADC BEC ∠=∠=︒，
∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．
③AD BE =
ADC BEC ∆∆≌，
∴AD BE =．
故填：AD BE =；
（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，
∴ACD ECB ∠=∠，
在ACD ∆和BCE ∆中，
AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴E ACD BC ∆∆≌，
∴
ADC BEC ∠∠=．
∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．
②∵CDA CEB ∆∆≌，
∴
BE AD =．
∵CD CE =，CM DE ⊥， ∴DM ME =．
又∵90DCE ∠=︒，
∴2DE CM =，
∴2AE AD DE BE CM =+=+．
故填：①90°；②2AE BE CM =+．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．
28．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.
【解析】
【分析】
（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠得 ()1112
EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=
∠∠=∠得()1112
EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解. （2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出
11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.
②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出
()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.
（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.
【详解】
解：（1）①如图①中，
1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22
EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.
（2）①如图③中由折叠可知，
11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，
1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，
11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，
11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，
111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；
②如图④中根据折叠可知，
11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，
112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，
112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，
()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=，
()11
2906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；
（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，
2a γβ∴+=；
如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，
2a γβ∴-=.
【点睛】
本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.
29．（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；
（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=
12
CF=3． 【详解】
解：（1）∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∵DE=DC ，
∴∠E=∠DCE，
∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；
（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=EF，∠BFE=60°，
∴∠DFE=120°，
∴∠DFE=∠CAD，
在△DEF与△CAD中，
EDF DCA
DFE CAD
DE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，
∴AD=BE；
（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中，
AB BC
ABF CBF
BF BF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°，
∵AH⊥CD，
∴AH=
1
2
AF=
1
2
CF=3，
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
30．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）分点F沿C→B路径运动和点F沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
【详解】
解：（1）△ACD与△CBE全等．
理由如下：∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
ADC CEB
DAC ECB
CA CB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=8-t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t，
点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，
当点N沿C→B路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t，
解得，t=5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN为等腰直角三角形；
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。