高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》全集汇编含解析

数学《数列》期末复习知识要点
一、选择题
1．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90
C ．72
D ．24
【答案】B 【解析】
由于152436a a a a +=+=，所以1555()536
9022
a a S +⨯=
==，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．
2．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ） A ．2n B ．31n - C ．2n D ．31n -
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2
213b b b =，求出q ，
即求n S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，1
12,2n n a a q -=∴=Q ，
121n n b q -∴=+，
13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，
{}n b Q 也是等比数列， 2
2
13b b b ∴=，即()()
2
221321q q +=+
解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】
本题考查等比数列的性质，属于基础题.
3．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55
C ．66
D ．78
【答案】D 【解析】
【分析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，
213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛
⎫=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=
（）
78= 故选：D 【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992 B ．1022
C ．1007
D ．1037
【答案】C 【解析】 【分析】
首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】
将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-
当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>， 故1,2,n =……，135数列共有135项．
因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：C ． 【点睛】
本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
5．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】
25251634121
32323222log 62
n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)
011102
n n n S n n +-=
>⇒<⇒= ，故选C.
6．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则
n S 的最小值为（ ）
A ．–10
B ．14-
C ．–18
D ．–20
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当
4n =或5时，n S 取到最小值.
【详解】
根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，
由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-.
故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.
7．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223
S π
=，则6tan()a 的值为（ ） A ．3 B ．3-
C ．
3 D ．3-
【答案】B 【解析】 【分析】
由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】 ∵()11111611221123
a a S a π+=== ，∴6
23a π=，()62tan tan 33a π⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
， 故选B. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.
8．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）
A ．
2542
B ．
3764
C ．
1730
D ．
67
【答案】A 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当
6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】 由题意可知， 第1次循环时1
13
S =⨯，2i =，否； 第2次循环111324S =
+⨯⨯，3i =，否； 第3次循环时111132435
S =++⨯⨯⨯，4i =，否； 第4次循环时111113243546
S =
++⨯⨯⨯⨯+，5i =，否；
第5次循环时111111324354657
S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+，6i =，是； 故输出
111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 111125
1226742
⎛⎫=
+--=
⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．
9．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】
【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
10．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．
23
B ．
32
C ．23
-
D ．32
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d .
101010,70a S ==Q ，11910109
10702a d a d +=⎧⎪
∴⎨⨯+=⎪⎩
解得2
3
d =
. 故选：A . 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.
11．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三
角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a =
C ．1024是三角形数
D ．123111121
n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 121111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012
S x =，153
4
S x =
，从而得到155:S S 的值． 【详解】
解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得101
2
S x =， 1051122S S x x x ∴-=
-=-，151014S S x ∴-=，15113
244
S x x x ∴=+=，
故155
334:4
x
S S x ==， 故选：A ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.
13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，33
4
S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]
1,0- B ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]
0,1
【答案】B 【解析】 【分析】
先求得等比数列的首项和公比，得到n S ，分析数列的单调性得到n S 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】
由1220,a a += 33
4S =，得11211,,1232n
n a q S ⎡⎤⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值
12
， 所以12
21
a a ⎧≤⎪
⎨⎪+≥⎩，112a -≤≤，故选B. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.
14．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】
由2416a a =得24455
16116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.
15．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是()
A．3 971 B．3 972 C．3 973 D．3 974
【答案】D
【解析】
【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n组有n个数且最后一个数为n2，则前n组共
1+2+3+…+n
()1
2
n n+
=个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
则第n组有n个数且最后一个数为n2，
则前n组共1+2+3+…+n
()1
2
n n+
=个数，
设第2019个数在第n组中，
则
()
()
1
2019
2
1
2019
2
n n
n n
⎧+
≥
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩＜
，
解得n＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，
故选：D．
【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n项和公式，属中档题．
16．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为()
A ．17(1)a r +
B ．17[(1)(1)]a
r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a
r r r
+-+
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，
⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：
1717
16
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a
S a r a r a r r r r r
++-=++++⋯⋯++==+-++-；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
17．在递减等差数列{}n a 中，2
132
4a a a =-．若113a =，则数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．
24143
B ．
1143
C ．
2413
D ．
613
【答案】D 【解析】
设公差为,0d d < ，所以由2
1324a a a =-，113a =，得
213(132)(13)42d d d +=+-⇒=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ，
因为
111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和等于
1111116()()213213213261313
n --≤--=-⨯- ，选D.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1
(2)n n +.
18．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120 C ．121 D ．192
【答案】B
【解析】
【分析】 根据35
2
a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出.
【详解】
Q 35
2
27a q a ==,
∴ 3q =
∴ 44
14(1)3(13)
120113a q S q --===--.故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.
19．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系.
【详解】
因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S
若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得
111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.
因为()2210q -≥
所以不等式的解集为10a <
若210n S -<
当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+
当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+
综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件
故选:B
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.
20．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A ．23岁
B ．32岁
C ．35岁
D ．38岁
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．
【详解】
设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，
由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-， 又由9207S =，即91989(3)2072
S a ⨯=+
⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁．
故选C ．
【点睛】 本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。