初中数学综合复习二次函数的应用部分3

初中数学综合复习二次函数的应用部分3
解答题1
1. 已知抛物线l ：c bx ax y ++=2
（a ，b ，c 均不为0）的顶点为M ，与y 轴的交点为N 。

我们称以N 为顶点，对称轴是y 轴且过点M 的抛物线为抛物线l 的衍生抛物线，直线MN 为抛物线l 的衍生直线.
(1)如图,抛物线y=x 2-2x -3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 (2) 若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y =-2x 2+1和y =-2x +1，求这条抛物线的解析式;
(3)如图，设（1）中的抛物线y =x 2-2x -3的顶点为M ，与y 轴交点为N ，将它的衍生直线MN 先绕点N 旋转到与x 轴平行，再沿y 轴向上平移1个单位得到直线n ，P 是直线n 上的动点.是否存在点P ，使得△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标：若不存在，请说明理由吗.
【答案】(1)抛物线y =x 2-2x -3的衍生抛物线的解析式是y =-x 2-3. 衍生直线的解析式是y =-x -3.
(2)由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=1
2122x y x y 解得⎩⎨
⎧==1011y x ⎩⎨
⎧-==11
2
2y x ∴抛物线与y 轴的交点M (0,1),抛物线的顶点为N (1,-1).
∵设y =a (x -1)2-1,把M (0,1)代入得∴1=a -1,解得a =2 ∴这条抛物线的解析式y =2(x -1)2-1.
(3) 抛物线y =x 2-2x -3将它的衍生直线MN 先绕点N 旋转到与x 轴平行时，为y =-3,再沿y 轴向上平移1个单位得到直线n 为y =-2，
∵P 是直线n 上的动点,∴设P (m ,-2).∵O (0,0),M (1,-4)
∴OM 2=17;OP 2=m 2+4;MP 2=(m -1)2+22=m 2-2m +1+4= m 2-2m +5
当OM 2=OP 2+ MP 2时,即m 2+4+m 2-2m +1+4= 17.解得m =
2171±-.P (2171+-,-2), (2
17
1--,-2) 当OM 2+OP 2= MP 2时,即17+ m 2+4 = m 2-2m +5.解得m =-8. P (-8,-2) 当OP 2=OM 2+MP 2时,即m 2+4=17+ m 2-2m +5.解得m =9. P (9,-2)
综上所述存在点P 使△POM 为直角三角形.P 的坐标为(-8,-2)或(9,-2)或 (2171+-,-2)或 (2
17
1--,-2). 2. 如图，已知抛物线233
384
y x x =
--与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧）
，与y 轴的交点为C ． （1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD +MC 的值最小，并求出点M 的坐标；
（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四
边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解： （1）令y =0，则
233
3084
x x --= 即：2
280x x --=
得：x 1=4，x 2=-2
∴ A （4，0），D （-2，0） 令x =0，则y =-3，∴ C （0，-3）
（2）∵ 点A 、点D 关于对称轴直线x =1对称， ∴ MA = MD
∴ MD + MC = MA + MC
∴ 当A 、M 、C 三点共线时，MD +MC 的值最小． 由A （4，0），C （0，-3），可得y AC = 3
34
x -， 令x =1，得y =94-
，∴ M （1，94
-）
（3）若以BC 为底边（如图1），则AP ∥BC ，BC=2，
易得P 1（-2，0），此时AP =3，显然BC ≠AP ，则P 1（-2，0）符合； 若以AB 为底边（如图2），则CP ∥AB ，∴ k CP = k AB ，
∵A（4，0），B（2 ，
-3），∴
k AB =
3
2
∴y CP =
3
3
2
x-，
令
3
3
2
x-=2
33
3
84
x x
--
得：
13
()0
84
x x-=
∴x1=0，x2=6
经检验，P2（6，6）符合题意；
若以AC为底边（如图3），如上同理可得：y BP =
339
(2)3
442
x x
--=-，
令
39
42
x-=2
33
3
84
x x
--
即2440
x x
-+=
∴x1=x2=2，
此时点P不存在；
综上所述：P1（-2，0），P2（6，6）符合题意．
3.如图,矩形OABC的顶点A(2,0)、C(0,23将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE、
FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D,连结MH.
(1)若抛物线2
:l y ax bx c
=++经过G、O、E三点,则它的解析式为；
(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标；
(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)
运动,设ΔPQH的面积为S,33
S
<时,确定点Q的横坐标的取值范围.
（图1）（图2）（图3）
【答案】解
:(1)223y x =
(2)∵30FOG ∠=o ∴点F 在y 轴上 作GS x ⊥轴于点S ∵点H 为FD 中点 ∴M 为FG 中点
同理可得D 为SO 中点
∴点D
的坐标为(
(3)可求得GE
的解析式为2y =+
过点Q 作//QT y 轴交GE 于点T ,
可设22(,)3Q x x ,
则(,2)T x +
∴2222(2)()233
TQ x x x =+-=-+
①当0x ≤
22122(2)((2)233
PQT HQT S S S x x x x =-=-++--+△△
2=+
②当0
x <<时,
221212(2)((2)(0)2323
PQT HQT S S S x x x x =+=-++-+-△△
2=
综上可得2S x x =<
S <
由函数2S x =
x <<
又∵x <<
∴32
2
x
-<<
4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正
半轴上，点A、D的坐标分别为A(0，2)，D(2，2)，AB=22，连接AC。

（1）求出直线AC的函数解析式；
（2）求过点A、C、D的抛物线的函数解析式；
（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n<0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C、P、M 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似，求出点P的坐标。

【答案】解：（1）由A（0,2）知OA =2，在Rt △ABO 中，∵AB =22，
∴OB22
AB OA 22
222
()=2
则B(-2，0)，根据等腰梯形的轴对称性可得C点坐标为（4,0）………………1分
设直线的函数解析式为y=kx+b
∴
40
2
k b
b
∴
1
2
2
a
b
∴
1
2
2
y x…………………………3分
（2）过A、C、D三点得抛物线的解析式为y=2
ax bx c
∴
2
1640
422
c
a b c
a b c
∴
1
4
1
2
2
a
b
c
∴2
11
2
42
y x x………………6分
S
Q
x
y
O A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
P
R
T
S
Q
x
y
O A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
P
R
T
（3）∵P （m ，n ）（n <0）在抛物线2
1
1242
y
x x 上，
∴m >4,或m <-2，n =
2
1124
2
m m <0。

∴PM =2
1
124
2m
m
∵Rt △PCM 与Rt △AOC 相似，∴
12PM AO MC OC
或
2PM OC MC
AO
若m <-2，则MC =4-m ，当
12PM
AO MC
OC
时，2112
1
4242
m m
m
， 解得：1
2
44,m m
（舍），此时P (-4，-4) ……………………………8分
当
2PM
OC MC
AO
时2
112
4
224m m m
，
解得：1
2
104,m m （舍），此时P (-10，-28) …………………………………10分
若m >4，则MC =m -4，
当
12PM
AO MC OC
时，2112
1
4242
m m
m ， 解得：1
0,m （舍），2
4m
（舍）………………………………………12分
当
2PM
OC MC
AO 时2
112
4
224
m m m ，
解得：1
2
64,m m
（舍），此时P (6，-4)
综上所述，点P 的坐标为(-4，-4)，(6，-4)，(-10，-28)。

………………………………14分
5.已知，如图所示，在四边形OABC 中，AB ∥OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A （1，－1），B （3，－1），动点P 从点O 出发，沿着x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P 作PQ 垂直于直线OA ，垂足为点Q ，设点P 移动的时间为t 秒（0＜t ＜2），△OPQ 与四边形OABC 重叠部分的面积为S . （1）求经过O 、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点M 的坐标；
（2）用含t 的代数式表示点P 、点Q 的坐标；
（3）如果将△OPQ 绕着点P 按逆时针方向旋转90°，是否存在t ，使得△OPQ 的顶点O 或顶点Q 在抛物线上？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）求出S 与t 的函数关系式.
【答案】解：（1）∵抛物线过原点O （0，0）.
∴可设经过A 、B 、O 三点的抛物线解析式为y =ax 2+bx （或直接设y =ax 2+bx +c ）
将A （1，－1），B （3，－1）代入y =ax 2
+bx 中，得131a b a b +=-⎧⎨-+=-⎩.∴134
3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
.
∴y =
213x －2414(2)333x x =--.顶点M 的坐标为（2，－4
3
）. （2）∵点A 坐标为（1，－1）.∴∠COA =45°.∴△OPQ 为等腰直角三角形. 过Q 作QD ⊥x 轴于D .∵OP =2t ， ∴OD =
12OP =12×2t =t ，DQ =12
OP =t . ∴点P 坐标为：P （2t ，0）.点Q 坐标为：（t ，－t ）
（3）当△OPQ 绕点P 逆时针旋转90°后，点O 坐标为（2t ，－2t ），点Q 的坐标为（3t ，－t ），
①若点O 在y =
213x －4
3
x 上， 则2
14(2)2233t t t ⨯-⨯=-，2t 2-t =0. ∴t 1=0，t 2=12
. ∵0＜t ＜2.∴t =12.∴t =1
2
时点Q （1，－1）在y =213x －43x 上
②若点Q 在y =213x －4
3
x 上， 则2
14(3)333
t t t ⨯-⨯=-，t 2－t =0.∴t 1=0，t 2=1. 又∵0＜t ＜2.∴t =1.
∴t =1时点Q （3，－1）在y =
213x －4
3
x 上 （4）如图，分三种情况讨论： ①当0＜t ≤1时，S =S △OPQ =
12
OP ×2122Q y t t t =⨯⨯=.
（方法二：S =S △OPQ = OQ 2） ②当1＜t ≤
3
2
时，设P /Q /交AB 于点E /.S =//
/
OP Q AEQ S S
-.
∵AB ∥OC ，∴∠Q /AE =45°.∴△AEQ /也为等腰直角三角形. ∴OQ /=OP /×cos 45°=2t
×2
.∴AQ /=OQ /－OA
t
（t －1）. ∴/
AEQ
S
=
1
2
/2AQ =（t --1）2.∴S =t 2－（t －1）2=2t －1. （方法二：S =/OAEP S 梯形） ③如图，当3
2
＜t ＜2时，设P //Q //交BC 于点F ，交AB 于点E /. 则S =////
///
//
OP Q AE Q CFP S S
S
--.
∵()///
2//2112AE Q S
AQ t =
=-，()//2//2
112322
CFP
S CP t ==- ∴S =t 2－（t －1）2－()2
1232t -=－2t 2+8t －112
.
（方法二：S =//
OABC BE F S S
-梯形.）
∴S =222111282
t t t t ⎧
⎪⎪
-⎨⎪⎪-+-⎩
6.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x 天的销售量
销售单价q (元/件)与x 满足：当125x ≤＜时，60q x =+；当2550x ≤≤时，1125
40q x
=+． （1）（2分）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系； （2）（4分）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式； （3）（4分）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？
【答案】解：（1）1202
p x =-；
（2）(1202)(6040)(125)
(40)1125
(4040)(1202)(2550)x x x y p q x x x -⋅+-⎧⎪
=⋅-=⎨+-⋅-⎪⎩
≤＜≤≤ 22802400(125)135000
2250(2550).x x x x x ⎧-++⎪
=⎨-⎪
⎩
≤＜，≤≤ （3）当125x ≤＜时，2
2(20)3200y x =--+． ∴x =20时，y 的最大值为3200元． 当2550x ≤≤时，135000
2250y x
=
-． ∴x =25时，y 的最大值为3150元． ∴该超市第20天获得最大利润为3200元． 7. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，一次函数5
4
y x m =
+的图象与x 轴交于A （－1，0）
，与y 轴交于点C ．以直线x =2为对称轴的抛物线21:(0)C y ax bx c a =++≠经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B ． （1）（3分）求m 的值及抛物线21:(0)C y ax bx c a =++≠的函数表达式；
（2）（5分）设点25(0)12
D ，，若F 是抛物线21:(0)C y ax bx c a =++≠对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值
的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线1C 于111222()()M x y M x y ，，，两点，试探究1211
M F M F
+
是否为定值？请说明理由； （3）（4分）将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线2221
:(),14
C y x h h =-->，若当1x m ＜≤时，2y x -≥恒成
立，求m 的最大值．
第24题图
【答案】解：（1）将点A （－1，0）的坐标代入5
4y x m =
+，得54
m =． ∴55
44y x =
+．∴B （0，54
）
．∵抛物线经过A 、B 两点且对称轴是x =2， ∴05
422.a b c c b a
，，
-解得14154
.a b c ，， ∴抛物线2115:44
c y x x =-
++． （2）要使△ADF 周长最小，只需AF ＋DF 最小．
∵A 与B 关于x =2对称，∴只需BF ＋DF 最小． 又∵BF ＋DF ≥BD ，∴F 为BD 与x =2的交点． BD 直线为5251212y x =-
+
，当x
=2时5
4
y =． ∴5
(2)4
F ，．1M F =
∵2111115:44C y x x =-++，21191(2)44y x -=--
，2119
4()
(2)4
y x -
-=-． ∴1M F =
==113
4
y =-．
同理2213
4
M F y =
-． ∴121212121213
()
11112131316913()44164y y M F M F y y y y y y -++=+=
---++． 又∵25(2)4
9(2)4()4
y k x x y ⎧
-=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，，
∴2225
25
(4)90216
y k y k +--+=． ∴2212125254,9216
y y k y y k +=-+
=-+． ∴22121144
144
k M F M F k ++==+． （3）法一：
设2
2y x =-的两根分别为
00x x ，′．
∵抛物线2221:()4C y x h =-
-可以看成由21
4
y x =-左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，00x x ，′的值不断增大，
∴当21,x m y x <≤≥-学习恒成立时，m 最大值在0x ′处取得． ∴当01x =时，对应的0x ′即为m 的最大值． 将01x =代入221
()4
y x h x =-
-=-得2(1)4h -=． ∴31h =或-（舍）．
将3h =代入221()4y x h x =-
-=-有21
(3)4
x x --=-． ∴001
9x x ==，′． ∴m 的最大值为9．
法二：
221
()4
y x h x =---≥，1x m ＜≤恒成立．
化简得22
(24)0x h x h -++≤，1x m ＜≤，恒成立．
设22
()(24)f x x h x h =-++，如图则有(1)0()0.
f f m ⎧⎨
⎩≤，
≤
即22
13(1)(24)0.
h h m h m h <>⎧⎨
-++⎩≤，
≤
13(1)22122 1.
h h h h m h h <>⎧⎪
⎨
+-++++⎪⎩≤，≤≤ ∴22132249m h h +++++=≤≤． ∴m 的最大值为9．
第24题答图
8. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-1,0），B （2,0）C （0,2）三点。

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标；
（3）如图二，设线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，M 为抛物线的顶点，那么在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：
（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-1,0），B （2,0）C （0,2）三点 ∴a-b+c=0 4a+2b+c=0 c=2
解得a=-1，b=1
∴这条抛物线的解析式为y=-x 2+x+2
（2）设P (x ，-x 2+x+2) 四边形ABPC 的面积为S. 连接OP
S= S △AOC + S △OCP + S △OBP
=
)2(22
1
22121212++-⨯+⨯+⨯⨯x x x =1+x-x 2+x+2 =-x 2+2x+3 =-(x-1)2+4 ∵-1＜0
∴当x=1时，四边形ABPC 的面积最大。

当x=1，y=-x 2+x+2=2 ∴P （1，2）
答：当点P 运动到（1，2）的位置时，四边形ABPC 的面积最大。

（3）
y=-x 2+x+2
=-（x-21）2+49 ∴M (21，4
9)
连接AM 交直线DE 于点G ，此时，△CMG 的周长最小。

设直线AM 的函数解析式为y=kx+b ，且过A （-1,0）M (
21，4
9) 根据题意，得⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+-492
10b k b k ，解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==2
323
b k ∴直线AM 的函数解析式为2
323+=x y 在Rt △AOC 中，
22OC AO AC +==2221+=5
∵D 为AC 的中点 ∴AD=
2
5
21=AC ∵△ADE ∽△AOCG ∴
AC
AE
AO AD =
5
125
AE = AE=
2
5
∴OE =AE -AO =2
3125=- ∴E (
2
3
,0) 设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ，且过D （21-
,1）E (2
3,0) 根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-02
312
1
b k b k ，解得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-=432
1b k ∴直线DE 的函数解析式为4
3
21+-=x y
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+=43212
323x b x y 解得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-=16158
3y x ∴G （83-
，16
15
） 设y 与x 的函数解析式为y=kx+b ，A （-1,0）M (
21，4
9) 在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小，此时G （83-
，16
15） 9.如图1，矩形OABC 顶点B 的坐标为（8,3），定点D 的坐标为（12,0）动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长
度沿x 轴的正方向匀速运动，动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，P 、Q 两点同时运动，相遇时停止。

在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR ，设运动时间为t 秒.
(1)当t = 时，△PQR 的边QR 经过点B ；
(2)设△PQR 和矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；
(3)如图2，过定点E (5,0)作EF ⊥BC ，垂足为F ，当△PQR 的顶点R 落在矩形OABC 的内部时，过点R 作x 轴、
y 轴的平行线，分别交EF 、BC 于点M 、N ，若∠MAN =45°，求t 的值.
【答案】解：
(1)由题意可知：AB=AQ =3，QD =1,则t=1
R
P
C
A D B
y
x
O
Q
(2)(Ⅰ)作PF ⊥BC 于F ，则PF=EF=OC=3 OP=2t ，则1
24(223)32
ABEP ABCO OPEC S S S t t =-=-++⨯ 39
6(01)2
ABEP S t t =-+
<≤
x
(Ⅱ)AFGEP OABC OPEC BGF S S S S =--
=211
24(223)3(1)22
t t t -
++⨯-- =21519(12)2
t t t --+<≤
(Ⅲ)AFRP PQR AFQ S S S =- =
2211
(123)(4)42t t --- =27
1428(24)4
t t t -+<<
F
R
P
C
A D
B
y
x
O
Q
(3)
10.给定直线l：y =kx，抛物线C：y =ax2+bx +1．
（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2 +1个单位长度得到直线l’，则无论非零实数k取何值，直线l’与抛物线C都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y =2交于Q点，O为原点，求证：OP = PQ．
【答案】解：
（1）当b=1时，抛物线为：y =ax2+ x +1，
令kx =ax2+ x +1，即：ax2+（1-k）x +1=0，
由韦达定理得：x1+x2 =
1k
a
-
-，因为直线l与抛物线C的两交点关于原点对称，
则x1+x2 =0，∴
1k
a
-
-=0，∴k =1，
∴直线l ：y =x，
∵抛物线顶点A
141
(,)
24
a
a a
-
-在直线l 上，
∴
141
24
a
a a
-
-=，得：a =
1
4
-，
经检验：a =
1
4
-符合方程．
（2）①由题意得：直线l’解析式：y =kx +k2+1
令ax2+bx +1=kx +k2+1
即：ax2+（b-k）x -k2 =0
∵无论非零实数k取何值，直线l’与抛物线C都只有一个交点,
备用图（1）备用图（2）
即不论k取任何非零实数，△=(b-k)2 +4ak2 =0恒成立，
亦即为：(1+4a)k2 -2bk +b2 =0，
令
2
140
20
a
b
b
+=
⎧
⎪
-=
⎨
⎪=
⎩
得：
1
4
a
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴抛物线的解析式：2
1
1
4
y x
=-+
②如图所示，PQ与x轴相交于点E，
不妨设点P（m，2
1
1
4
m
-+），则Q（m，2），OE =m，PE =2
1
1
4
m
-+，
∴PQ =2 -（2
1
1
4
m
-+）=2
1
1
4
m+，则PQ2 =22
1
(1)
4
m+=42
11
1
162
m m
++，
而OP2 =OE2 +PE2 =22242
111
(1)1
4162
m m m m
+-+=++，
∴PQ2 = OP2 ，∴OP = PQ．
11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(1，0)，直线y＝2x－1与y 轴交于点C，与抛物线交于点C，D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A到直线CD的距离；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．
第26题图
x
y
A B
C
D
O
【答案】解：
（1）抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，则可以设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －1)， ∵直线y ＝2x －1与y 轴交于点C ，与抛物线交于点C ，D ．
∴点C (0，－1)，代入y ＝a (x ＋1)(x －1)，得－1＝a (0＋1)(0－1)，解得a ＝1 即抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －1)．
（2）设点A 到直线CD 的垂线的垂足坐标为：M (x ，2x －1)，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x ，0)． ∴AM
=
=
即：AM 2＝2523x x -+＝114555x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭
所以当x ＝1
5
时，AM 2有最小值14
5，即AM ．
∴点A
到直线CD ．
（3）抛物线y ＝(x ＋1)(x －1)的顶点P 的坐标为：(0，－1)，与C (0，－1)重合．所以另一个点Q 和D 点
重合．⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝(x ＋1)(x －1)，解得：01x y =⎧⎨=-⎩、2
3
x y =⎧⎨=⎩．所以Q 的坐标为(2，3)．
点G 在y 轴正半轴上，要使以G ，P ，Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，有3种情况：
①以C 为直角边，显然不存在．
②以G 为直角边，那么QG ⊥y 轴，则G (0，3)，QG ＝2，QC ＝4，直角边不相等，显然不存在．
③以Q 为直角边，PQ
PQ ⊥GQ ，所以GQ 的解析式可设为：y ＝－2x ＋b ，把Q 为(2，3)代入得3＝－2×2＋b ，解得：b ＝7．GQ 的解析式y ＝－2x ＋7，与y 轴的交点G 的坐标为(0，7)
，GQ
PQ ＝GQ ．
所以要使以G ，P ，Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，G 的坐标为(0，7)．
第26题图
12. 某汽车专卖店销售A ，B 两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A 型车和3辆B 型车，销售额为96万元，本周已售出2辆A 型车和1辆B 型车，销售额为62万元。

（1）求每辆A 型车和B 型车的售价各多少万元。

（2）甲公司拟向该店购买A ，B 两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？ 【答案】
22、实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y （毫克百毫升）与时间x （时）的关系可以近似的用二次函数x x y 4002002
+-=刻画，1.5小时后（包括1.5小时）y 与x 可近似的用反比例函数)0(>=
k x
k
y 刻画（如图所示） （1）根据上述数学模型计算；
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当x=5时，y=45，求k 的值。

（2）按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路。

参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨7:00能否驾车去上班？请说明理由。

第26题图
y
【答案】
13. 在平面直角坐标系中，A 是抛物线2
2
1x y
上的一个动点，且点A 在第一象限内，AE ⊥y 轴于点E ，点B 的坐标为（0,2）直线AB 交X 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连接BD,设线段AE 的长为m ，△BED 的面积为S (1)当m=2时，求s 的值
（2）求S 关于m （m ≠2）的函数解析式； （3）①若S=3时，求BF
AF
的值 ②m ＞2时，设
BF
AF
=1，猜想k 与m 的数量关系并证明。

【答案】
(1)∵点A 在二次函数2
1y=
2
x 的图像上，AE ⊥y 轴于点E 且AE=m
∴点A 的坐标为（m ，
2
12
m ） 当
，点A
，1） ∴点B 的坐标为（0,2） ∴BE=OE=1
∵AE ⊥y 轴，∴AE ∥x 轴 ∴△ABE ∽△CBO ∴
1
2
AE BE CO BO == ∴
∵点D 与点C 关于y 轴对称， ∴
∴S=
12 BE •
DO=1
12
⨯⨯=（2）（I ）当0<m<2时，（如图）
∵点D 与点C 关于y 轴对称，∴△BOD ≌△BOC ∵△BEA ≌△BOC ∴△BEA ≌△BOD
∴
BE BO
AE DO =
，即BE • DO=AE • BO=2m S=12 BE • DO=1
2
⨯ 2m=m （Ⅱ）当m>2时（如图2） 同（I ）解法得，S=
12 BE • DO=1
2
⨯ AE • OM= m 由（I ）（Ⅱ）得：
S 关于m 的函数解析式为S=m （m>0,m ≠2）……10分 （3）①如图3，连结AD
∵△BED
∴
∴点A
3
2
） ADF AEF BDF BEF AF
===k BF
S S S S △△△△ ∴ADF S △=k BDF S △，AEF S △=k BEF S △
ADE ADF AEF BDF BEF BDE BDF BEF BDF BEF
ADE
BDE
k ===k 133k=
4S S S S S S S S S S S S ----△△△△△△△△△△△△（）
∴
②k 与m 之间的数量关系为k=
21m 4
如图4，连结AD
∵ADF AEF
BDF BEF
AF
===k
BF
S S
S S
△△
△△
∴
ADF
S
△
=k
BDF
S
△
，
AEF
S
△
=k
BEF
S
△
ADE ADF AEF BDF BEF
BDE BDF BEF BDF BEF
+k+
===k
++
S S S S S
S S S S S
△△△△△
△△△△△
（）
∵点A的坐标为（m，2
1
m
2
），s=m
k=ADE
BDE
S
S
△
△
=
2
2
11
m m1
22=m
m4
•
（m>2）
（其他方法，酌情给分）
14. 如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A
15
(,)
22
和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C。

（1）求抛物线的解析式：
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由。

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标。

【答案】解:（1）把B（4，m）代入直线y=x+2,得
m=6
∴点B 的坐标为（4，6）
把A 15(,)22
、B （4，6）代入抛物线y=ax 2
+bx+6,得
115a b 6
42216a 4b 66
解之得
a 2b
8
∴抛物线的解析式为:y=2x 2
-8x+6
（2）假设存在这样的点P ，设p （n ，n+2），则c(n ，2n 2
-8n+6),
则PC =（n+2）-(2n 2
-8n+6)
= n+2-2n 2
+8n-6
= -2n 2
+9n-4
= -2(n-94
)2+498
∴当n =94时，即P （94，17
4
），PC 的长度最长为498。

(3) ①当∠PAC=90º时(如图第24题（3）答图1)，则AC ⊥AP
∵直线EB 的解析式为:y=x+2，∴可设直线AC 的解析式为: y = -x+b 把A 15(,)22代入得，
52
= 12 + b 解之得: b=3
∴直线AC 的解析式为: y = -x+3
联列直线AC 解析式和抛物线的解析式，得
第24题（3）答图1
C
p
y
2
y x 3
y 2x 8x 6
解之得，
11
x 3y 0
，
2
2
1x 25y 2
∴ C 点的坐标为(3，0) ∵PC ⊥x 轴
∴点P 的横坐标为x=3 。

当x =3 时y=3+2=5 ∴点P(3,5)
②当∠ACP=90º时(如图第24题（3）答图2)，则AC ⊥PC
∵PC ⊥x 轴 ∴AC ∥x 轴
∵抛物线的对称轴x=2，且A 15(,)22
点C 也在抛物线上 ∴点A 与点C 关于直线x=2对称。

∴C 75(,)22
∴点P 的横坐标为x=72 。

当x =72 时y=7
2
+2=112
∴点P 711
(,
)22
③ 因为直线EB 与x 轴相交于点E ，PC x 轴，所以PC 不可能与EB 垂直，即：∠APC 不可以为90º，因此，这种情况不存在点P 。

综合上术，当△PAC 为直角三角形时，点P 的坐标为点P(3,5) 或711
(,
)22
C
p
y
第24题（3）答图2
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
（1）求点M、A、B坐标；
（2）联结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．
考点：二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：压轴题．
分析：（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同
理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据相似三角形对应边成比例
列式求出，再求出∠BAM=90°，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方
程求解即可．
解答：解：（1）抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣3，顶点M（1，﹣3），
令x=0，则y=（0﹣1）2﹣3=﹣2，
点A（0，﹣2），
x=3时，y=（3﹣1）2﹣3=4﹣3=1，
点B（3，1）；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴==，
又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°，
∴tan∠ABM==；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，
∵y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2，
∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），
①点P在x轴的上方时，=，
整理得，3x2﹣7x﹣6=0，
解得x1=﹣（舍去），x2=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②点P在x轴下方时，=，
整理得，3x2﹣5x﹣6=0，
解得x1=（舍去），x2=，
x=时，x2﹣2x﹣2=﹣×=﹣，
∴点P的坐标为（，﹣），
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，﹣）．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点在于作辅助线并分情况讨论．
16. 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F。

（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数。

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明
【答案】
（1）依题意补全图形为：
（2）连接AE
则∠PAB=∠PAB=20°，AE=AB=AD
∵ABCD 是正方形 ∴∠BAD =90° ∴∠EAD =130° ∴∠ADF =25°
（3）连接AE 、BF 、BD
由对称轴的性质可得：EF=BF ，AE=AB=AD ，∠ABF=∠AEF=∠ADF
∴∠BFD=∠BAD=90°
∴BF 2+FD 2=BD
2
∴EF 2+FD 2=2AB 2
25、对某一个函数给出如下定义，若存在实数M>0,对于任意的函数值y ，都满足-M ≤y ＜M ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值，例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1,。

（1）分别判断函数)0(1
>=
x x
y 和y=x+1（-4＜x ≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求出其边界值。

（2）若函数y=-x+1（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围。

（3）将函数2
x y =（-1≤x ≤m ，m ≥0）的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t 当m 在什么范围时满足
4
3
≤t ≤1？ 【答案】 （1）)0(1
>=
x x
y 不是 Y=x+1（-4＜x ≤2）是，边界为3 （2）∵y=-x+1 y 随x 的增大而减小， 当x=a 时，y=-a+1=2 a=-1 当x=b 时，y=-b+1
-2≤-b+1＜2 b ＞a
∴-1＜b ≤3
（3）若m ＞1，函数向下平移m 个单位后，x=0时，函数值小于-1，此时函数的边界值t 大于1，与题意不符，故m ≤1
当x=-1时，y=1 （-1，1） 当x=0时，y min =0 （0,0） 都向下平移m 个单位， （-1，-1-m ） （0，-m ）
1143≤-≤m 或 4
31≤-≤-m ∴410≤≤m 或14
3
≤≤m
17. 如图(1)，在平面直角坐标系中，点A (0,-6)，点B (6，0).Rt △CDE 中，∠CDE =90°，CD =4，43DE =直角边CD 在y 轴上，且点C 与点A 重合. Rt △CDE 沿y 轴正方向平行移动.当点C 运动到点O 时停止运动.解
答下列问题： (1)如图（2），当Rt △CDE 运动到点D 与点O 重合时，设CE 交AB 于点M ，求∠BME 的度数. (2)如图（3）在Rt △CDE 运动过程中，当CE 经过点B 时，求BC 的长.
(3)在Rt △CDE 运动过程中，设AC =h ，△OAB 与△CDE 重叠部分的面积为S ，请写出S 与h 之间的函数关系式，
并求出面积S 的最大值.
x
x
x
图（1） 图（2） 图（3） 【答案】解：(1) ∵A (0,-6)，B (6，0) ∴OA =OB
∴∠OBA =OAB =45°
在Rt
△CDE 中，tan DC DEC DE ∠===
∴∠DEC=30°
∵∠DEC+∠BME=∠OBA ∴∠BME=15°
(2)由题意可知，在Rt △OBC
中，cos OB
OBC BC
∠=
6BC
= ∴BC =
(3)当02h ≤≤时，由题意可知FM = ADN ACM
S S S ∆∆=-
=
211(4)2
2h h +- =2
1484
h h -
++
x 当26
h
<≤-,
AOB ACM
S
S S
∆∆
=-
=
1
18
2
h
-⨯
=2
3
18
2
h
+
-+
x
当66
h
-<≤时,
1
(6))
2
CON
S S h h
∆
==⨯--
=2)
2
h
-
x。