2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练： 数学归纳法(练习+详细答案)大纲人教版

随时训练56 数学归纳法
一、选择题
1.用数学归纳法证明“a
a a a a n n --=++++++1112
12 (a ≠1,n ∈N *)”在验证n=1成立时,左边计算所得项是( )
A.1
B.1+a
C.1+a+a 2
D.1+a+a 2+a 3
解析：当n=1时,左边=1+a+a 1+1=1+a+a 2.
答案：C
2.用数学归纳法证明不等式“64
12721412111>++++-n 成立”，则n 的第一个值应取( ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析：1)21(22
11)21(1--=--=n n
左边，要使64127)21(21>--n 成立，应有n ＞7. 答案：B
3.已知2121111)(n
n n n n f ++++++=
,则( ) A.f(n)中共有n 项，当n=2时，3
121)2(+=f B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，4
13121)2(++=f C.f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，3
121)2(+=f D.f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，4
13121)2(++=f 解析：f(n)的项数为n 2-n+1，当n=2时，413121)2(++=f . 答案：D
4.用数学归纳法证明“对一切n ∈N *，都有2n ＞n 2-2”这一命题，证明过程中应验证( )
A.n=1时命题成立
B.n=1,n=2时命题成立
C.n=3时命题成立
D.n=1,n=2,n=3时命题成立
解析：假设n=k 时不等式成立，即2k ＞k 2-2,当n=k+1时，2k+1=2·2k ＞2(k 2-2),
由2(k 2-2)≥(k+1)2-2⇔k 2-2k-3≥0⇔(k+1)(k-3)≥0⇔k ≥3.
因此需验证n=1,2,3时命题成立.
答案：D
5.已知数列{a n }的各项均为自然数,a 1=1,且它的前n 项和为S n ,若对所有的正整数n,有
S n+1+S n =(S n+1-S n )2成立,通过计算a 2,a 3,a 4,然后归纳出S n ( ) A.2)1(+n n B.2)1(2+n C.2
12-n D.212-n 解析：由已知,得211++=+n n n a S S ,
∴21n n a S S =+-,
两式相减,得2211n n n n a a a a -=+++.
∴a n+1-a n =1,即{a n }是等差数列,公差d=1.∴a 2=2,a 3=3,…,a n =n. ∴2
)1(+=n n S n . 答案：A 6.证明21214131211n n >-+++++
(n ∈N *),假设n=k 时成立,当n=k+1时,左端增加的项数是( )
A.1项
B.k-1项
C.k 项
D.2k 项
解析：当n=k 时,不等式左端为1
214131211-+++++
k ; 当n=k+1时,不等式左端为1
2121121312111-+++-+++++k k k ,增加了121211-+++k k 项,共有(2k+1-1)-2k +1=2k 项. 答案：D
7.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为)3(2
1-n n 条时,第一步验证n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0
解析：边数为n 的初始值是3.
答案：C
8.设函数f(n)=(2n+9)·3n+1+9,当n ∈N *时，f(n)能被m(m ∈N *)整除，猜想m 的最大值为( )
A.9
B.18
C.27
D.36
解析：由f(n+1)-f(n)=36·3n-1(n+6)知m 的最大值为36.
答案：D
9.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=2,a n+1=2a n +a n-1，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除，假设a 4k 能被4整除，应证( )
A.a 4k+1能被4整除
B.a 4k+2能被4整除
C.a 4k+3能被4整除
D.a 4k+4能被4整除
解析：当n=k+1时，应证a 4(k+1)=a 4k+4成立.
答案：D
10.上一个n 级的台阶,若每次可上一级或两级,设上法的总数为f(n),则下列猜想中正确的是
( )
A.f(n)=n
B.f(n)=f(n-1)+f(n-2)
C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)
D.⎩
⎨⎧≥-+-==3),2()1(2,1,)(n n f n f n n n f 解析：当n=1时，只有一种上法,即f(1)=1,当n=2时可分为两类：若每次仅上一层,有一种上法,若每次上两层,也只有一种上法,由加法原理,得f(2)=2.当n ≥3时,可分为两类：若第一次仅上一层,则剩余的n-1层台阶的上法种数为f(n-1);若第一次上两层,则剩余的n-2层台阶的上法种数为f(n-2).由加法原理,得f(n)=f(n-1)+f(n-2).
二、填空题 11.观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
设第n 行的各数之和为S n ,则=∞→2lim
n S n n ____________________________. 解析：第一行1=12,
第二行2+3+4=9=32,
第三行3+4+5+6+7=25=52,
第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.
归纳：第n 行的各数之和S n =(2n-1)2,
∴4)12(lim lim 22=-=∞→∞→n
n n S n n n . 答案：4
12.用数学归纳法证明“2n+1≥n 2+n+2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________________________.
答案：当n=1时，左边=21+1=4,右边=12+1+2=4，左边=右边，不等式成立
13.用数学归纳法证明不等式24
1312111>++++++n n n n 的过程中,由n=k 推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是___________________________. 解析：∵不等式的左边增加的式子是
)22)(1(2111221121++=+-+++k k k k k ,故填)
22)(12(1++k k . 答案：)
22)(12(1++k k 14.如图,第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2个图形中共有________________个顶点.
解析：观察规律：第一个图形有32+3=(1+2)2
+(1+2)；
第二个图形有(2+2)2+(2+2)=42+4；
第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5；
……
第n-2个图形有(n+2-2)2+(n+2-2)=n 2+n 个顶点.
三、解答题
15.已知数列{a n }前n 项和为S n ,且满足S n +a n =2n+1,
(1)写出a 1,a 2,a 3,并推测通项a n 的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论. (1)解：231=
a ,472=a ,8153=a ,猜想：n n a 2
12-=. (2)证明：①当n=1时，2
12231-==a ,命题成立. ②假设n=k 时,命题成立，则k k a 212-=, 当n=k+1时,a 1+a 2+…+a k +2a k+1=2(k+1)+1,且a 1+a 2+…+a k =2k+1-a k ,
∴2k+1-a k +2a k+1=2(k+1)+1=2k+3. ∴k k a 212221-+=+,1
1212++-=k k a , 即当n=k+1时,命题成立.
由①②知对于任意n ∈N *猜想成立 .
16.数列{a n }中,a 1=2,n n n a a a 121+=+,试证：n
a n 122+<<(n ∈N *). 证明：(1)n=1时,a 1=2,1222+<
<显然成立. 又a 1＞0,
∴a n ＞0成立.
(2)假设n=k 时,k a k 122+<
<成立. 当n=k+1时,k
k k a a a 121+=+, ∵a k ＞0且k
k a a 12≠, ∴21221=•>+k
k k a a a ; 又k a k 21222+<,且2
21<k a , ∴1
1222212212++≤++<+k k a a k k , 即11221++<
<+k a k ,n=k+1时命题成立.
综上,对任意的n ∈N *有n
a n 122+<<. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书
【例1】是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在,
求出最大的m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
解：由f(n)=(2n+7)·3n +9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36.
由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k 时,f(k)能被36整除,
即f(k)=(2k+7)·3k +9能被36整除;
当n=k+1时,［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k +9］+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故
18(3k-1-1)
能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f(n)=(2n+7)·3n +9能被36整除,m 的最大值为36.
【例2】用数学归纳法证明n n n +≤++++≤+
2
1213121121 (n ∈N *). 证明：(1)当n=1时,左边=2
3211=+, 23121=+=右边,∴2321123≤+≤,命题成立. (2)假设n=k 时,不等式成立, 即k k k +≤++++≤+2
1213121121 成立. 则当n=k+1时,
k
k k k k 2212211212131211+++++++++++ 2112121212121212111++=++=+++++>+++k k k k k k k
个
, 又k k k k k 2
212211212131211+++++++++++ )1(2
121212121312112++<++++++++<k k k k k k 个
, ∴当n=k+1时，命题成立.
综上,命题得证.。