【易错题】高一数学下期末一模试卷含答案

【易错题】高一数学下期末一模试卷含答案
一、选择题
1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
2．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
73
B ．
8π
3
- C ．83
D ．
7π
3
- 3．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．
53
B ．
103
C ．
56
D ．
116
4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）
174
176
176
176
178
儿子身高y （cm ）
175
175
176
177
177
则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1
B ．y = x+1
C ．y =88+
12
x D ．y = 176
6．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()2
10216()122x
x x f x x ⎧≤≤⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪
> ⎪⎪⎝⎭
⎩，若
关于x 的方程[]()2
()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫
-
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．11,28⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
7．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32
a b
+的最小值是( ) A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
8．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
10．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则
A C +=
A ．90︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒
12．在ABC ∆中，2
cos (,b,22A b c a c c
+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
二、填空题
13．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14
m x y
+≥恒成立的实数m 的范围是__________
14．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知
233a b c
-=
，则222
a c
b ac
+-的取值范围为______. 15．已知函数()(
)
2ln
11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．
16．函数()2
sin sin 3f x x x =+-的最小值为________. 17．若
4
2
x π
π
<<
，则函数3
tan 2tan y x x =的最大值为 ．
18．若1tan 46πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭,则tan α=____________.
19．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为
1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得
△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则
6ω=________.
20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．
三、解答题
21．某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数； （2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价． 22．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；
（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．
23．解关于x 的不等式2
(1)10()ax a x a R -++>∈.
24．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
8
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛． 25．已知满足
(1)求的取值范围； (2)求函数
的值域．
26．已知平面向量a r ，b r
满足1a b ==r r .
（1）1a b -=r r ，求a r 与b r 的夹角；
（2）若对一切实数x ，不等式a xb a b +≥+r r r r 恒成立，求a r 与b r
的夹角θ.
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一、选择题
1．A 解析：A 【解析】
1353333,1a a a a a ++===，5153355
()25522
S a a a a =
+=⨯==，选A. 2．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为
21118222123233π
π-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，
5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.
【详解】
设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()
51002
a a S a +=
==， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556
d =
， 1355522033
a a d ∴=-=-
=. 故选:A. 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断
C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断
D . 【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+
1
2
x 成立，故选C 6．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，21
04
t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
由题意，作出函数()y f x =的图像如下，
由图像可得，10()(2)4
f x f ≤≤=
Q 关于x 的方程[]()2
()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，
设()f x t =，
20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；
且114t =
，2104
t << 又12a t t -=+Q
11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得
()323232a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，对其变形可得326613a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝
⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】
根据题意，正数a ，b 满足321a b +=， 则
()323266663213132?25a b a b a b a b a b b
a b a ⎛⎫⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1
5
a b ==时等号成立. 即
32
a b
+的最小值是25．
本题选择C 选项. 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】
函数()lg f x x x =的定义域为{}
0x x ≠，定义域关于原点对称，
()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；
当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
可采用构造函数形式，令()()()35
lg 1,1
x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】
由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358
()(1)lg(1)350lg(1)311
x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35
lg 1,1
x h x x g x x +=+=
-，画出函数图像，如图：
则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B
【点睛】
本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】
对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .
对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面
ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.
对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以
AB 与平面MNP 相交.
对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .
综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知三边，利用余弦定理可得1
cos 2
B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A
C +的值． 【详解】
在ABC ∆中，5a =Q ，7b =，8c =，
∴由余弦定理可得：2222564491
cos 22582
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯，
b c <Q ，故B 为锐角，可得60B =︒，
18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2
C π
=，得到答案. 【详解】
2
cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B C
C
++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，
sin 0A ≠，故cos 0C =，2
C π
=
.
【点睛】
本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94
m ≤
【解析】 【分析】
由题意将4x y +=代入
14
x y
+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】
由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则
14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y
=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， Q 不等式
14m x y +≥恒成立，9
4
m ∴≤． 故答案为9
4
m ≤． 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．
14．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦
解析：()
()0,2U
【解析】 【分析】
把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即
C 角，从而得B 角的范围，注意2
B π
≠
，由余弦定理可得结论．
=
，所以()
()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，
所以()
2sin cos cos A B C C B =，
即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos C =， 则6
C π
=
，因为cos 0B ≠，所以50,
,226B πππ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
U ，
而2222cos a c b B ac +-=，故()
()2220,2a c b ac
+-∈U .
故答案为：()
()0,2U ． 【点睛】
本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略
cos B 不能等于0.
15．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-
【解析】 【分析】
发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】
因为()()))()2
2
f x f x ln
x 1ln
x 1ln 122x x +-=+++=+-+=，
()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.
故答案为-2 【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.
16．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：13
4
-
【解析】 【分析】
利用换元法，令sin x t =，[]
1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】
令sin x t =，[]
1,1t ∈-，则2
113324
y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12
t =-
时，函数有最小值134-，故答案为13
4-.
【点睛】
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2
sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b
y c x d
+=
+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③
sin cos y a x b x =+
型，可化为)y x φ=+求最值；④形如
()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值
解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,4
2
x
x x π
π
∴∴Q
设2tan t x =
()()()2
2
21412
22
214224811
1
t t t
y t t t t -+-+∴=
=-=---
-≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立
考点：函数单调性与最值
18．【解析】故答案为 解析：75
【解析】
1tan tan 1
7446tan tan 144511tan tan
644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝
⎭
故答案为7
5
.
19．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：…… 解析：
112
π
【解析】
【分析】 由2
x k π
ωπ=+
可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分
析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】
由2
x k π
ωπ=+
，k Z ∈得：()212k x πω
+=
，k Z ∈
1,12A πω⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππ
ωωω
⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r
解得：2
π
ω=
，即12
π
ω=
同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则1447
0A A A A ⋅=u u u u r u u u u u r 232
π
ω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则16611
0A A A A ⋅=u u u u r u u u u u r 352
π
ω∴= 以此类推，可得：()212
n n πω-= 6
112
π
ω
∴=
故答案为：112
π
【点睛】
本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.
20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图 7
【解析】
试题分析：该三棱锥底面是边长为23，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为22
．
考点：三视图．
三、解答题
21．（1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67；（2）
0.1,0.16；（3）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的平均数即为甲部门评分的中位数．同理可得乙部门评分的中位数．（2）甲部门的评分高于90的共有5个，所以所求概率为
550；乙部门的评分高于90的共8个，所以所求概率为850
．（3）市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，且甲部门的评分较集中，乙部门的评分相对分散，即甲部门的评分的方差比乙部门的评分的方差小．
试题解析：解：（1）由所给茎叶图知，将50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故甲样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数估计值是75．
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为
6668
672
+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67． （2）由所给茎叶图知，50位市民对甲，乙部门的评分高于90的比率为
58
0.1,0.165050==，故该市的市民对甲，乙部门的评分高于90的概率的估计分别为0.1,0.16；
（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低，评价差异较大．（注：考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分）． 考点：1平均数，古典概型概率；2统计．
22．（12）2
2
x (y 1)5++=． 【解析】 【分析】
()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；
()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，
从而可得圆的标准方程． 【详解】
解：()121l //l Q ，a 28a 211
+∴
=≠，解得a 4=，
1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，
故直线1l 与2l
的距离d =
=
= ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-， 所以切点A 的坐标为()2,2--，
从而直线AC 的方程为()1
y 2x 22
+=
+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-． 由()1知C e
所以所求圆的标准方程为：2
2
x (y 1)5++=． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．
23．a ＜0时，不等式的解集是（
1
a
，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.
01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1
a
，+∞）；
a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1
a
）∪（1，+∞）．
【解析】 【分析】
讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】
当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()2
2
141a a a ∆=+-=-.
（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()2
10x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠. （2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时1
1a
<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛
⎫--> ⎪⎝
⎭，
此时
11a >，所以原不等式的解集为1
{|1}x x x a
或.
（4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时1
1a
<， 所以原不等式的解集为1
{|1}x x
x a
或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（
1
a
，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.
01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1
a
，+∞）；
a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1
a
）∪（1，+∞）．
【点睛】
本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题．
24．（1）的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为30
5
；（2）乙 【解析】 【分析】 【详解】
(1)根据题中所给数据,则甲的平均数为
,
乙的平均数为,
甲的标准差为,
乙的标准差为,
故甲的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为305
; (2)
,且
,
乙的成绩较为稳定, 故选择乙参加射箭比赛. 考点：平均数与方差 25．(1) (2)
【解析】
试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令
，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最
值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为
由于指数函数
在上单调递增
(2) 由（1）得
令，则
，其中
因为函数开口向上，且对称轴为
函数在
上单调递增
的最大值为，最小值为
函数的值域为
. 26．（1）3
π
（2）θπ= 【解析】 【分析】
（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得
22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立，利用判别式求解即可.
【详解】
（1）∵1a b ==r r
，
21211a b a b ∴-=-⋅+=r r r u r
，
即12a b ⋅=r r ，
∴1cos 2
a b θ=r r ，
∴3
π
θ=
.
（2）不等式a xb a b +≥+r r r r
两边平方可得:22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立，
∴0∆≤，即()2
4cos
412cos 0θθ++≤，
故()2
cos 10θ+≤，
θ=-，
只能cos1
≤≤，
而0θπ
=.
所以θπ
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题.。