2021届全国学海大联考新高考模拟考试(五)理科数学

2021届全国学海大联考新高考模拟考试（五）
理科数学
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U =R ，{}1A x x =≤-，{}
1B x x =≥，则集合()U C A B =（ ）
A. {}
1x x ≥- B. {}
1x x ≤
C. {}
11x x -≤≤
D. {}
11x x -<<
【答案】D 【解析】 【分析】 先求出A
B ，再求出其补集即可．
【详解】解：因为全集U =R ，{}
1A x x =≤-，{}
1B x x =≥ 所以{|1A B x x =≤-或1}x ≥
所以
(){}U
|11A B x x =-<<
故选：D
【点睛】本题考查了集合的并集、补集的运算，属于基础题．
2.设复数z 满足11z
i z
-=+，则z 的虚部为（ ） A. 2i - B. 2
C. i -
D. -1
【答案】D 【解析】 【分析】
设,,z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则，得到1 1a b
b a
-=-⎧⎨-=+⎩，解出即可.
【详解】设,,z a bi a b R =+∈， ∵
11z
i z
-=+，∴1z i zi -=+， ∴1a bi i ai b --=+-， ∴1 1a b
b a
-=-⎧⎨
-=+⎩，
∴0a =，1b =-，则z 的
虚部为1-. 故选：D.
【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的概念，属于基础题.
3.在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若121056120S S -=，则2020S =（ ） A. -4040 B. -2020
C. 2020
D. 4040
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列{}n a 的前n 项和公式，可得{}n S n 为等差数列，由已知求出其公差，进而得到{}n S
n
通项公式，即可得出结论.
【详解】在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ， 则{
}n
S n
是以2018-为首项的等差数列，设其公差为d ， 1210121056120,22,11210
S S
S S d d -=-===，
202020202019,1,20202020
n S S
n S n ∴=-=∴=. 故选：C.
【点睛】本题考查等差数列前n 和基本量的运算，应用等差数列前n 项和的性质是解题的关键，考查计算求
解能力，属于中档题.
4.设M 是ABC 所在平面上的一点，33
022
MB MA MC ++=，D 是AC 的中点，tMB DM =，则实数t 的值为（ ） A.
1
2
B.
13
C. 2
D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
由D 是AC 的中点，可得2MA MC MD +=，由于33
022
MB MA MC +
+=，从而得11+03231MB MA MC MB MD ++==（），所以1
3
MB DM =，可求得t 的值. 【详解】解：因为D 是AC 的中点，所以2MA MC MD +=，
又因为33
022
MB MA MC ++=， 所以11
+03231MB MA MC MB MD ++==（）
， 所以1
3
MB DM =，
因为tMB DM =，所以1
3
t =，
故选：B
【点睛】此题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
5.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ） A. 18种 B. 24种
C. 36种
D. 72种
【答案】A 【解析】 分析】
由于甲乙在同一路口执勤且有一路口需3人，所以甲乙在三人组，第一步给甲乙组选一人，剩余两人为两组，第二步把三组人安排到3个路口即可.
【详解】5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为3,1,1，
又甲、乙在同一路口，先选一个人和甲乙组成一组有1
3C 种选法,剩余两人为两组， 然后安排到3个路口共有1
3
33A =18C 种不同的
安排方法， 故选：A
【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理，排列组合的应用，分组问题，属于中档题.
6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P BD ⊥，则点
1B 和动点P 的轨迹形成的图形的周长是（ ）
A. 32
B. 42
C. 3
3 D. 43
【答案】A 【解析】 【分析】
根据己知条件， 11B P BD ⊥判断P 点在与1BD 垂直的平面上，同时又在正方体表面，得出P 点轨迹，然后求解轨迹长度.
【详解】因为动点P 满足11B P BD ⊥，
所以动点P 的轨迹为过点1B 与直线1BD 垂直的截面与正方体的交线，就是图形中1AB C （除去点1B ）,如图，
所以1B 点和P 点的轨迹形成的图形的周长即为1AB C 的周长，
因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， 所以1AB C
的周长为3=， 故选：A
【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.
7.下列命题中不正确命题的个数是（ ）
①已知a ，b 是实数，则“1133a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”是“33log log a b >”的充分而不必要条件； ②(),0x ∃∈-∞，使23x x <； ③若2020
220200122020(2)(2)(2)x
a a x a x a x =+-+-++-，则2019120202a =⋅；
④若角α的终边在第一象限，则
sin
cos 22
sin
cos
2
2
αα
α
α+的取值集合为{
}2,2-.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B 【解析】 【分析】
由1133a b a b ⎛⎫⎛⎫<⇔> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33log log 0a b a b >⇔>>可判断出①错误，由当0x <时，213x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
可判断出②错误， 由2020
2020220200122020[2(2)](2)(2)(2)x
x a a x a x a x +-=+-+-++-=可求出20191
120202a C =，可得到
③正确，
由2,22k k παππ⎛
⎫
∈+
⎪⎝
⎭
可得
,,24k k k Z α
πππ⎛
⎫∈+∈ ⎪⎝⎭
，然后可判断出④正确. 【详解】因为1133a
b
a b ⎛⎫⎛⎫<⇔> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33log log 0a b a b >⇔>>
所以“1133a
b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”是“33log log a b >”的必要不充分条件，故①错误
因为当0x <时，213x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即23x x >，不存在(),0x ∈-∞使23x x <，故②错误 因为2020
2020220200122020[2(2)](2)(2)(2)x
x a a x a x a x +-=+-+-++-=，
所以201912019
12020220202a C ==⋅，故③正确
因为角α的终边在第一象限，即2,22k k παππ⎛⎫
∈+
⎪⎝
⎭
， 所以
,,24k k k Z α
πππ⎛
⎫∈+∈ ⎪⎝⎭
当k 为奇数时，
2α在第三象限，sin
cos
222
sin cos 22
α
α
αα+=-
当k 为偶数时，
2α在第一象限，sin
cos
222
sin cos 22
α
α
αα+=
所以
sin
cos 22
sin
cos
2
2αα
α
α+的取值集合为{
}2,2-，故④正确
综上：不正确命题的个数是2 故选：B
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，二项式定理，三角函数的概念及其在每个象限符号，属于中档题.
8.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？意思是：“现在有一根金棰，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”假设金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列，则从粗端开始的第三尺的重量是（ ）
A.
B.
C. 斤
D. 3斤
【答案】A 【解析】 【分析】
此问题是一个等比数列{}n a ，设首项为14a =，则52a =，求3a ，根据等比数列的下标和性质计算可得． 【详解】解：依题意可得，此问题是一个等比数列{}n a ，且首项为14a =，则52a = 因为2
315a a a =⋅
所以2
324a =⨯，解得3a =3a =-
故选：A
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.甲、乙、丙三人中，一人是董事长，一人是总经理，一人是秘书，已知：丙的年龄比秘书的大，甲的年龄和总经理不同；总经理的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A. 甲是董事长，乙是秘书，丙是总经理 B. 甲是秘书，乙是总经理，丙是董事长 C. 甲是秘书，乙是董事长，丙是总经理 D. 甲是总经理，乙是秘书，丙是董事长
【答案】C 【解析】 【分析】
由“甲的年龄和总经理不同”和“总经理的年龄比乙小”可以推得丙是总经理，所以丙的年龄比乙小，再由“丙的年龄比秘书的大”，可知乙不是秘书，即可得出结论. 【详解】根据题意，甲和乙都不是总经理，所以丙是总经理， 因为丙的年龄比秘书的大，且比乙的年龄小， 所以乙不是秘书，乙是董事长，所以甲是秘书. 故选：C.
【点睛】本题考查推理和证明，从矛盾中逐渐找到结论是解答此类问题的常用方法，属于基础题. 10.已知函数()()()cos 2f x x R ϕϕ=+∈，若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
且()2f f ππ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，则函数()f x 取得最
大值时x 的可能值为（ ） A.
23
π
B.
6
π C.
3
π D.
2
π 【答案】B 【解析】 【分析】 由()3f x f x π⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
得直线6x π=是函数()f x 的对称轴，可得3k πϕπ=-，k Z ∈，对k 分奇偶讨论可知
()cos(2)3
f x x π
=-，根据余弦函数的最值可得结果.
【详解】因为()3f x f x π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，所以函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，
所以26
k π
ϕπ⨯
+=，k Z ∈，所以3
k π
ϕπ=-
，k Z ∈，
当k 为奇数时，()cos(2)cos(2)33
f x x k x π
π
π=-+=--，
此时1()cos(2)32f π
ππ=--
=-，1()cos(2)2232f πππ=-⨯-=，不满足()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 当k 为偶数时，()cos(2)cos(2)33
f x x k x π
π
π=-
+=-，
此时1()cos(2)32f π
ππ=-=，1()cos(2)2232f πππ=⨯-=-，满足()2f f ππ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
故()cos(2)3
f x x π
=-，
当223
x n π
π-
=()n Z ∈，即6
x n π
π=+
，n Z ∈时，()f x 取得最大值1,
当0n =时，6
x π
=.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数的对称轴、最值，考查了分类讨论思想，属于基础题.
11.已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,126,F F P =是E 右支上的一点，
1PF 与y 轴交于点A ，2PAF ∆的内切圆在边2AF 上的切点为Q ，若AQ =E 的离心率是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线的定义和内切圆的切线性质，圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求的值
【详解】设2PAF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为M ，在AP 上的切点为N
则PM PN =，AQ AN ==22QF MF =
由双曲线的对称性可得：
1222AF AF AQ QF QF ==+=
由双曲线的定义可得
121222PF PF PA AF PM MF QF AN NP PM MF -=+--=++--
2a ==
解得a =
又126F F =，即有3c =
则离心率c
e a
== 故选C
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，结合了三角形内切球，由切线长定理和双曲线定义求出a 的值是本题的关键，综合性较强
12.已知函数()3
3f x x x =-，[]
0,2x ∈，函数()2
4g x x x a =-+，若对于任意[]10,2x ∈，总存在
[]00,2x ∈，使得()()01g x f x =成立，则a 的值为（ ）
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数研究()f x 的单调性，即可求出()f x 的值域，再根据二次函数的性质可得()g x 的值域，最后根据两集合的包含关系得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为()3
3f x x x =-，[]
0,2x ∈，
所以()()()2
33311f x x x x ==+'-- ，可得()0,1x ∈时()0f x '<，即()f x 在区间()0,1上单调递减；
()1,2x ∈时()0f x '>，即()f x 在区间()1,2上单调递增；
又()00f =，12f ，()22f =，
故()[]2,2f x ∈-
因为()()2
2424g x x x a x a =-+=-+-，
所以()g x 在[]0,2上单调递减；()0g a =，()24g a =- 所以()[]4,g x a a ∈-
又因为对于任意[]10,2x ∈，总存在[]00,2x ∈，使得()()01g x f x =成立， 所以[][]42,2,a a --⊆
所以242a a ≥⎧⎨-≤-⎩解得22a a ≤⎧⎨≥⎩
所以2a =
故选：D
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，存在性问题的解法，属于中档题.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.随机变量(
)2
~2,X N σ，且()020.3P X <<=，()4P X >=____________.
【答案】0.2 【解析】 【分析】
先求出(24)0.3P X <<=，再根据()()40.524P X P X >=-<≤得解. 【详解】由题得()02(24)0.3P X P X <<=<<=， 所以()()40.5240.50.30.2P X P X >=-<≤=-=. 故答案为：0.2
【点睛】本题主要考查正态曲线性质及其应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
14.在ABC 中，45C =︒，4AB =，D 为BC 边上的点，且AD =3BD =，则AC =________.
【答案】【解析】 【分析】
利用余弦定理求出cos B ，可得sin B ，在△ABC 中利用正弦定理可得AC ． 【详解】如图，
∵4AB =，13AD =3BD =，
在△ABD 中，余弦定理222169131
cos 22432
AB BD AD B AB BD +-+-===⋅⨯⨯，
∵0πB << ∴3
sin B =
． 由正弦定理：
sin sin AC AB
B C =， 可得：3
426AC ==故答案为：26
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题时要注意合理选择正余弦定理，属于中档题． 15.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，6AB =，6SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是_______________. 3 【解析】 【分析】
根据题中给出的条件可判断出点S 在底面中的射影为三角形的外心，即边AB 的中点．然后再结合所给三棱锥的特点得到球心在棱锥的高上，然后即可建立方程求出R ，然后可得球心到平面ABC 的距离. 【详解】∵三棱锥S ABC -中SA SB SC ==， ∴顶点S 在底面ABC 上的射影D 为ABC ∆的外心， 又ABC ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形， ∴点D 为AB 的中点． ∴SD ⊥平面ABC ．
如上图，设点O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，则OD 的长即为外接球的球心到平面ABC 的距离． 设球半径为R ，则,OB R =OD SD SO SD R =-=-． 由题意得，221
3,332
BD AB SD SB BD =
==-= 在Rt ODB ∆中，有222OB OD DB =+，即222(33)3R R =+，解得23R = ∴33233OD ==
即三棱锥的外接球的球心到平面ABC 3 3【点睛】本题考查的是几何体外接球的问题，解答本题的关键时是确定三棱锥外接球的球心的位置，属于基础题.
16.已知椭圆22
143
x y +=的一条弦为AB ，点P 的坐标为()0,1，且230OA OB OP +-=，则弦AB 的中
点到直线1
4
y =-的距离为_________________. 【答案】1 【解析】 【分析】
设,A B 坐标，根据,A B 在椭圆上以及条件230OA OB OP +-=解出,A B 纵坐标，再根据中点坐标公式得弦AB 的中点纵坐标，最后根据点到直线距离公式得结果. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ,
因为230OA OB OP +-=，所以121220,23x x y y +=+=
因为,A B 在椭圆上，所以2222
1122114343
x y x y +=+=，
所以221144443x y +=，22
11(2)(32)143
x y --+=
相减得123
02
y y =
∴= 因此弦AB 的中点纵坐标为12324y y +=，其到直线14y =-的距离为31
()144
--= 故答案为：1
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.设ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c 且cos 1a B =，sin 2b A =. （Ⅰ）求()sin A C +和边长a ；
（Ⅱ）当22b c +取最小值时，求ABC 的面积.
【答案】（Ⅰ）a =()sin A C +=
（Ⅱ）12
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据条件利用正弦定理化边为角得
1cos 2sin B B =，再根据平方关系解得sin 5
B =，cos B =，回代条件得边长a ，根据诱导公式得()sin A
C +；
（Ⅱ）根据余弦定理化简22b c +为一元二次函数，再根据二次函数性质求最小值，并确定等号取法，最后根据三角形面积公式得结果.
【详解】（Ⅰ）由正弦定理及cos 1a B =与sin 2b A =得：
2sin cos 1R A B =，2sin sin 2R B A =（R 是ABC 的外接圆半径）
两式相除，得
1cos 2sin B
B
=， 设cos B k =，sin 2B k =
∵B 是ABC 的内角，∴sin 00B k >⇒>
∵22sin cos 1B B +=，∴5
k =
∴cos 5B =
，sin 5
B =，
将5
cos 5
B =
代入cos 1a B =，得5a =， ∴()()25
sin sin sin 5
A C
B B π+=-==
. （Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理知22222cos 52b a c ac B c c =+-=+-
∴2
2221992252222b c c c c ⎛⎫+=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭ 当且仅当1
2c =
时，22b c +取得最小值92
. ∴111251sin 52222
ABC S ac B =
=⨯⨯⨯=△ ∴22b c +最小时ABC 的面积为
1
2
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.
18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，60ABC ∠=︒，3AB =，
23AD =，3AP =.
（Ⅰ）求证：平面PCA ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若E 是侧棱PC 上的一点，且BE 与底面ABCD 所成的是为45°，求二面角B AE D --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）85
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由余弦定理得AC 的长，利用勾股定理，证得AC CD ⊥，再由PA ⊥底面ABCD ，得到PA CD ⊥，从而证得CD ⊥平面PCA ，进而得到平面PCA ⊥平面PCD .
（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设PE PC λ=，根据向量的夹角公式，求得13λ=，得到1
3
PE PC =，进而求得平面ABE 和平面AED 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（Ⅰ）在平行四边形ABCD 中，60ADC ∠=︒
，CD =
AD =
由余弦定理得2222cos 1232609AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=+-⨯︒=， 可得222AC CD AD +=，所以90ACD ∠=︒，即AC CD ⊥， 又PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又AC
AP A = 所以CD ⊥平面PCA ，
又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCA ⊥平面PCD .
（Ⅱ）如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A
，)
B
，()0,3,0C
，()
D ，()0,0,3P ，
设PE PC λ=，()01λ≤≤，
因为()0,3,3PC =-，()0,3,3PE λλ=-，
又因为()
BP =-
，所以()
,33BE BP PE λλ=+=--， 又由平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，
所以cos ,||||39BE n BE n BE n ⋅===⋅+， 解得13λ=
，即1
3
PE PC =， 设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，平面AED 的法向量为()2111,,n x y z =， 由()0,1,2AE
=，(
)
3,0,0AB =
，
因为1n AE ⊥，1n AB ⊥，可得20
y z +=⎧⎪=，取1z =，得()10,2,1n =-，
同理可得()
223,2,1n =- ， 由121212cos ,||||5n n n n n n ⋅〈〉=
==⋅
因为二面角B AE D --为钝角，所以二面角B AE D --的余弦值为8517
-
.
【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及空间角的求解与应用，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19.目前，我国老年人口比例不断上升，造成日趋严峻的人口老龄化问题.2019年10月12日，北京市老龄办、市老龄协会联合北京师范大学中国公益研究院发布《北京市老龄事业发展报告（2018）》，相关数据有如下图表.规定年龄在15岁至59岁为“劳动年龄”，具备劳动力，60岁及以上年龄为“老年人”，据统计，2018年底北京市每2.4名劳动力抚养1名老年人.
（Ⅰ）请根据上述图表计算北京市2018年户籍总人口数和北京市2018年的劳动力数；（保留两位小数） （Ⅱ）从2014年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，比照2018年户籍老年人人口年龄构成，预计到2020年年底，北京市90以上老人达到多少人？（精确到1人） （附：对于一组数据()()()1122,,,,
,,n n u v u v u v 其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计
分别为：1
2
2
1
ˆn
i i i n
i
i u v nu v
u
nu β
==-⋅=-∑∑，ˆˆv u α
β=-.227⨯，62111.0218.98224.78124.8+⨯+⨯+⨯=） 【答案】（Ⅰ）1374.41万人837.84万人（Ⅱ）59878人. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由图表数据及题意计算可得；
（Ⅱ）设2014年是第1年，第x 年老年人口为y 万人，可得如下表格；依题意设ˆˆy
bx a =+，根据所给数据求出x ，y ，求出ˆb
、a ，即可得得到回归直线方程，再将7x =代入计算可得； 【详解】解：（Ⅰ）2018年北京市老年人349.1万人，占户籍总人口的25.4%，所以北京市2018年户籍总人口
349.1
1374.4091374.4125.4%
=≈万人；
2018年北京市“老年人”有349.1万人，每2.4名劳动力抚养1名老年人，故北京市2018年的劳动力数为
349.1 2.4837.84⨯=万
（Ⅱ）设2014年是第1年，第x 年老年人口为y 万人，则
x 1 2 3 4 5 y
296.7
313.3
329.2
333.3
349.1
由于从2014年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，设ˆˆy
bx a =+ 则3x =， 3.313.329.233.349.1121.6
300300324.3255
y -++++=
+=+=.
1
222222
2
2
1
1296.72313.33329.24333.35349.153324.32
ˆ1234553n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==-⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==
++++-⨯-∑∑
4989.64864.8124.8
12.481010
-=
==
得ˆˆ324.3212.483286.88a
y bx =-=-⨯= ∴ˆ12.48286.88y
x =+ 当7x =时，374.24y =
∴北京市2020年年底的老年人人数约为374.24万人， 90以上老人占1.6%，374.24 1.6% 5.98784⨯=万人≈59878人 答：预计到2020年年底，北京市90以上老人约为59878人.
【点睛】本题考查统计图表的应用，最小二乘法求回归直线方程以及利用回归方程预测数据，考查计算能力，属于基础题.
20.在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l y =与抛物线()2
:20C y px p =>交于M ，抛物线C 的焦点为F ，
且1MF =.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）设点Q 是抛物线C 上的动点，点D ，E 在y 轴上，圆()2
211x y -+=内切于三角形QDE ，求三角形QDE 的面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）2
2y x =（Ⅱ）8 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据抛物线的定义得到点M 的坐标，将其代入抛物线方程即可得到结果；
（Ⅱ）设()00,Q x y ，()0,D b ，()0,E c 且b c >，利用直线QD 与圆()2
211x y -+=相切可得
()2000220x b y b x -+-=，同理可得()2000220x c y c x -+-=，所以b ，c 是方程
()2000220x x y x x -+-=的两根.利用根与系数的关系求出|b c|-，再根据三角形面积公式与基本不等式
可得答案.
【详解】（Ⅰ）因为直线:1l y =与抛物线()2
20y px p =>交于M ，且1FM =.
根据抛物线的定义可知，()||12M p x MF --==，所以12M p x =-，所以(1,1)2
p
M -， 所以2
12(1)2
p
p =-
，因为0p >，所以解得1p =， ∴抛物线方程为2
2y x =.
（Ⅱ）设()00,Q x y ，()0,D b ，()0,E c 且b c >， ∴直线QD 的方程为00
y b
y x b x -=
+，即()0000y b x x y bx --+=， 由直线()0000y b x x y bx --+=与圆()2
211x y -+=相切，
1=，注意到0
2x >，
化简得()2
000220x b y b x -+-=，
同理得()2
000220x c y c x -+-=
所以b ，c 是方程()2
000220x x y x x -+-=的两根，
所以0022y b c x +=-
-，0
02
x bc x =-
-，
所以||b c -
==
0022
x x ==-， ∴()0000002114
||2482222
QDE x S b c x x x x x =
-==-++≥--△（当且仅当04x =时等号成立） 因此三角形QDE 的面积的最小值为8.
【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与圆相切的位置关系、根与系数关系、三角形的面积公式、基本不等式、运算求解能力，属于中档题.
21.已知函数()x
f x e =，x ∈R ，()()
2
1ln g x x x =+.
（Ⅰ）求函数()g x 的导函数()g x '的零点个数；
（Ⅱ）若()0,x ∈+∞时，()()12ax f ax g x +≥⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）零点的个数是0.（Ⅱ）2
a e
≥ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出()g x '，令()0g x '=，得222ln 10x x x ++=，设()2
2
2ln 1F x x x x =++，转化为求()F x 的
零点个数，通过求导求出单调区间，极值最值即可得出结论；
（Ⅱ）()0,x ∈+∞时，()()12ax f ax g x +≥⎡⎤⎣⎦，等价转化为()
()221ln 1ln ax
ax
e e
x x +≥+恒成立，设
()()1ln h x x x =+，等价于()()2ax h e h x ≥，利用二次求导得出()h x 在()0,∞+上递增，所以只需求出2max 2ln (
)ax x
e x a x
≥⇔≥，即可求出a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵()()
2
1ln g x x x =+
∴()212ln x g x x x x
+'=+，其定义域为()0,∞+
令()0g x '=，得21
2ln 0x x x x
++=，即222ln 10x x x ++=
设()2
2
2ln 1F x x x x =++，则()()4ln 1F x x x '=+，
()1
0F x x e
'=⇒=
∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上()0F x '<，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上()0F x '>
∴()F x 在10,
e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，()F x 在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭单调递增， ∴()2
2
11
0e F x F e e -⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭
， ∴函数()F x 没有零点，
∴()g x 的导函数()g x '零点的个数是0.
（Ⅱ）()()()
2
[()1]2121ln ax
ax f ax g x ax e x x +≥⇔+≥+
()()()()222211ln 1ln 1ln ax ax ax ax e x x e e x x ⇔+≥+⇔+≥+，
令()()1ln h x x x =+，则()1ln x h x x x
+'=+
， 令()1ln x u x x x +=+，()22111x u x x x x -'=-=， ()0,01,()0,1u x x u x x '<<<'>>，
所以()h x '在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
∴()()120h x h ''≥=>
∴()()1ln h x x x =+在()0,∞+上递增.
∵()()221ln 1ln ax ax e e
x x +≥+等价于()()2ax h e h x ≥，即2ax e x ≥， ∴22ln 2ln ax x e x ax x a x
≥⇔≥⇔≥. 设()ln x p x x
=
，()0,x ∈+∞， 则()21ln 0x p x x -'==，得x e =， ()p x 在()0,e 时递增，()p x 在(),e +∞时递减
∴()()1p x p e e ≤=，∴2a e
≥ ∴实数a 的取值范围为2a e ≥. 【点睛】本题考查函数导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点、不等式恒成立等基础知识，构造函数多次求导是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理以及数学计算能力，属于较难题.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程选讲.
22.平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为32x s y s =-⎧⎨=-+⎩
（s 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos ρθ=
-，()R θ∈，直线与曲线C 交于A ，B 两点.
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P 的极坐标为24π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求PA PB ⋅的值.
【答案】（Ⅰ）l 的普通方程为：10x y +-=；曲线C 的直角坐标方程为2
212x y +=. （Ⅱ）56
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由直线l 的参数方程能求出l 的普通方程，由曲线C 的极坐标方程转为2222cos 2ρρθ-=，能求出曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）P 的角坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l
的参数方程为122122
x y ''⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t '为参数），代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理可得结果. 【详解】（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为32x s y s =-⎧⎨=-+⎩
（s 为参数）， ∴l 的普通方程为：10x y +-=；
又∵曲线C 的极坐标方程为2222cos ρθ=
-，即2222cos 2ρρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为222222x y x +-=，
即曲线C 的直角坐标方程为：2
212
x y +=. （Ⅱ）点P
的极坐标为24π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，其直角坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l
的参数方程为122122
x t y ''⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数） 代入曲线C
的直角坐标方程得2112202222t ⎛⎫⎛⎫''-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即235024
t ''+-=， ∴1256
PA PB t t t t ''''⋅=⋅=⋅=. 【点睛】本题考查直线的普通方程和曲线的直线坐标方程的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，属于中档题.
选修4-5：不等式选讲.
23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>.
（Ⅰ）若1a b ==时，解不等式()2f x x ->；
（Ⅱ）若()f x 的值域是[
)4,+∞，若1111
k a b +≥++恒成立，求k 的最大值. 【答案】（Ⅰ）{2x x 或}0x ≤（Ⅱ）23 【解析】
【分析】
（Ⅰ）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再分类列不等式，最后解不等式求结果;
（Ⅱ）先根据绝对值三角不等式得()f x 的最小值，根据条件可得4a b +=，再利用1的代换求
1111
a b +++最小值，即得k 的取值范围，进而可得结果.
【详解】解：（Ⅰ）∵1a =，1b = ∴()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩
当1x ≥时，()2f x x ->化为2x >，不等式的解为2x >；
当11x -<<时，()2f x x ->化为220x x ->⇒<，不等式的解为10x -<<；
当1x ≤-时，()2f x x ->化为2323x x ->⇒<-
，所以不等式的解为1x ≤-； 综上所述，不等式的解集为{2x x 或}0x ≤（
（Ⅱ）∵()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b =-++≥--+=+，
当且仅当()()0x a x b -+≤时取“=”号
又()f x 值域是[
)4,+∞， ∵4a b +=，∵0a >，0b >.∴
∴4116a b a b +=⇒+++=
∵(
)1111112241111a b a b a b b a ++⎛⎫⎛⎫+++⋅+=++≥+≥
⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ （当且仅当1111
b a a b ++=++，即2a b ==时取“=”号） ∴112113
a b +≥++，当且仅当2a b ==时取“=”号.
又
11
11
k
a b
+≥
++
恒成立，∴
2
3
k≤
∴k的最大值是2 3
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、根据绝对值三角不等式求最值以及利用基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题.。