2018届高三数学 第42练 高考大题突破练—数列

第42练高考大题突破练——数列
n n n
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.
2．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝a n＋1
S n S n＋1
，求数列{b n}的前n项和T n.
3．已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项和，且4S n＝a2n＋2a n－3.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)已知b n＝2n，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的值．
4.在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N *
)．
(1)求a n ，S n ；
(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1
－1
504
成立的最小正整数n 的值．
5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝1
2.
(1)当n ∈N *
时，求f (n )的表达式；
(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *
，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (3)设b n ＝(9－n )
f (n ＋1)f (n )
，n ∈N *
，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．
答案精析
1．解 (1)因为2S n ＝3n
＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n >1时，2S n －1＝3
n －1
＋3，
此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n
－3n －1
＝2×3
n －1
，
即a n ＝3
n －1
，
显然a 1不满足a n ＝3n －1
， 所以a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝1，
3n －1
，n >1.
(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝1
3，
当n >1时，b n ＝3
1－n
log 33
n －1
＝(n －1)·3
1－n
，
所以T 1＝b 1＝1
3
.
当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n
]，
所以3T n ＝1＋[1×30
＋2×3－1
＋3×3－2
＋…＋(n －1)×3
2－n
]，
两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n
＝23＋1－31－n
1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ， 所以T n ＝1312－6n ＋3
4×3n .
经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋3
4×3
n .
2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8. 又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，a 4＝8
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝8，a 4＝1
(舍去)．
由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2， 故a n ＝a 1q
n －1
＝2
n －1
(n ∈N *
)．
(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝2n
－1，
又b n ＝
a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1
S n ＋1
， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝⎝
⎛⎭⎪⎫1S 1
－1S 2
＋⎝
⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3
＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1
＝1S 1－1S n ＋1
＝1－
1
2n ＋1
－1
.
3．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－3
4.
解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2
n ＋2a n －3，① 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.② ①－②，得4a n ＝a 2
n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)， 即a 2
n －a 2
n －1－2(a n ＋a n －1)＝0. ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2 (n ≥2)，
∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.
(2)T n ＝3×21
＋5×22
＋…＋(2n ＋1)·2n
，③ 2T n ＝3×22
＋5×23
＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1
，④
④－③，得
T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1
＝－6＋8－2·2n ＋1
＋(2n ＋1)·2
n ＋1
＝(2n －1)2
n ＋1
＋2.
4．解 (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －1
2(n ≥2)，
两式作差得a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1
a n
＝2(n ≥2)， 由a 1＝S 1＝a 2－12＝12，得a 2＝1，∴a 2
a 1＝2，
∴数列{a n }是首项为1
2，公比为2的等比数列．
则a n ＝12·2n －1＝2n －2
，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12.
(2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n
－2＝n －2， ∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，
即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2
，
∴c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2
＝
1n ＋1－1n ＋2
＋2n －2
， ∴T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1
n ＋2)
＋(2－1
＋20
＋…＋2
n －2
)
＝12－1
n ＋2＋12(1－2n
)1－2 ＝12－1n ＋2－12＋2n －1 ＝2
n －1
－
1n ＋2. 由4T n >2n ＋1
－1
504
， 得4(2n －1
－
1n ＋2)>2n ＋1
－1504
. 即
4n ＋2<1
504
，n >2 014. ∴使4T n >2n ＋1
－
1
504
成立的最小正整数n 的值为2 015. 5．(1)解 令x ＝n ，y ＝1， 得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝1
2f (n )，
∴{f (n )}是首项为12，公比为1
2的等比数列，
∴f (n )＝(12
)n
.
(2)证明 设T n 为{a n }的前n 项和， ∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12
)n
，
∴T n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12
)n
，
12T n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(1
2)n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ×(12
)n ＋1
，
＝1－(12)n －n ×(12)n ＋1
，
∴T n ＝2－(12)n －1－n ×(12)n
<2.
(3)解 ∵f (n )＝(12)n
，
∴b n ＝(9－n )
f (n ＋1)
f (n )
＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n
2.
∴当n ≤8时，b n >0； 当n ＝9时，b n ＝0； 当n >9时，b n <0.
∴当n ＝8或n ＝9时，S n 取得最大值．。