数列求和练习(奇偶项)

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数列综合(奇偶项)
一．选择题(共1小题）
1．设｛a n }是公比为q 的等比数列,其前n 项的积为T n ，并且满足条件：a 1＞1，a 99a 100﹣1＞0，
a 99−1
a 100−1
＜0．给
出下列结论：①0＜q ＜1；②T 198＜1;③a 99a 101＜1；④使T n ＜1成立的最小的自然数n 等于199．其中正确结论的编号是（ ） A ．①②③
B ．①④
C ．②③④
D ．①③④
二．填空题（共1小题）
2．已知函数f （n ）={n 2(当n 为奇数时)
−n 2
(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )+f （n +1），则a 1+a 2+a 3+…+a 100等于 ．
三．解答题（共20小题）
3．各项均为正数的等比数列{a n ｝满足a 2＝3，a 4﹣2a 3＝9． （1)求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝(2n ﹣1）•log 3a 2n +2(n ∈N ＊）,数列{
1
b n
}的前n 项和为T n ，证明:T n ＜1
2．
4．已知数列｛a n }的前n 项和S n =n 2−2kn （k ∈N ＊
）,S n 的最小值为﹣9． （1)确定k 的值，并求数列｛a n }的通项公式；
（2)设b n =(−1)n ⋅a n ，求数列｛b n ｝的前2n +1项和T 2n +1． 5．已知数列{a n }满足a 1＝2,a n+1+2a n =(−1)n （n ∈N *）． (Ⅰ）求证：数列{a n −(−1)n }是等比数列;
（2）设b n =−2n
a n a n+1
,数列{b n ｝的前n 项和为T n ，若T n ＜m 对任意n ∈N ＊
恒成立，求实数m 的取值范围．
6．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和,满足a 2＝5，S 5＝35，T n 是数列｛b n }的前n 项和,满足T n ＝2b n ﹣1(n ∈N *)．
(Ⅰ）求数列{a n｝，｛b n｝的通项公式；
(Ⅱ)令c n={2
S n，n=2k−1
a n
b n，n=2k
(k∈N∗)，设数列｛c n}的前n项和P n,求P2n的表达式．7．等差数列｛a n}前n项和为S n,且S4＝32，S13＝221．
（1)求{a n｝的通项公式a n；
（2）数列｛b n}满足b n+1−b n=a n(n∈N∗)且b1＝3，求{1
b n
}的前n项和T n．
8．设数列｛a n｝满足a1=1，a n+1=4
4−a n（n∈N＊）
（1）求证：数列｛1
a n−2
｝是等差数列；
(2)设b n=
a2n
a2n−1，求数列{b n}的前n项和为T n．
9．设数列{a n｝的前项n和为S n,且满足a n−1
2
S n−1=0(n∈N∗)．
（1）求数列{a n｝的通项公式；
（2)是否存在实数λ，使得数列｛S n+（n+2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．10．已知数列｛a n｝为等差数列,公差d≠0，{a n｝的部分项组成下列数列：a k1，a k2,…，a kn，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+k n．
11．已知数列｛a n}中a1＝1，且a2k＝a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1＝a2k+3k，其中k＝1，2，3，…．（I）求a3，a5;
（II）求｛a n｝的通项公式．
12．设数列｛a n｝的首项a1=1
2，且a n+1={
1
2
a n(n为偶数)
a n+14(n为奇数)
，记b n＝a2n﹣1−
1
4（n∈N
＊）b n＝a2n
﹣1
−
1
4（n∈N
＊）．
(1）求a2，a3；
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（2）证明：{b n ｝是等比数列； (3)求数列{
3n+1b n
}的前n 项和T n ．
13．S n 为数列｛a n ｝的前n 项和．已知a n ＞0，2S n =a n+12
−a n+1−2,且a 1＝2．
（1)求{a n }的通项公式
（2）设c n =(−1)n a n 2
，求c 1+c 2+…c 2018的值．
14．设等差数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，已知b 2＝4，S 5＝30． （Ⅰ）求{b n ｝的通项公式；
（Ⅱ）设a n ＝b n cos n π，求数列｛a n ｝的前30项和T 30． 15．已知数列｛a n }中，a 1＝1，a 2＝4，a n +1＝4a n ﹣3a n ﹣1（n ≥2）． （Ⅰ）证明：｛a n +1﹣a n }为等比数列,并求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =(3
n
2−a n )(−1)n n ，求{b n }的前n 项的和S n ．
16．已知数列{a n ｝,满足a 1＝1，2a n a n +1+3a n +1＝3a n ； （1）求｛a n ｝的通项公式；
（2）若c n =(−1)n+11
a n a n+1
，求｛c n }的前2n 项的和T 2n
17．已知S n 为数列｛a n }的前n 项和，S n =2a n −2(n ∈N +)，数列{b n ｝满足2b n =S n+1−S n (n ∈N +)． （Ⅰ）分别求数列｛a n }，｛b n }的通项公式;
（Ⅱ）若c n =a n +(−1)n b n ，求数列｛c n }的前2n 项和T 2n ．
18．已知等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ，数列{b
n n
}是公差为1的等差数列,若a 1＝2b 1，a 4﹣a 2＝12，S 4+2S 2＝3S 3． （I ）求数列{a n },｛b n ｝的通项公式;
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（II ）设c n ={n
b n (n+2)
(n 为奇数)2a n
(n 为偶数)，T n 为{c n }的前n 项和,求T 2n ．
19．已知等差数列{a n }的前n 项和味S n ，a 1＞0,a 1•a 2=32
，S 5＝10． （1)求数列{a n ｝的通项公式；
（2）记数列b n ={2a n ，n 为奇数
a n ，n 为偶数,求数｛
b n }的前2n +1项和T 2n +1．
20．已知等差数列{a n ｝满足a 3＝7，a 5+a 7＝26． （1）求数列{a n ｝的通项公式；
（2）若b n ＝（﹣1)n a n a n +1，求数列｛b n ｝的前2n 项的和S 2n ． 21．已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n 满足S n ＝2a n ﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n ｝的通项公式;
（Ⅱ)求数列b n =(−1)n
+12
a n +3（n ∈N ＊）的前2n 项的和T 2n ．
22．已知数列｛a n }满足a 1＝3，a n+1=2a n +(−1)n (3n +1)． (1)求证：数列{a n +(−1)n n}是等比数列; (2）求数列｛a n }的前10项和S 10．
参考答案与试题解析一．选择题(共1小题）
1．【解答】解：∵a99a100﹣1＞0，∴a12•q197＞1，∴（a1•q98)2＞1∵a1＞1，∴q＞0,又∵a99−1
a100−1
＜0∴a99＞1,a100＜1．∴0＜q＜1，即①正确，又∵T198＝a1198•q1+2+…+197＝（a99•a100）99＞1
∴②不正确,a99a101＝a1002＜1,∴③正确；满足T n=a1⋅q n−1
2＜1的最小自然数n满足
n−1
2
=99，即n＝199，
∴④正确．∴正确的为①③④故选:D．二．填空题（共1小题）
2．【解答】解:∵a n＝f（n）+f（n+1）∴由已知条件知，a n={n2−(n+1)2=−(2n+1)n是奇数−n2+(n+1)2=2n+1n是偶数
∴a n=(−1)n⋅(2n+1)，∴a n+a n+1＝2（n是奇数）
∴a1+a2+a3+…+a100＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝2+2+2+…+2＝100故答案为:100三．解答题（共20小题)
3．【解答】解:（1）设等比数列｛a n｝的公比为q，q＞0，由a2＝3，a4﹣2a3＝9得3（q2﹣2q）＝9，
解得q＝3或q＝﹣1．因为数列｛a n}为正项数列，所以q＝3，所以，首项a1=a2
q
=1，
故其通项公式为a n＝3n﹣1，n∈N＊；
（2）证明：由（1）得b n＝(2n﹣1）•log3a2n+2＝（2n﹣1）log332n+1＝(2n﹣1）(2n+1），
所以1
b n =
1
(2n−1)(2n+1)
═
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
），即有前n项和S n=
1
2（1−
1
3
+13−15+⋯+1
2n−1
−1
2n+1）
=12(1−1
2n+1)＜1 2．
4．【解答】满分（12分)．解:(1）由已知得S n=n2−2kn=(n−k)2−k2,
因为k∈N*，当n＝k时，(S n)min=−k2=−9,故k＝3；所以S n=n2−6n．因为S n−1=(n−1)2−6(n−1)，
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（n ≥2)，所以a n =S n −S n−1=(n 2−6n)−[(n −1)2−6(n −1)]，得a n ＝2n ﹣7（n ≥2）． 当n ＝1时,S 1＝﹣4＝a 1，综上,a n ＝2n ﹣7． （2)依题意,b n =(−1)n ⋅a n =(−1)n (2n −7)， 所
以
T 2n+1=5−3+1+1−3+5+⋯⋯+(−1)2n (4n −7)+(−1)2n+1[2(2n +1)−
7]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=5−(2+2+⋯+2)︸n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝5﹣2n ．
5．【解答】（Ⅰ)证明：
a n+1−(−1)n+1a n −(−1)n
=
−2a n +(−1)n −(−1)n+1
a n −(−1)n
=
−2a n +2(−1)n a n −(−1)n
=−2，……（3分）
且首项a 1+1＝3≠0，∴数列{a n −(−1)n }是等比数列．
（Ⅱ解：b n =−2n
a n a n+1=−2n
(−1)n−1(3×2n−1−1)(−1)n (3×2n −1)=2n
(3×2n−1−1)(3×2n −1)=23(13×2n−1−1−13×2n −1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴T n =23(12−13×2n
−1
)＜1
3， ∴m ≥1
3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列S 5＝35，∴S 5=
5(a 1+a 5)
2
=35，a 3＝7,∵a 2＝5，∴d ＝2， ∴a n ＝a 2+（n ﹣2）•2＝2n +1．当n ＝1时 T 1＝2b 1﹣1,∴b 1＝1．当n ≥2时 T n ﹣1＝2b n ﹣1﹣1
又∵T n ＝2b n ﹣1,∴b n ＝2b n ﹣2b n ﹣1b n ＝2b n ﹣1∴｛b n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴b n =2n−1． （Ⅱ）∵S n =
n(a 1+a n )
2=n(n +2)，∴2S n =2n(n+2)=1n −1n+2
设前2n 项中奇数项的和为A n ，偶数项的和为B n A n =1−1
3+1
3−1
5+1
5−⋯+1
2n−1−1
2n+1=1−1
2n+1=
2n
2n+1
．B n =a 2b 2+a 4b 4+⋯+a 2n b 2n =5×21+9×22+⋯+(4n +1)×22n−1①4B n =5×22+9×23+⋯+(4n +1)×22n+1②，
①﹣②得： −3B n =5×21+4×(23+25+⋯+22n−1)−(4n +1)×22n+1．−3B n =5×21+4×
23
−22n−1
⋅4
1−4
−(4n +1)×22n+1，
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−3B n =5×21
+4×(−83+
2
2n+1
3
)−(4n +1)×2
2n+1
−3B n =−23+(13−4n)⋅22n+1B n =
(12n−1)⋅2
2n+1
9
+
29．∴P 2n =(12n−1)⋅2
2n+1
9
+2
9+
2n
2n+1
． 7．【解答】解:（1)等差数列{a n }的公差设为d ，前n 项和为S n ，且S 4＝32，S 13＝221．可得4a 1+6d ＝32，13a 1+78d ＝221，解得a 1＝5,d ＝2，可得a n ＝5+2(n ﹣1）＝2n +3；
（2）由b n +1﹣b n ＝a n ＝2n +3，可得b n ＝b 1+（b 2﹣b 1）+(b 3﹣b 2)+…+(b n ﹣b n ﹣1） ＝3+5+7+…+2n +1=1
2n （2n +4）＝n (n +2），
1
b n
=12(1n −
1
n+2
）,
则前n 项和T n =1
2(1−1
3+1
2−1
4+1
3−1
5+⋯+1
n−1−1
n+1+1
n −1
n+2）=1
2（32
−1n+1
−
1
n+2
）．
8．【解答】解：(1）由a 1=1，a n+1=4
4−a n ．可得2−a n
2a n −4=−1
2为常数，
从而可得数列{
1
a n −2
｝是﹣1为首项,−1
2为公差的等差数列；
（2）由（1）知a n =2n
n+1，则b n =a
2n a 2n −1=4n 2
(2n−1)(2n+1)，=1+1
(2n−1)(2n+1)， 所以：T n =n +12
(1−13
+13
−15
+⋯+
12n−1−12n+1)=n +12(1−1
2n+1
)． 9．【解答】解：(1）当n ＝1时，有a n −1
2S n −1=0(n ∈N ∗)，整理得：a 1−1
2S 1−1=0，
解得：a 1＝2，又由a n −1
2S n −1=0(n ∈N ∗)，可得a n+1−1
2S n+1−1=0(n ∈N ∗)，两式相减得1
2
a n+1−a n =
0，即有a n +1＝2a n ．故数列{a n ｝是以2为首项，2为公比的等比数列．a n =2n ．
（2）由（1）知q ≠1，所以S n =a 1(1−q n )
1−q =2(2n −1)．令b n =S n +(n +2n )λ=(λ+2)2n +λn −2，
为使{b n }为等差数列,则b n 是关于n 的一次函数，所以λ＝﹣2，此时b n ＝﹣2n ﹣2，
当n ＝1时，b 1＝﹣2×1﹣2＝﹣4．当n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1＝﹣2n ﹣2﹣［﹣2（n ﹣1）﹣2]＝﹣2, 所以{S n +(n +2n )λ}是以﹣4为首项，﹣2为公差的等差数列．
10．【解答】解:设{a n}的首项为a1，∵a k1，a k2,a k3成等比数列，∴（a1+4d)2＝a1（a1+16d）．
得a1＝2d，q=a k
2
a k
1
=3．∵a kn＝a1+（k n﹣1）d，又a kn＝a1•3n﹣1，∴k n＝2•3n﹣1﹣1．
∴k1+k2+…+k n＝2（1+3+…+3n﹣1）﹣n＝2×1−3n
1−3
−n＝3n﹣n﹣1．
11．【解答】解：（I）a2＝a1+（﹣1）1＝0，a3＝a2+31＝3．a4＝a3+（﹣1）2＝4，a5＝a4+32＝13,所以，a3＝3，a5＝13．
（II）a2k+1＝a2k+3k＝a2k﹣1+（﹣1）k+3k，所以a2k+1﹣a2k﹣1＝3k+（﹣1）k，
同理a2k﹣1﹣a2k﹣3＝3k﹣1+（﹣1）k﹣1,a3﹣a1＝3+（﹣1）．所以(a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3)++（a3﹣a1）＝(3k+3k﹣1++3）+［（﹣1）k+（﹣1）k﹣1++（﹣1）］,
由此得a2k+1﹣a1=3
2（3
k﹣1)+1
2[(﹣1）
k﹣1］，于是a
2k+1=
3k+1
2
+12(−1)k−1.
a2k＝a2k﹣1+（﹣1）k=3k
2
+12（﹣1）k﹣1﹣1+（﹣1）k=3
k
2
+12（﹣1）k＝1．
{a n}的通项公式为:当n为奇数时，a n=3
n+1
2
2
+(−1)
n−1
2×
1
2
−1；
当n为偶数时,a n=3
n
2
2
+(−1)
n
2×
1
2
−1.
12．【解答】解：（1)a2=a1+1
4
=34，a3=12a2=38
（2)证明：因为b n=a2n−1−1
4,所以b n+1
=a2n+1−14=12a2n−14=12(a2n−1+14)−14=12(a2n−1−14)
即b n+1=1
2
b n而b1=a1−14=14≠0,所以{b n｝是以
1
4
为首项，公比为
1
2
的等比数列
(3）b n=b1(1
2
)n−1=(12)n+1，所以
3n+1
b n
=（3n+1）2n+1
所以T n=(3×1+1)22+(3×2+1)23+⋯+(3n+1)2n+1
2T n=(3×1+1)23+(3×2+1)24+⋯+(3n−2)2n+1+(3n+1)2n+2
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两式相减得：T n =(3n +1)2n+2−3(23+24+⋯+2n+1)−16即T n =(3n −2)2n+2+8
13．【解答】解:（1）可得2S n−1=a n 2−a n −2(n ≥2）两式相减得，2a n =a n+12−a n 2
−a n+1+a n ，
即（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣1）＝0,又a n ＞0,∴a n +1﹣a n ﹣1＝0，即∴a n +1﹣a n ＝1（n ≥2）
由已知可得a 22
−a 2−6=0，a 2＝3,∴a 2﹣a 1＝1,故｛a n }为等差数列，∴a n ＝n +1． （2）a n ＝n +1，∴c n =(−1)n a n 2=（﹣1）2(n +1）2
∴c 1+c 2+⋯c 2018=−22+32−42+52−⋯+20192＝5+9+13+ (4037)
5+4037
2
×1009=2039189． 14．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{b n }的公差设为d ，前n 项和为S n ,b 2＝4，S 5＝30， 可得b 1+d ＝4，5b 1+10d ＝30，解得b 1＝d ＝2，可得b n ＝2n ，n ∈N *；
(Ⅱ）a n ＝b n cos n π={
2n ，n 为偶数
−2n ，n 为奇数
，则数列｛a n }的前30项和T 30＝（﹣2﹣6﹣...﹣2×15）+（4+8+ (2)
30）=1
2×15×（﹣2﹣30）+1
2×15×（4+60）＝240．
15．【解答】证明:（Ⅰ)：∵数列{a n ｝中,a 1＝1，a 2＝4，a n +1＝4a n ﹣3a n ﹣1(n ≥2）, ∴a n +1﹣a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1＝3（a n ﹣a n ﹣1），∵a 2﹣a 1＝4﹣1＝3
∴数列｛a n +1﹣a n ｝是首项为3，公比为3的等比数列,∴a n +1﹣a n ＝3n ， ∴a 2﹣a 1＝31，a 3﹣a 2＝32，…,a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣
1，
∴a n ＝a 1+(a 2﹣a 1）+(a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1)＝1+3+32+33+…+3
n ﹣1
=1−3n 1−3=3n
−1
2
， (Ⅱ)b n ＝（3n 2
−
3n −12
)•（﹣1）n n =1
2•（﹣1）n n ，
当n 为偶数时，S n =1
2
［（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…+（﹣n +1+n ）]=
12×n 2=n
4， 当n 为偶数时，S n =1
2［（﹣1+2)+（﹣3+4)+(﹣5+6)+…+(﹣n +2+n ﹣1)﹣n ］=1
2（
n−1
2
−n ）=−n+1
4,
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∴S n ={n
4
，n 为偶数−n+14，n 为奇数
16．【解答】解:（1)由2a n a n +1+3a n +1＝3a n ,得
1
a n+1
=
1a n
+23，所以
1
a n+1
−
1a n
=2
3，
所以数列{1
a n
}是首项为1，公差为23
的等差数列，所以
1
a n
=1+
23
(n −1)=
2
3n +1
3
,即a n =3
2n+1．
（2)设c 2n−1+c 2n =
1
a 2n−1a 2n
−
1a 2n a 2n+1=(1a 2n−1−1a 2n+1)1
a 2n ,所以1a 2n−1−1a 2n+1=−43
，
即c 2n−1+c 2n =−43⋅
1a 2n ，T 2n =1a 1a 2−1a 2a 3+1a 3a 4−1a 4a 5+⋯+1a 2n−1a 2n −1
a 2n a 2n+1
=−43(1a 2+1a 4+⋯+1a 2n )=−43×n(53+43n+1
3)2=−89n 2−43
n ．
17．解：（I )S n =2a n −2(n ∈N +)∴n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2﹣(2a n ﹣1﹣2），化为：a n ＝2a n ﹣1． n ＝1时,a 1＝2a 1﹣2，解得a 1＝2．∴数列{a n ｝是等比数列，首项与公比都为2．∴a n ＝2n ． ∵数列{b n ｝满足2b n =S n+1−S n (n ∈N +)．∴2b n =a n ＝1＝2n +1，∴b n ＝n +1． （II ）c n =a n +(−1)n b n =2n +（﹣1）n (n +1），
∴数列｛c n ｝的前2n 项和T 2n =2(22n
−1)
2−1+（3﹣2）+（5﹣4)+……+（2n +1﹣2n ）＝22n +1﹣2+n ．
18．【解答】解：（I )等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ，数列{b
n n
}是公差为d ＝1的等差数列，
即有
b n n
=t +n ﹣1，即b n ＝n （t +n ﹣1)，若a 1＝2b 1＝t ，a 4﹣a 2＝12，S 4+2S 2＝3S 3,
可得tq 3﹣tq ＝12,S 4﹣S 3＝2（S 3﹣S 2），即为a 4＝2a 3，即q =
a 4
a 3
=2，解得t ＝2，可得a n ＝2n ;b n ＝n 2； （2）c n ={n b n (n+2)(n 为奇数)2a n
(n 为偶数)，即为c n ={1n(n+2)，n 为奇数21−n ，n 为偶数，
T 2n ＝（c 1+c 3+…+c 2n ﹣1）+（c 2+c 4+…+c 2n ） ＝[
1
1×3
+
13×5
+⋯+
1
(2n−1)(2n+1)
］+（12
+
18
+⋯+
122n−1
)
第11页（共12页） =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）+12(1−14n )1−14
=12−12n+1•12+23（1−14n ）=76−12n+1•12−23•14n ． 19．【解答】解：（1)由条件可得：{a 1(a 1+d)=325a 1+5×42d =10
⇒{a 1(a 1+d)=32a 1+2d =2 消去d 得：a 12+2a 1−3=0，解得a 1＝1或a 1＝﹣3（舍），所以d =12，所以a n =n+12． （2）由（1）得：b n ={2n+12，n 为奇数
n+12，n 为偶数，
所以数列{b n }的前2n +1项和为：T 2n+1=b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n +b 2n+1=2+32+22+52+⋯+2n+12+2n+1=(2+22+23+⋯+2n+1)+(32+52+72+⋯+2n+12)=2(1−2n+1)1−2+32+2n+122⋅n =2n+1+n 2+2n 2
−2 20．【解答】解：（1）等差数列｛a n }满足a 3＝7，a 5+a 7＝26．设首项为a 1,公差为d ，则：{a 3=7a 5+a 7=26
，
{a 1+2d =72a 1+10d =26，解得：a 1＝3,d ＝2．所以：a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n +1． （2）由于：b n ＝（﹣1）n a n a n +1＝（﹣1)n （2n +1)(2n +3)，则:S 2n ＝b 1+b 2+b 3+…+b 2n ，
＝(﹣3）×5+5×7﹣7×9+…﹣（4n ﹣1）（4n +1）+（4n +1）(4n +3），＝4［5+9+13+…+4n +1]，
=4×[5n +
n(n−1)2×4]＝8n 2+12n ． 21．【解答】解:（Ⅰ)S n ＝2a n ﹣1（n ∈N *）．当n ＝1时,a 1＝2a 1﹣1，解得a 1＝1．
n ≥2时,a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），a n ＝2a n ﹣1，
∴数列{a n ｝是以1为首项，2为公比的等比数列,∴a n ＝2n ﹣
1． （Ⅱ）由b n =(−1)n
+12a n +3（n ∈N *） 可知,当n 为奇数时，b n ＝3； 当n 为偶数时，b n ＝a n +3＝2n ﹣
1+3， 则T 2n ＝2+23+……+22n ﹣1+6n =2(4n
−1)4−1+6n =23(4n ﹣1）+6n ．
第12页（共12页）
22．【解答】解:（1）因为a n+1=2a n +(−1)n (3n +1)，
所以a n+1+(−1)n+1(n+1)
a n +(−1)n n =2a n +(−1)n (3n+1)−(−1)n (n+1)
a n +(−1)n n =2[a n +(−1)n n]
a n +(−1)n n =2，
又a 1﹣1＝3﹣1＝2，所以数列{a n +(−1)n n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得a n +(−1)n n =2×2n−1=2n ,故a n =2n −(−1)n n ，
所以S 10
=(2+22+⋯+210)+（1﹣2)+（3﹣4)+…+(9﹣10）=2(1−210
)1−2−5=211−7=2041．。