江苏省华冲中学高三年级数学周练

江苏省华冲中学高三年级数学周练
姓名 班级 学号
一、填空题：（本大题共14题，14×5分=70分）
1．已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫
=<<∈⎨⎬⎩⎭
Z ，，则M N = 。

2．计算2
11
13
3
3324()3
a b
a b ---÷-= 。

（其中0,0a b >>）
3．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ． 4．函数[]sin()(0,3
y x x π
π=+
∈)的单调减区间是 。

5．已知关于x 的不等式2
50ax x a
-<-的解集为M ,若5M ∉,则实数a 的取值范围是 。

6．已知)2
1
(lg ,0)2(lg ),(46)(f f R k x kx x f 则=∈-+
== 。

7．方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = 。

8．向量= (1,2)， = (x,1)， = + ，= - ，若//，则实数x 的值等于 。

9．设奇函数()f x 满足：对x R ∀∈有(1)()0f x f x ++=，则(5)f = ． 10．已知a ∥b ， a =（2，3），b =（-4，m ），又｜c ｜=5，c 与a 的夹角为60°，则（a +b ）·c
的值为 。

11.中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
)]6(6
cos[
-+=x A a y π
(x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最
高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 。

12．在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，若2
2
b c +2
a =,且a
b
=则 ∠C= 。

13．已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为 。

14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过
k 个格点，则称函数 f (x )为k 阶格点函数.下列函数：①x x f sin )(=；②
3)1()(2+-=x x f π；③x
x f )3
1
()(=；④.l o g )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的
有 。

（填上所有满足题意的序号）．
二、解答题：（本大题共5题共80分）
15．(本小题满分15分)
已知集合{}
0822≤--=x x x A ，{}
R m m m x m x x B ∈≤-+--=,03)32(2
2 （1）若]4,2[=⋂B A ，求实数m 的值；
（2）设全集为R ，若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围。

16.(本小题满分15分)
已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集为(0,5)，且()f x 在区间[1,4]-上的最大值为12．
（1）求()f x 的解析式； （2）解关于x 的不等式22(10)5
1()
x m x f x +-+> (0)m <．
17． （本小题满分15分）已知∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长分别为,,a b c ，向量
)cos 1,(sin B B -=与向量)0,2(=夹角θ余弦值为1
2。

(1)求角B 的大小； (2)∆ABC 外接圆半径为1，求a c +范围
A 2
18．(本小题满分17分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。

点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。

设细绳的总长为ym 。

（1）设∠CA 1O= θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为
多长。

19.(本小题满分18分)
已知2x =是函数()()2
()ln 11f x m x x =---的一个极值点． （1）求m ；（2）求函数)(x f 的单调区间；
（3）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实
数a 的取值范围．
答案
一、填空题：（本大题共14题，14×5分=70分）
1． {－1} 2． －6a 3． －2 4．[,]6
π
π 5． [1,25]
6． －8 7． 3 8．21
9． 0 10． 1325-
11．20.5 12．1050
13．1e
14．①②④.
二、解答题：（本大题共6题共80分）
15.解：(Ⅰ)∵]4,2[-=A ， ],3[m m B -= ]4,2[=⋂B A ,
∴ ⎩⎨⎧≥=-4
23m m ∴5=m
(Ⅱ) },3{m x m x x B C R >-<=或
∵[B A R ⊆ ∴43,2>--<m m 或， ∴27-<>m m 或
16．解：⑴
()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5)，∴可设()(5)f x a x x =-(0)
a > ()
f x ∴在区间
[1,4]
-上最大值是
(1)612
f a -==.
2a ∴=.2()2(5)210f x x x x x ∴=-=-.
⑵由已知有
25
0210mx x x
+>-.(5)(5)0x x mx ∴-+>.又0m <，5
(5)()0x x x m
∴-+<.
（i ）若10m -<<，则55m <-，0x ∴<或5
5x m <<-.（ii ）若1m =-，则0x <.
（iii ）若1m <-，则55m -<，0x ∴<或5
5x m
-<<.
综上知：当10m -<<时，原不等式的解集为5|05x x x m ⎧
⎫<<<-⎨⎬⎩
⎭或；
17．解:(1) m 2sin (cos ,sin )222
B B B
=，2(1,0)n =，
4sin cos 22B B m n ⋅=⋅，|m |2sin 2B =，|n |2=，cos cos 2||||
m n B
m n θ⋅∴==⋅
由1cos 22
B =，0θπ<<得23B π=，即23B π=
A 2
（2）
23B π=
，3
A C π∴+=
sin sin sin sin()
3sin sin
cos cos
sin 33
1sin sin()23
A C A A A A A A A A π
π
π
π∴+=+-=+-=+=+
又03A π<<，2333
A πππ
∴<+
<
，
sin()13
A π
<+≤.所以
s i n s A
C +,1]
∈ 又a c +=2sin 2sin R A R C +=()2sin sin A C +
，所以a c +⎤∈⎦。

18．（1）解：在Rt △COA 1中，θ
cos 2
1=
CA ，θtan 2=CO ， θθtan 22cos 2
331-+⋅=+=CB CA y =
2cos )sin 3(2+-θθ（40πθ<<） （2）θθθθθθ222
/
cos 1sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ， 令0='y ，则31sin =θ . 当31sin >θ时，0>'y ；3
1
sin <θ时，0<'y ，
∵θsin =y 在]4
,
0[π
上是增函数
∴当角θ满足31sin =
θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 2
22-=m 19．解：（1）因为()'
221
m f x x x =
-+-，所以()'2420f m =-+=，因此2m = （2）由（1）知，()()2
()2ln 11f x x x =---，其定义域为()1,+∞，
∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤
'=--=-
⎢
⎥--⎣⎦
， ∴使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2，使()0f x '<的x 的取值范围为()2,+∞，
所以函数()f x 的单调增区间是()1,2，函数()f x 的单调减区间是()2,+∞
（3）方法1：由（2）∵()()2
()2ln 11f x x x =---， ∴
()2()3012ln 10
f x x x a x a x +--=⇔++--=令
()()12ln 1g x x a x =++--，
∵23()111
x g x x x -'=-=--，且1x >，由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．
∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，
故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根(2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪
⇔<⎨⎪≥⎩
即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪
+-<⎨⎪+-≥⎩
解得：2ln 352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24-- 方
法2：∵
()(
)2
()
2l
n 11
f x x x =---，∴()2
()
301
2l n 1
f x x x
a x a x +--=⇔++
--=． 即()2ln 11a x x =---，令()()2ln 11h x x x =---，∵23()111
x h x x x -'=-=--，且1x >，
由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间
[3,4]内单调递减．
∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-，又()()24h h <，
故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<． 即2ln 352ln 24a -≤<-．综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．。