天津市河东区2021届新高考二诊数学试题含解析

天津市河东区2021届新高考二诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设直线l 的方程为x ＝12y 2
p
+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】 由已知得F （
2
p
，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，
又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 01
2
=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题． 2．已知3
1
(2)(1)mx x
--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．-3
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
先求3
1(1)x
-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与3
1(1)x
-相乘，将所有结果为常数的相加，即为
31
(2)(1)mx x
--展开式的常数项，从而求出m 的值.
【详解】
31(1)x -展开式的通项为31331
1()(1)r r r r r r r T C C x x
--+=⋅-=⋅-，
当(2)mx -取2时，常数项为0
322C ⨯=，
当(2)mx -取mx -时，常数项为11
3(1)3m C m -⨯⨯-=
由题知238m +=，则2m =. 故选：A. 【点睛】
本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.
3．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积
为（ ） A ．
43
π B ．4π C ．
323
π
D ．43π
【答案】A 【解析】 【分析】
由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】 由题,因为2,1,AC BC AC BC =
=⊥,所以223AB AC BC =+=,
设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,
则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,
所以外接球的体积34433
V R ππ==. 故选:A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.
4．若[]1,6a ∈，则函数2x a
y x
+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）
A ．
45 B ．35 C ．25 D ．15
【答案】B
【解析】Q 函数2x a
y x
+=在区间[)2,+∞内单调递增， 222
'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2
a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤， [][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴Q 函数2x a
y x
+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是
413
615
-=-，故选B. 5．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）
A ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(1,2)
D ．(2,3)
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【详解】
∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为2
b
x =
，0(0)1<=<f a ， 1122
<=<b
x ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫
=+-<=+->
⎪⎝⎭
g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选:B. 【点睛】
本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.
6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）
A ．月收入的极差为60
B ．7月份的利润最大
C ．这12个月利润的中位数与众数均为30
D ．这一年的总利润超过400万元 【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】
由图可知月收入的极差为903060-=，故选项A 正确；
1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B 正确；
易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：D . 【点睛】
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.
7．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
【答案】B 【解析】
由a 1+a 3+a 5=21得24242
1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=⨯=，选B.
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141
21
n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式n a =（ ）
A ．n
B ．1n +
C ．21n -
D ．21n +
【答案】C 【解析】
【分析】
利用()12n n n a S S n -=-≥证得数列21n a n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
为常数列，并由此求得{}n a 的通项公式. 【详解】
由141
21
n n S a n +-=-，得1(21)41n n n a S +-=-，可得1(23)41n n n a S --=-（2n ≥）.
相减得1(21)(21)n n n a n a ++=-，则12121
n n a a
n n +=-+（2n ≥），又 由14121n n S a n +-=
-，11a =，得23a =，所以12211211a a =⨯-⨯+，所以21n a n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭为常
数列，所以1
121211
n a a n ==-⨯-，故21n a n =-. 故选：C 【点睛】
本小题考查数列的通项与前n 项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识. 9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①，将4人分成3组，有2
46C =种分法；
②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有2
2
2A =种情况， 此时有224⨯=种情况，
则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ． 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
10．已知函数()()2,2
11,2
2x a x x f x x ⎧-≥⎪
=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有
()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,
8⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
C ．13,
8⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．13,8⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()2
12212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭
，
由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()2
201221
2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫
-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
． 故选：B. 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
11．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）
A
B
．
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 【详解】
依题意2223z i i i i =+--=-，所以
z ==故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.
12．已知复数2
(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】
因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____. 【答案】,1,n n n n ⎧⎨-⎩
为奇数
为偶数
【解析】 【分析】
由题意可得112(2)n n a a n +--=…
，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩
为奇数
为偶数.
【详解】
解：∵12n n a n a +=-，
∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-…②， ①﹣②得：112(2)n n a a n +--=…
，又∵11a =， ∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，n a n =，
当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-， ∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨
-⎩为奇数
为偶数
，
故答案为：,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数
为偶数
.
【点睛】
本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=…
，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式． 14．已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ . 【答案】1- 【解析】 【分析】
根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线0x y b ++=垂直，且AB 的中点在这条直线0x y b ++=上，列出方程解得即可得到结论. 【详解】
由(),3A a ,()1,1B -，设AB 的中点为1,2
2a M -⎛⎫
⎪⎝⎭
， 根据题意，可得
1202a b -++=,且31
11
AB k a -==+， 解得，1a =,2b =-，故1a b +=-. 故答案为：1-. 【点睛】
本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.
15．如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角
060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高
100BC m =，则山高MN =__________m ．
【答案】1 【解析】
试题分析：在ABC V 中，
45,90,100BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=Q ,100
sin 45AC ∴==︒在AMC V 中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒Q 45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得
,sin sin AM AC
ACM AMC =∠∠即
sin 60AM =︒解得AM =在Rt AMN V 中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒
150()m =．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
16．函数()()2log 1f x x =-的定义域为__________．
【答案】[)0,1 【解析】 【分析】
根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域. 【详解】
解:要使函数有意义,则0
10x x ≥⎧⎨
->⎩
, 即01x ≤<.则定义域为: [)0,1. 故答案为: [)0,1 【点睛】
本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点2
，
设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，且56
AFB π∠=
． （1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）2
214
x y += （2）直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．
【解析】 【分析】
【详解】
（1）因为椭圆Γ过点
2
(2,)
2
，所以
22
21
1
2
a b
+=①，
设O为坐标原点，因为
5
6
AFB
π
∠=，所以
6
BFO
π
∠=，又22
||
BF c b a
=+=，所以
1
2
b a
=②，将①②联立解得
2
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为
2
21
4
x
y
+=．
（2）由（1）可知(0,1)
B，设
11
(,)
P x y，
22
(,)
Q x y．
将y kx n
=+代入
2
21
4
x
y
+=，消去y可得222
(14)8440
k x knx n
+++-=，
则22222
(8)4(14)(44)16(41)0
kn k n k n
∆=-+-=-+>，
122
8
14
kn
x x
k
-
+=
+
，
2
122
44
14
n
x x
k
-
=
+
，
所以122121211212
121212
11()()2(1)() BP BQ
y y x kx n x x kx n x kx x n x x k k
x x x x x x
--+-++-+-+
+=+==
2
22
2
2
448
2(1)
8(1)2
14141
444(1)(1)1
14
n kn
k n
k n k
k k
n n n n
k
--
⋅+-⋅
-
++
====-
-+-+
+
，
所以21
n k
=--，此时22
16[4(21)1]640
k k k
∆=---+=->，所以k0
<，
此时直线l的方程为21
y kx k
=--，即(2)1
y k x
=--，
令2
x=，可得1
y=-，所以直线l过定点，该定点的坐标为(2,1)
-．
18．如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，
1
,//,2
2
AD AB AB CD AB AD AP CD
⊥====，E为PC的中点．
（1）求证：BE⊥平面PCD；
（2）求二面角A PB C
--的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
3
3
-
【解析】
【分析】
(1) 取PD 的中点F ,连接,AF EF ,根据中位线的方法证明四边形ABEF 是平行四边形.再证明AF PD ⊥与CD AF ⊥从而证明AF ⊥平面PCD ,从而得到BE ⊥平面PCD 即可.
(2) 以,,AD AB AP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求得平面CPB 的法向量与平面APB 的法向量进而求得二面角A PB C --的余弦值即可. 【详解】
（1）证明：如图,取PD 的中点F ,连接,AF EF
.
又E 为PC 的中点,则EF 是PCD V 的中位线.所以//EF CD 且1
2
EF CD =.
又//AB CD 且1
2
AB CD =
,所以//EF AB 且EF AB =.所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =,F 为PD 的中点,所以AF PD ⊥.
因为,//AD AB AB CD ⊥,所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=,所以CD ⊥平面PAD .所以CD AF ⊥.
又PD CD D ⋂=,所以AF ⊥平面PCD .又//BE AF ,所以BE ⊥平面PCD .
（2）易知,,AD AB AP 两两互相垂直,所以分别以,,AD AB AP 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为1
22
AB AD AP CD ===
=,所以点(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,4,0)A B P C . 则(0,2,2),(0,0,2),(2,2,0)PB AP BC =-==u u u r u u u r u u u r .设平面CPB 的法向量为(,,)n x y z =r
,
由(,,)(0,2,2)220(,,)(2,2,0)220n PB x y z y z n BC x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎨⋅=⋅=+=⎩
u u u v v u u u
v v ,得,z y x y =⎧⎨=-⎩, 令1y =,得平面CPB 的一个法向量为(1,1,1)n =-r
；显然平面APB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r ；
设二面角A PB C --的大小为θ,则3cos 3||||13
m n m n θ⋅===-⨯u r r u
r r . 故二面角A PB C --的余弦值是3
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题. 19．已知函数()|21|f x x =+． （1）解不等式：()(2)6f x f x +-…； （2）求证：(
)2
22(1)232f x a
f x x a x a a +--++++-…
．
【答案】（1）{|12}x x -剟
； （2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）代入得()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质，(
)2
2
(1)22f x a
f x a
+--+…，
222232323x a x a a a a ++++--+…，比较22323,22a a a -++大小即可.
【详解】
（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-， 于是原不等式化为|21||23|6x x ++-…，
若21
x <-
，则21(23)6x x ----…，解得112x -<-…； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-…，解得1322
x -剟； 若3
2x >，则21(23)6x x ++-…，解得322
x <…．
综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟
． （2）由已知条件， 对于x ∀∈R ，可得
()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+…．
又(
)2
2
2
2
2
232232323x a x a a a a a
a
a ++++-+--=-+…，
由于2
2183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝
⎭， 所以2
2
2
232323x a x a a a a ++++--+…
． 又由于(
)
22
22
3232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…
， 于是2232322a a a -++…． 所以(
)2
22(1)232f x a f x x a x a a +--++++-…
．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
20．设椭圆2
2:12
x E y +=，
直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l P 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.
(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】 (Ⅰ
) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】
(Ⅰ)
计算得到故A ⎛- ⎝⎭
，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，C ⎛
⎝⎭
，1,D ⎛ ⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k m
x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，计算AB =，
同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.
(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故11
2PQ k k k
=-≠-，得到结论. 【详解】
(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N
，故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
，1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1,2D ⎛- ⎝⎭. 故四边形ABCD
的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2
212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，故()22222
214220k x k mx m k +-+-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，故212222
122421
2221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，
12AB x =-==
同理可得CD =
AB CD =
=， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.
(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则2
21
112x y +=，222212
x y +=，
相减得到
()()()()1212121202
x x x x y y y y +-+
+-=，即20a kb +=，
同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11
222PQ d b d b k c a kd kb k k
--=
==-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--.
（1）当0a =时，判断()f x 在[
)0,+∞上的单调性并加以证明； （2）若0x ≥，()1f x ≥，求a 的取值范围.
【答案】（1）()f x 在[
)0,+∞为增函数；证明见解析（2）1
2
a ≤ 【解析】 【分析】
（1）令()()cos 2x
g x f x e x '==+-，求出()g x '，可推得()0g x ≥，故()f x 在[)0,+∞为增函数； （2）令()()g x f x '=，则()e sin 2x
g x x a '=--，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数a 的取值
范围. 【详解】
（1）当0a =时，()cos 2x
f x e x '=+-.
记()()g x f x '=，则()sin x
g x e x '=-，
当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤.
所以()e sin 0x
g x x '=-≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，所以()(0)0g x g ≥=.
因为()()g x f x '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞为增函数.
（2）由题意，得()cos 22x f x e x ax '=+--，记()()g x f x '=，则()e sin 2x
g x x a '=--，
令()()h
x g x '=，则()cos x h x e x '=-， 当0x ≥时，e 1x ≥，c o s 1
x ≤，所以()cos 0x
h x e x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞为增函数，即()sin 2x
g x e x a '=--在[)0,+∞单调递增，
所以0
()(0)e sin 0212g x g a a ''≥=--=-.
①当120a -≥，12
a ≤
，()0g x '≥恒成立，所以()g x 为增函数，即()f x '
在[)0,+∞单调递增， 又(0)0f '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞为增函数，所以()(0)1f x f ≥=
所以1
2a ≤
满足题意. ②当1
2
a >，(0)120g a '=-<，令()e 1x u x x =--，0x >，
因为0x >，所以()e 10x
u x '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增， 故()(0)0u x u >=，即1x e x >+. 故2(2)e
sin 2221sin 220a
g a a a a a a '=-->+--≥，
又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=， 当(0,)x m ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '
单调递减，
所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，
所以()(0)1f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12
a ≤. 【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题. 22．已知函数()|||2|(),()|2|()f x x k x k R g x x m m Z =-++∈=+∈．
（1）若关于x 的不等式()1g x …的整数解有且仅有一个值4-，当1k =时，求不等式
()f x m …的解集；
（2）已知2
()23h x x x =-+，若12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x …
成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）97,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦ （2）(,4][0,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】
（1）求解不等式()1g x …，结合整数解有且仅有一个值4-，可得8m =，分类讨论，求解不等式，即得解；
（2）转化12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x …
成立为1min 2min ()()f x h x …，利用不等式性质()|||2||()(2)||2|f x x k x x k x k =-++--+=+…，求解二次函数最小值，代入解不等式即可.
【详解】
（1）不等式()1g x …，即|2|1x m +…，所以
11
22
m m x ---+剟， 由11
54322
m m ---+-<
-<-剟， 解得79m <<．
因为m Z ∈，所以8m =， 当1k =时，
()|1||2|f x x x =-++21,2,
3,21,21,1,x x x x x ---⎧⎪
=-<<⎨⎪+⎩
……，
不等式()8f x …等价于2,218x x -⎧⎨
--≤⎩…或21,38x -<<⎧⎨⎩…或1,218.x x ⎧⎨
+⎩
…
… 即9
22x --剟
或21x -<<或712
x 剟，
故9722
x -剟
， 故不等式()8f x …的解集为97,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦． （2）因为()|||2||()(2)||2|f x x k x x k x k =-++--+=+…， 由2
2
()23(1)2,(0,)h x x x x x =-+=-+∈+∞， 可得min ()(1)2h x h ==，
又由12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x …
成立， 则|2|2k +…
，解得4k -…或0k …． 故实数k 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞U ． 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
23．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为2
12x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，且曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 上的定点P 在曲线C 外且其到C
-，试求点P 的坐标. 【答案】（1）l 的普通方程为10x y -+=．C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-= （2）（-1，0）或（2，3） 【解析】 【分析】
（1）对直线l
的参数方程1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消参数t 即可求得直线l
的普通方程，对4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭整
理并两边乘以ρ，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求得曲线C 的直角坐标方程。

（2）由（1）得：曲线C是以Q（1,1
P的坐标为()
,1
x x+
，由题可得：PQ=
【详解】
解：（1
）由
1
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
消去参数t，得1
y x
=+．
即直线l的普通方程为10
x y
-+=．
因为2
),(cos sin)2(cos sin)
4
π
ρθρθθρθθ
=-∴=+=+
又cos
xρθ
=，sin
yρθ
=
∴曲线C的直角坐标方程为22
(1)(1)2
x y
-+-=
（2）由22
(1)(1)2
x y
-+-=知，曲线C是以Q（1,1
为半径的圆
设点P的坐标为()
,1
x x+，则点P到C上的点的最短距离为|PQ|
-
即
PQ==，整理得220
x x
--=，解得12
1,2
x x
=-=
所以点P的坐标为（-1，0）或（2，3）
【点睛】
本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了方程思想及计算能力，属于中档题。