2020高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-5椭圆试题理北师大

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-5椭圆试题理
北师大
1．椭圆的概念
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a<c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a ＋2c(其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ ) 1．(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 答案 C
解析 由题意知
⎩
⎪⎨⎪⎧
10－m>m －2>0，－－－＝4
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －2>10－m>0，
－－－＝4，
解得m ＝4或m ＝8.
2．(2015·广东)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 答案 B
解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m ＝3.
3．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( ) A.
B.1
2
C. D.3
4
答案 B
解析 如图，由题意得|BF|＝a ，|OF|＝c ，|OB|＝b ，|OD|＝×2b＝b.
在Rt△FOB 中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb ＝a·b，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝＝，故选B.
4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)
解析 将椭圆方程化为＋＝1，因为焦点在y 轴上，则>2，即k<1，又k>0，所以0<k<1. 5．(教材改编)已知点P 是椭圆＋＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 或⎝
⎛⎭
⎪⎫
152，－1 解析 设P(x ，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c ＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入＋＝1，得x ＝±，又x>0，所以x ＝，所以P 点坐标为或. 题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹
例1 (2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆
答案 A
解析 由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为__________________________________________．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为___________________________________________． 答案 (1)＋y2＝1或＋＝1 (2)＋＝1
解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a ＝3，
又2a ＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)． ∵椭圆过点P(3,0)，∴＋＝1，即b ＝3. 又2a ＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． ∵椭圆经过点P1，P2，
∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
则⎩⎪⎨
⎪⎧
6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②
①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
9
，n ＝1
3.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题
例3 已知F1，F2是椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________. 答案 3
解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
r1＋r2＝2a ，r21＋r22＝4c2，
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r ＋r) ＝4a2－4c2＝4b2， 又∵＝r1r212
PF F s
＝b2＝9，∴b＝3. 引申探究
1．在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解 由原题得b2＝a2－c2＝9， 又2a ＋2c ＝18，
所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆方程为＋＝1.
2．在例3中将条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”、“＝3”，结果如何？12
PF F s
解 |PF1|＋|PF2|＝2a ，又∠F1PF2＝60°， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2， 所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2， 所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为＝|PF1||PF2|·sin 60°12
PF F s
＝×b2×
3
2
＝b2＝3， 所以b ＝3.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
(1)已知两圆C1：(x －4)2＋y2＝169，C2：(x ＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内
部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1
D.＋＝1
(2)(2016·大庆质检)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(＋)·＝0(O 为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 (1)D (2)D
解析 (1)设圆M 的半径为r ，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|， 所以M 的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1. (2)∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0， ∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°. 设|PF1|＝m ，|PF2|＝n ，
则m ＋n ＝4，m2＋n2＝12,2mn ＝4， ∴＝mn ＝1.12
F PF s
题型二 椭圆的几何性质
例4 (1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．2 2
(2)(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B 分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.3
4
答案(1)C (2)A
解析(1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
→＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，
PF2
∴|＋|＝4x20＋4y20
＝22－2y20＋y20
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.
(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.
思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，
利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．
(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案6
3
解析联立方程组解得B，C两点坐标为
B，C，又F(c,0)，
则＝，＝，
又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得
c2－a2＋＝0，①
又因为b2＝a2－c2.
代入①式可化简为＝，
则椭圆的离心率为e＝＝＝.
题型三直线与椭圆
例5 (2016·天津)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
解(1)设F(c,0)，由＋＝，
即＋＝，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，
则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，由方程组消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x ＝2或x ＝.
由题意得xB ＝，从而yB ＝. 由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)， 有＝(－1，yH)，＝. 由BF⊥HF，得·＝0， 所以＋＝0， 解得yH ＝.
因此直线MH 的方程为y ＝－x ＋. 设M(xM ，yM)，由方程组消去y ， 解得xM ＝.
在△MAO 中，∠MOA≤∠MAO ⇔|M A|≤|MO|， 即(xM －2)2＋y≤x＋y ， 化简，得xM≥1，即≥1， 解得k≤－或k≥.
所以直线l 的斜率的取值范围为
⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，－64∪.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＋
＋
－4x1x2]
＝ (k 为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
(2016·唐山模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e ＝，
直线l 交椭圆于M ，N 两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
解(1)由已知得b＝4，且＝，
即＝，∴＝，
解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|
＝.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知
→＝2，
BF
又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
故得x0＝3，y0＝－2，
即Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得＋＝0，
∴kMN＝＝－·x1＋x2
y1＋y2
＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，
即6x－5y－28＝0.
8．高考中求椭圆的离心率问题
考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一
般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
典例1 (2015·福建)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )
A.
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34
C.
D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析 左焦点F0，连接F0A ，F0B ，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e ＝＝＝ ＝ ∈，故选A.
答案 A
典例2 (12分)(2016·浙江)如图，设椭圆＋y2＝1(a ＞1)．
(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 规范解答
解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx ＝0，[2分]
故x1＝0，x2＝－，
因此|AM|＝|x1－x2|＝·.[4分]
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，
Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，[5分]
且k1>0，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.[7分]
由k1≠k2，k1>0，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)，①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，[10分]
由e＝＝，得0<e≤.
所以离心率的取值范围是(0，]．[12分]
1．(2016·湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1
D.＋y2＝1
答案A
解析依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
2．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21
C．－或21 D.或－21
答案D
解析当9>4－k>0，即4>k>－5时，
a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，
∴＝，解得k＝.
当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，
∴＝，解得k＝－21，故选D.
3．(2017·青岛质检)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为( )
A. B.2
3
C. D.5
3
答案D
解析设P(x0，y0)，则×＝－，
化简得＋＝1，
则＝，e＝＝＝，故选D.
4.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；
③<；④c1a2>a1c2.
其中正确式子的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案D
解析观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式
正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确．故选D.
5．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B. C．2 D．2 2
答案D
解析设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2 2
(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
6.(2016·济南质检)设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得·＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是( ) A．(0，) B．(0，)
C．(，1) D．(，1)
答案D
解析A1(－a,0)，A2(a,0)，
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(a－x，－y)，
∵·＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0，
∴y2＝ax－x2>0，∴0<x<a.
将y2＝ax－x2代入＋＝1，
整理得(b2－a2)x2＋a3x－a2b2＝0，其在(0，a)上有解，
令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，
∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，
如图，
Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2)
＝a2(a4－4a2b2＋4b4)
＝a2(a2－2b2)2≥0，
∴对称轴满足0<－<a，即0<<a，
∴<1，∴>.
又0<<1，∴<<1，故选D.
7．若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．答案＋＝1
解析设切点坐标为(m，n)，
则·＝－1，
即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，
即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
8．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案7
解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
9．(2017·石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．
答案(－，)
解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x ＋，y)，＝(x －，y)．
∵∠F 1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
34
x2<2，∴x2<. 解得－<x<，∴x∈(－，)．
10．(2016·长沙模拟)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________． 答案 255
解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A(－a,0)，∴P(0，a)．
设Q(x0，y0)，∵＝2，
∴(x0，y0－a)＝2(－a －x0，－y0)．
∴解得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝－23a ，y0＝a 3，
代入椭圆方程化简，可得＝，
∴e＝ ＝.
11．如图，椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB|＝|BF|.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP⊥OQ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．
解 (1)由已知|AB|＝|BF|，
即＝a ，
4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
∴e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由消去y，
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而－＋4＝0，
解得b＝1，满足b>.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
12．(2015·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.
(1)求直线BF的斜率；
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q 异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
①求λ的值；
②若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程．
解(1)设F(－c,0)．由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c，又因为B(0，b)，F(－c,0)，
故直线BF的斜率k＝＝＝2.
(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
①由(1)可得椭圆的方程为＋＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.
因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝.
又因为λ＝及xM＝0，
可得λ＝＝＝.
②因为＝，所以＝＝，
即|PQ|＝|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP＝，
所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝.又因为yP＝2xP＋2c＝－c，
所以|BP|＝＝c，
因此c＝，得c＝1.
所以椭圆方程为＋＝1.
13．(2016·长春调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．
(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．
解(1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝(x－)，
于是圆心坐标为(，)．
所以p＋q＝＋≤0，
整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，
所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.
所以e2＝≥，即≤e<1.
(2)当e＝时，a＝b＝c，
此时椭圆的方程为＋＝1，
设M(x，y)，则－c≤x≤c，
所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.
当c≥时，上式的最小值为c2－，即c2－＝，得c＝2；当0<c<时，上式的最小值为(c)2－c＋c2，
即(c)2－c＋c2＝，
解得c＝，不合题意，舍去．
综上所述，椭圆的方程为＋＝1.。